10.3.1频率的稳定性 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 10.3.1频率的稳定性 教学目标 1. 学生通过经历重复试验，收集、整理试验数据，利用图表表示试验数据，观察、比较、发现频率的特征这一过程，提升直观想象和数据分析素养。 2. 利用计算机模拟大量重复实验，使学生深刻理解频率与概率的联系与区别，并能利用“波动幅度”及“可能性”等字眼正确阐述频率与概率之间的关系。 3. 结合生活实例，会用频率估计概率，能对实例做出合理的判断与解释，体会用试验验证概率模型的合理性，或通过试验发现规律从而建立概率理论模型的思想，发展学生数学抽象和数学建模素养。 教学重难点 教学重点： 1. 频率与概率的区别和联系。 2. 用频率估计概率。 教学难点： 1. 对频率的稳定性规律的理解。 教学过程 （1） 问题引入 在前面的学习中，我们知道，对于样本点等可能的试验，可以用古典概型公式计算有关事件的概率。但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断。例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法。 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小。在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率。 问题：在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 【设计意图】从学生的概率起点入手，让学生意识到本节其实是初中“频率估计概率”知识的延续，是相关问题更深层次的探究，让学生带着疑问和目标进入课堂。 （2） 新知探究 探究：重复做同时掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件 A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计 A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较。你发现了什么规律？ 师生活动：教师先组织学生计算P(A)，然后指导学生分步实施试验。 1.计算概率： 把硬币正面朝上记为 1，反面朝上记为0, 则这个实验的样本空间Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}， A={(1,0)，(0,1)}，所以P(A)=0.5 2.实施试验: 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系。 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入下表中。 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 ... 合计 师生活动：学生小组合作进行掷硬币试验，教师观察学生探究进度，在各组试验结束后组织汇总试验结果。 4. 发现规律 比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率。 问题1：各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？ 追问：随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 师生活动：学生观察分析试验结果，教师引导学生思考问题1及追问。 【设计意图】随机事件发生的频率，既具有随机性，又具有稳定性，只有进行重复试验才能对此有较深刻的认识。每人做25次试验，相当于在试验次数较少时重复试验，通过比较事件A发生的频率，会发现频率不会完全相同，而且波动较大；小组做100次试验，再比较各组得到的事件A的频率，会发现频率也不会完全相同，但波动变小；汇总全班的试验结果，有700次试验，会发现频率非常接近A的概率0.5。 5. 计算机模拟试验 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为 20，100， 500 时各做 5 组试验，得到事件 A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率 fn ( A) n=20 n=100 n=500 序号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 频数 6 9 12 8 11 57 48 47 51 51 241 255 248 244 247 频率 0.3 0.45 0.6 0.4 0.55 0.57 0.48 0.47 0.51 0.51 0.482 0.51 0.496 0.488 0.494 用计算机模拟掷两枚硬币试验结果： 问题2：请同学们继续观察以上图表，还能有什么发现？ 追问：是不是试验次数越多，频率与概率越接近？ 师生活动：利用计算机模拟大量重复试验，教师引导学生观察所得图表，思考回答问题2及追问。 【设计意图】利用计算机模拟试验可以达到进行大量重复试验的效果，体会科技给我们学习生活带来的便捷性，再结合对模拟试验结果及折线图的观察，发现频率具有不确定性，但随着试验次数的增加，频率的波动幅度变小，逐渐稳定到一个常数。尤其是追问，学生若能明确“试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大”而不是“试验次数越多，频率与概率越接近”，说明其突破了本节课的难点。 5.总结频率稳定性 师生活动：教师根据学生的回答，引导学生归纳出频率的稳定性。 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A 发生的概率P(A). 我们称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，我们可以用频率fn(A)估计概率 P(A) . 6.数学文化 雅各布第一·伯努利，瑞士数学家，他被公认为为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律.大数定律就阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近. 【设计意图】数学文化的渗透帮助学生了解数学知识背景，产生与数学家共鸣之感，有助于积累数学知识，提升数学兴趣。 7.频率与概率区别与联系 师生活动：教师引导学生结合初中所学知识以及课上探究结果，比较频率与概率的联系与区别。 频率 概率 区别 事件发生的频率具有随机性，试验次数不同，其频率可能不同，即使试验次数相同，不同的试验频率也可能不同. 事件的概率是唯一确定的一个数值，是客观存在的，与试验无关. 联系 随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于事件发生的概率，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． 【设计意图】通过总结，让学生清晰频率的随机性和稳定性，理解概率与频率的本质区别，突出本节课重点。 （三）应用实例 例1.新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015 年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51. 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到 0.001）； 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 师生活动：教师引导学生独立思考，解决问题，总结检验概率模型合理化的方法。反之，教师联系生物中的孟德尔遗传规律，提示学生思考其发现过程。 【设计意图】通过例1检测学生是否会用频率估计概率。同时，使学生掌握利用频率估计概率对已有概率模型检验合理性的方法，即对某个随机现象，提出一个理论概率模型（生男孩和生女孩是等可能的），然后通过重复试验用频率进行验证；反过来，孟德尔遗传规律的得到，则是通过大量重复实验发现 规律，进而建立概率模型。 例2.一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜。判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次。据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？为什么？ 师生活动：教师引导学生独立思考，解决问题，并进行总结。 【设计意图】从身边实例入手，通过判断“游戏是否公平”进一步理解频率与概率的关系。使学生认识到，由于频率的随机性，若玩的次数较少，难以从双方获胜的频率判断他们获胜的概率是否相等；只有玩的次数足够多，根据频率的稳定性，可以以很大的把握从双方获胜的频率判断他们获胜概率是否相等。 思考：这是北京市连续几日的天气预报截图，图上显示，在9月14日降水的概率是80%，我们该如何理解“降水概率是80%”？如果在当日没有下雨，我们又可能会抱怨气象台预报不准确，该如何评价预报的结果是否准确呢? 师生活动：请同学自主思考，教师加以补充。引导学生用数学的眼光看待生活问题，用数学的思维分析问题，用数学的方法处理问题。 【设计意图】两个例题及思考题，紧密结合现实生活，一方面向学生示范如何通过理论知识来解决现实问题，另一方面提高了学生从数学角度出发理解现实问题的能力，促进数学思维品质的提升。使学生了解数学在社会生产中及文化层面上的应用，同时也重视社会文化基础对数学教学的影响，使学生学会用数学的眼光认识所生活的环境，学会用数学思维思考问题。在数学教学中，结合学生的生活实际，体验数学在影响和改变我们的生活，感受数学的应用之美。 （四）课堂小结 教师与学生一起回顾本节课知识与思路。做重复试验，探究频率的稳定性规律 频率与概率的联系与区别 用频率估计概率的应用实例 （五）学科融合 请课后阅读教材262到263页关于孟德尔遗传规律的“阅读与思考”，并思考书上提出的问题。 （六）布置作业 1.全员作业：教材257页“练习”1、2、3题，258页4题 2.分层作业：教材262页6题 n=20 0.3 0. 45 0.6 0.4 0.55 n=100 0.57 0.48 0.47 0.51 0.51 n=500 0.482 0.51 0.496 0.488 0.494 学科网（北京）股份有限公司 $$