第十章 随机事件、频率与概率讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学单元复习讲义以“随机事件-频率与概率-事件关系与运算-概率计算”为主线构建知识体系，通过表格清晰呈现事件的包含、互斥、对立等关系及符号表示，分层梳理随机试验、样本空间等核心概念，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于题型设计覆盖基础到综合，如“摸3个球判断必然事件”培养数学抽象能力，“利用频率估计黑球数量”强化数据观念，通过对比辨析事件关系提升逻辑推理。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力教师精准教学，学生自主复习。

第十章 随机事件、频率与概率 目录 题型1：随机事件与样本空间 3 题型2：频率与概率 4 题型3：随机事件的关系与运算 5 题型4：利用互斥事件与对立事件计算概率 6 1. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1) 试验可以在相同条件下重复进行； (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2. 有限样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 3. 随机事件 (1) 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2) 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 4. 事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图示 包含 事件A发生，则事件B一定发生 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B 且 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 5. 概率与频率 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 题型1：随机事件与样本空间 【例1.1.】 在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【例1.2.】 （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【例1.3.】 先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【例1.4.】 写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 【例1.5.】 根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 题型2：频率与概率 【例2.1.】 小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【例2.2.】 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【例2.3.】 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【例2.5.】 （多选）下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 题型3：随机事件的关系与运算 【例3.1.】 从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【例3.2.】 向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【例3.4.】 生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 【例3.5.】 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【例3.6.】 设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【例3.9.】 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【例3.10.】 一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例3.11.】 （多选）若 为两个随机事件，且，则（    ） A．当 时， B．当A和互斥时， C．当A和独立时， D．当A和独立时， 题型4：利用互斥事件与对立事件计算概率 【例4.1.】 事件，，且，则______． 【例4.2.】 已知随机事件A，B，A和互斥，且，则___________. 【例4.3.】 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【例4.6.】 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 随机事件、频率与概率 目录 题型1：随机事件与样本空间 3 题型2：频率与概率 7 题型3：随机事件的关系与运算 9 题型4：利用互斥事件与对立事件计算概率 16 1. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1) 试验可以在相同条件下重复进行； (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2. 有限样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 3. 随机事件 (1) 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2) 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 4. 事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图示 包含 事件A发生，则事件B一定发生 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B 且 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 5. 概率与频率 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率估计概率. 题型1：随机事件与样本空间 【例1.1.】 在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【例1.2.】 （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据题意，只需找到不可能事件与必然事件即可. 【详解】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品， 故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意； 对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品， 故是随机事件，不符题意； 对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意； 对于D，因25件同类产品中，有2件次品， 而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品， 故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意. 故选：CD. 【例1.3.】 先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 【例1.4.】 写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间 【分析】根据题意画出树状图，写出样本空间即可. 【详解】值班情况如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ， . 【例1.5.】 根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花} (2) (3)答案见解析 (4) 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的包含关系、写出样本空间 【分析】（1） 一副扑克牌有四种花色，进而写出样本空间即可； （2）由扑克牌的点数1～6写出样本空间即可； （3）用列表表示所有结果，进而可得样本空间； （4）一次抽取2张，计算两张点数之和，进而可得样本空间. 【详解】（1）一副扑克牌有四种花色， 所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}． （2）扑克牌的点数是从1～6， 所以样本空间为. （3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 故样本空间为 . （4）一次抽取2张，则 ， ， ， ， 所以样本空间为． 题型2：频率与概率 【例2.1.】 小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 【例2.2.】 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽奖、彩票的概率解释 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【例2.3.】 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 【例2.4.】 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 【例2.5.】 （多选）下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、事件的运算及其含义、辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率 【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：任何事件的概率总是在内，例如必然事件的概率为1，故A错误； 对于选项B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率， 但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且随机事件中至少有一个发生的概率为， 中恰有一个发生的概率为， 所以随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率，故D正确； 故选：BD. 题型3：随机事件的关系与运算 【例3.1.】 从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【分析】（1）列举出对应事件，利用事件的包含关系判断即可. （2）列举出对应事件，利用互斥事件的定义判断即可. （3）列举出对应事件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】（1）给两个红球编号为，给两个白球编号为， 从口袋中任取两个球，用表示取出的两个球， 则试验的样本空间为， 设“至少有1个白球”，则． 设“都是白球”，，所以， （2）设“至少有一个红球”，则．， 因为，所以A和C不互斥． （3）设“都是红球”，则． 因为，，所以A和D为对立事件． 【例3.2.】 向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、事件的运算及其含义 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 【例3.3.】 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义 【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 【例3.4.】 生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 【答案】产品不合格 【难度】0.82 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】事件表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格， 所以事件D表示“产品不合格”． 【例3.5.】 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【难度】0.76 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 【例3.6.】 设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 【例3.7.】 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 【例3.8.】 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：D． 【例3.9.】 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【详解】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 【例3.10.】 一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 【例3.11.】 （多选）若 为两个随机事件，且，则（    ） A．当 时， B．当A和互斥时， C．当A和独立时， D．当A和独立时， 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】对于A：根据包含关系结合概率的性质分析判断；对于B：根据互斥事件结合事件的运算分析判断；对于C：根据题意结合独立事件概率乘法公式分析判断；对于D：根据互斥与独立事件概率的计算分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则，可得， 即，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 若A和互斥，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若A和独立，则和独立， 所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 即，可知A和不独立， 所以A和独立时，，故D正确； 故选：BCD. 题型4：利用互斥事件与对立事件计算概率 【例4.1.】 事件，，且，则______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由事件的包含关系可得，根据对立事件的关系计算可得. 【详解】因为事件，， 所以， 因为， 所以，. 故答案为： 【例4.2.】 已知随机事件A，B，A和互斥，且，则___________. 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】因为和互斥，所以， 所以，解得， 故答案为：. 【例4.3.】 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 【例4.4.】 已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 则，，且，可得，， 所以. 故选：B. 【例4.5.】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 【例4.6.】 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 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