10．3 频率与概率（思维导图+3大知识点+4大题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“频率与概率”核心知识点，系统梳理频率的稳定性（试验次数增大时频率稳定于概率）、概率与频率的区别与联系（频率随机、概率确定，频率是概率的估计值）、随机模拟（蒙特卡洛方法）等内容，通过思维导图构建知识脉络，为题型应用提供学习支架。 该资料亮点在于题型设计典例与变式结合，如辨析频率与概率异同、用概率解决抽签公平性等实际问题、随机模拟估算射击命中概率，培养学生用数学眼光观察试验规律、用数学思维推理逻辑关系、用数学语言表达数据结果。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升。

10．3 频率与概率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、频率的稳定性 4 知识点2、概率与频率的区别与联系 4 知识点3、随机模拟 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：辨析频率与概率异同关系 5 题型二：概率思想解决实际问题 7 题型三：借助随机模拟估算概率 11 题型四：探究概率稳定变化规律 13 知识点1、频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 知识点2、概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 知识点3、随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 题型一：辨析频率与概率异同关系 【典例1-1】下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 【典例1-2】下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【解析】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 【方法技巧与总结】 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解析】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B 【变式1-2】下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】对于A，在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数之比， 称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时，频率将稳定在一个常数附近， 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率， 并不是说越大，估计的精度越精确，A错误； 对于B，函数，都是R上的单调函数，值域都是R， 而函数为常函数，B错误； 对于C，样本空间，事件， 则同时发生的概率，与中恰有一个发生的概率为，C错误； 对于D，若事件与相互独立，则事件与、事件与、事件与都相互独立，D正确. 故选：D 【变式1-3】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【解析】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 题型二：概率思想解决实际问题 【典例2-1】某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 【解析】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为，即. 理由如下： 小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽中门票的总概率是相同的，只考虑第个人摸卡片的情况，50张卡片中的每张卡片有可能被第50个人摸到，且可能性相等，其中有5张情形写有“庆典”，因此第50个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为，即，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关. 【典例2-2】（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【解析】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则， 这个游戏公平的． （2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”， 则，．这个游戏不公平． 【方法技巧与总结】 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 【变式2-1】“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【解析】（1）由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； （2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； （3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 【变式2-2】男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目．根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm．    为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下： 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 命中环数 9.4 9.5 10.2 9.1 9.2 8.9 10.1 9.3 9.4 9.6 9.3 9.3 10.1 9.5 5.0 (1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”． ①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率； ②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落． 假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响． 则甲至少需要进行几次射击，才能有以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？ (2)经计算得甲这次训练命中环数的平均数，标准差，其中为第次射击命中的环数，，，，．第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大． 为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩． 求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差精确到． (参考数据，) 【解析】（1）①该选手15次射击中有3次命中10环及以上的环数， 所以选手每次射击“命中靶心”的概率的估计值． ②设该选手至少需要射击次，才能达到有以上的概率能击落该无人机， 即他射击次，至少一次击中无人机的概率在以上， 则他这次射击，没能击中无人机的概率低于，即 ． 两边取常用对数，得， 即该选手至少需要射击11次才能达到有以上的概率能击落该无人机． （2）剔除数据后，该选手命中环数的平均数 剔除数据后，该选手命中环数的方差． 综上，剔除数据后，该选手命中环数的平均数为9.5，方差约为0.14 ． 【变式2-3】社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 【解析】因为掷硬币出现正面的概率是，大约有100人回答了第一个问题，因为摸出的小球的是白色或黑色的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂． 题型三：借助随机模拟估算概率 【典例3-1】现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______． 【答案】 【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有8个， 所以射击4次至少击中3次的概率为. 故答案为：． 【典例3-2】在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75/ 【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【变式3-1】在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________． 【答案】 【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 【变式3-2】甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为______； 【答案】/ 【解析】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342， 512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种， 所以估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 【变式3-3】已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：                                       据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 【答案】/ 【解析】组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是、、、、， 其频率为，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故答案为： 题型四：探究概率稳定变化规律 【典例4-1】某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果： 贫困地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 （1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率（结果精确到0.001）； （2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率. 【解析】（1）根据频率计算公式,可得如下表所示: 贫困地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503 发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550 （2）随着测试人数的增加,两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55. 故贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55. 【典例4-2】某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: 配方的频数分布表: 指标值分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106） [106,110] 频数 8 20 42 22 8 配方的频数分布表: 指标值分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106] [106,110] 频数 4 12 42 32 10 （1）分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率; （2）已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润. 【解析】(1) 由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为 用配方生产的产品中优质品率的估计值为 由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为 用配方生产的产品中优质品率的估计值为 (2)由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值 由试验结果知,质量指标值的频率为. 用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为. 用配方生产的件产品的平均利润为(元). 【方法技巧与总结】 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【变式4-1】甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [85，90） [90，95） [95，100） [100，105） [105，110） 甲机床 8 12 40 32 8 乙机床 7 18 40 29 6 （1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率； （2）甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元，假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的利润（单位：元）； （3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率. 【解析】(1)因为甲机床生产的零件为优品的频率, 乙机床生产的零件为优品的频率为, 所以用频率估计概率,估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率分别为. (2)甲机床生产的零件每件的平均利润为(元), 所以估计甲机床生产的产品每件的利润为114.4元, 所以甲机床该天生产50件零件的利润为(元). (3)由题意知,甲机床应抽取(件),乙机床应抽取(件), 记甲机床生产的2件零件为A,B,乙机床生产的3件零件为, 若从5件中任意抽取2件,有,共10个样本点, 其中2件都是乙机床生产的有,共3个样本点. 所以,从这5件中任意抽取2件,这2件都是乙机床生产的概率. 【变式4-2】下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次乒乓球的抽样检测结果： 抽取球数目 优等品数目 优等品频率 50 45 100 92 200 194 500 470 1000 954 2000 1902 （1）计算表中优等品的各个频率. （2）从这批乒乓球中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？ 【解析】(1)优等品的频率如下表, 抽取球数目 50 100 200 500 1000 2000 优等品数目 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批乒乓球中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．3 频率与概率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、频率的稳定性 4 知识点2、概率与频率的区别与联系 4 知识点3、随机模拟 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：辨析频率与概率异同关系 5 题型二：概率思想解决实际问题 6 题型三：借助随机模拟估算概率 9 题型四：探究概率稳定变化规律 10 知识点1、频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 知识点2、概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 知识点3、随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 题型一：辨析频率与概率异同关系 【典例1-1】下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【方法技巧与总结】 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【变式1-2】下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 【变式1-3】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 题型二：概率思想解决实际问题 【典例2-1】某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 【典例2-2】（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【方法技巧与总结】 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 【变式2-1】“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【变式2-2】男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目．根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm．    为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下： 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 命中环数 9.4 9.5 10.2 9.1 9.2 8.9 10.1 9.3 9.4 9.6 9.3 9.3 10.1 9.5 5.0 (1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”． ①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率； ②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落． 假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响． 则甲至少需要进行几次射击，才能有以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？ (2)经计算得甲这次训练命中环数的平均数，标准差，其中为第次射击命中的环数，，，，．第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大． 为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩． 求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差精确到． (参考数据，) 【变式2-3】社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 题型三：借助随机模拟估算概率 【典例3-1】现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______． 【典例3-2】在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【方法技巧与总结】 用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【变式3-1】在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________． 【变式3-2】甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为______； 【变式3-3】已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：                                       据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 题型四：探究概率稳定变化规律 【典例4-1】某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果： 贫困地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 （1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率（结果精确到0.001）； （2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率. 【典例4-2】某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: 配方的频数分布表: 指标值分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106） [106,110] 频数 8 20 42 22 8 配方的频数分布表: 指标值分组 [90,94） [94,98） [98,102） [102,106] [106,110] 频数 4 12 42 32 10 （1）分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率; （2）已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润. 【方法技巧与总结】 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【变式4-1】甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [85，90） [90，95） [95，100） [100，105） [105，110） 甲机床 8 12 40 32 8 乙机床 7 18 40 29 6 （1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率； （2）甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元，假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的利润（单位：元）； （3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率. 【变式4-2】下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次乒乓球的抽样检测结果： 抽取球数目 优等品数目 优等品频率 50 45 100 92 200 194 500 470 1000 954 2000 1902 （1）计算表中优等品的各个频率. （2）从这批乒乓球中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $