第01讲 抛体运动与圆周运动（培优·复习讲义）新高二物理人教版

第01讲 抛体运动与圆周运动（培优讲义） 课标要点 1.会求解平抛运动的速度、位移与轨迹。 2.会用平抛运动的规律解决实际问题。 3.巩固向心力和向心加速度的知识。 4.会利用牛顿第二定律和圆周运动知识解决生活中比较简单的圆周运动问题。 1.会用运动的合成与分解分析平抛运动和斜抛运动。 2.理解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源。 3.理解杆能提供拉力、支持力；绳只能提供拉力分析竖直面内的圆周运动。 方法指导 考点01 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。 2．运动的性质：加速度为g的匀变速运动。 二、平抛运动 1．定义：初速度沿水平方向的抛体运动。 2．条件：①v0≠0，且沿水平方向；②只受重力的作用。 三、平抛运动的基本规律 1．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 2．基本规律(如图所示) (1)速度 (2)位移 (3)轨迹方程：y＝x2。可知平抛运动的轨迹是抛物线。 【深化点拨】 关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定 落地速度(v) v＝＝，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度由初速度v0和下落高度h共同决定 速度的改变量 (Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均为Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下，如图所示 拓展：类平抛运动 (1)定义：如果质点受到的合力是恒力，且与初速度垂直，则质点的运动与平抛运动类似，轨迹是抛物线，这类运动叫作类平抛运动。例如，带电粒子垂直射入匀强电场，做类平抛运动。 (2)求解方法：运动的合成与分解。 1．如图所示，射水鱼发现前方的昆虫，斜向上射出的水柱恰好水平击中昆虫。若鱼嘴与昆虫的直线距离为1 m，两者连线与水平方向的夹角为53°，，，重力加速度为，忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．水柱的初速度方向与水平方向的夹角为53° B．水柱在空中运动的时间为 C．击中昆虫的速度大小为 D．水柱的初速度大小为 2．如图，一花洒出水孔分布在正方形区域内。现将出水口所在的平面竖直放置水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（P、Q分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A．B．C． D． 3．投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为、的、位置水平抛出，落地时水平位移分别为、。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．、两箭在空中运动的时间相同 B．、两箭在空中运动的位移相同 C．要想两箭落到同一点，箭的初速度要变为原来的倍 D．落地时箭速度偏向角正切值为箭速度偏向角正切值的4倍 4．如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比c的长 B．a的初速度比c的大 C．b的飞行时间比c的长 D．b的初速度比c的小 5．（多选）如图，光滑固定斜面的倾角为，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【“化曲为直”思想在平抛运动中的应用】 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 考点02 受斜面、曲面约束的平抛运动 【常见模型】 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【平抛运动的两个重要推论】 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图所示。 与斜面或圆弧面有关的平抛运动处理技巧 1．处理方法 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 2．规律技巧 （1）首先确定平抛运动情景已知速度还是位移（方向），再分解速度（或是位移），最后根据两方向上的运动规律列方程求解。 （2）从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动，当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 （3）对于从斜面抛出落回斜面上的平抛运动而言：“时速正比”、“位能平方”即运动时间与初速度大小成正比，位移（水平、竖直、总位移）和物块的动能都也初速度的平方成正比。 角度01 与斜面有关的平抛运动 1．高台跳雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，运动员从平台的顶点处以一定初速度沿水平方向飞出，经一段时间后落在斜坡上。已知斜坡倾角，若以平台的顶点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，建立直角坐标系，则运动员运动的轨迹方程为，重力加速度，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．运动员飞出时的初速度大小为10m/s B．运动员在空中运动的时间为 C．运动员下落的高度为10m D．运动员从飞出到落地时运动的位移大小为45m 2．我军在某次实弹演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，经过时间炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。已知，，不计空气阻力，重力加速度取。下列表述正确的是（　　） A．炸弹刚投放时的初速度大小为 B．炸弹在空中运动相等时间内的速度变化量不同 C．炸弹垂直击中山坡上的目标时的速度大小为10m/s D．炸弹在空中运动的整个过程中，水平方向的位移与竖直方向的位移之比为0.75 3．某次战斗中，我方固守一处阵地：山坡横截面呈直角三角形，坡面朝向敌方，坡脚延伸至开阔平地。敌方步兵分队正从平地发起仰攻。为阻止敌方向我方推进，我方战士从坡顶掩体水平投掷手榴弹。忽略空气阻力。关于手榴弹从出手到触地的时间t与出手时水平速度的关系图像，下列图像正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）如图所示，小球从平台上抛出，正好落在临近平台的一倾角为的光滑斜面上，且速度方向恰好沿斜面，并沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．小球到达斜面顶端的时间为0.4s B．小球水平抛出的初速度v0=3m/s C．水平平台边缘到斜面顶端的水平距离为s=12m D．若斜面顶端高H=7.2m，则小球沿斜面运动的时间为1.4s 6．如图所示，湖边一倾角为的大坝，大坝与水面的交点为。大坝上点与点之间的距离为l=40m，一人站在点处以初速度沿水平方向扔小石块，小石块刚好可以击中点。取重力加速度g=10m/s2，忽略人的身高，不计空气阻力。 (1)求初速度的大小； (2)若增大初速度的大小，小石块落入水面时速度方向与水平方向的夹角为，求落水点与点间的距离s。 7．2025年亚洲冬季运动会的召开，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。其中跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的距离s为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度g取。求： (1)运动员从A处运动到B处所用的时间t； (2)运动员离开A处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离h。 角度02 与曲面结合的平抛运动 8．如图，竖直面内固定着一半圆槽，水平直径上的O点为半圆的圆心。将3个质量相等的小球从水平直径的左端分别向右平抛，小球分别落在半圆槽上的1、2、3处。下列说法正确的是（　　） A．在做平抛运动的全过程中，落在1处的小球运动的时间最长 B．落在3处的小球速度的反向延长线可能过圆心O点 C．在做平抛运动的全过程中，落在3处的小球的速度变化量最大 D．落在2处的小球做平抛运动的初速度最大 9．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 10．（多选）如图所示，从半径为R的半圆形圆弧轨道边缘A点水平抛出一质量为m的小球（可看作质点）。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．调节抛出速度的大小，小球可能垂直撞到圆轨道上 B．调节抛出速度的大小，小球不可能垂直撞到圆轨道上 C．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次平抛时间之和一定是定值 D．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次水平距离之和一定是定值 11．如图，水平放置的圆柱体圆心O的正上方有一点P，将一小球从P点以的速度水平抛出，其飞行一段时间后，恰从Q点沿切线飞过。已知OP与半径OQ的夹角，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球从P点运动到Q点所用的时间t。 (2)P点到圆柱体最高点的距离H。 考点03 斜抛运动 1．斜抛运动的定义：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的抛体运动。 2．斜抛运动的条件：①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方；②只受重力的作用。 【深化点拨】 1．斜上抛运动的分析 利用运动的合成与分解分析：可看作沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t① vx＝v0x＝v0cosθ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt④ 2．斜上抛运动的极值 结合1中分析，在最高点，vy＝0，由④式得t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 1．某人在向右沿直线匀速行驶的复兴号列车车厢内竖直向上抛出一小球。若不计空气阻力，则在地面上的人看来，小球在空中运动的轨迹是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，将小球从倾角为的斜面上的某一点以初速度垂直斜面抛出，其轨迹的最高点为，斜面上位于点正下方的点为，两点间的距离为，若将小球以的初速度垂直斜面抛出，此时将轨迹的最高点记为，斜面上位于正下方的点记为（图中未画出），则间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．网球运动员训练时，将球从某一点斜向上打出，若不计空气阻力，网球恰好能垂直撞在竖直墙上的某一固定点，等速率反弹后又恰好沿抛出轨迹返回击出点。如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，垂直击中竖直墙上的同一固定点。下列判断正确的是（    ） A．沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度小 B．两轨迹中网球刚要撞墙时的速度可能相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间短 D．沿轨迹1运动的网球击出时的初速度大 4．消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，同时启动了多水口进行灭火。如图有甲、乙两支靠在一起的高压水枪，它们的喷水口径相同，所喷出的水在空中运动的轨迹如图所示，它们到达的最高点位于同一水平线上，失火处也位于同一水平线上，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲水枪喷出的水在喷出时的速度比乙的小 B．甲水枪喷出的水在空中运动过程中速度变化比乙快 C．甲水枪喷出的水到达最高点时的速度为零 D．甲水枪喷出的水从最高点至落到失火处用时比乙多 5．（多选）投掷铅球时，铅球的出手高度h、出手速度v0的大小和方向（用出手速度方向与水平方向的夹角θ表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连拍的时间间隔为T=0.2s，图中1位置为铅球刚出手时的位置，4位置为铅球运动中的最高点，8位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程x=11.2m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．出手速度v0的大小为8m/s B．抛出角θ=37° C．铅球离地面的最大高度为1.8m D．落地速度的大小为 【斜上抛运动的处理技巧】 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 考点04 水平面内圆周运动的临界和极值问题 【拓展延伸】 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 角度01 水平面上汽车转弯类问题 【临界条件】水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值。 1．如图所示，一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列说法正确的是（     ） A．汽车转弯时所受的力有重力、支持力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20m⁄s时所需的向心力为 C．汽车转弯的速度为20m⁄s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过 角度02 火车转弯类问题 【临界条件】水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值。 2．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘挤压的弹力F提供火车转弯的向心力，如图甲所示，但是靠这种办法铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图乙所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 B．遇雨雪天气地面湿滑，规定的行驶速度也将改变 C．按规定速度行驶时，支持力小于重力 D．该弯道的半径 角度03 圆锥摆的临界和极值问题 【临界条件】(1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 3．（多选）四个小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B完全相同在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B的周期相等 B．小球C、D所需的向心加速度大小相等 C．小球A、B的线速度大小相等 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等 4．图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： (1)细线对小球的拉力的大小T； (2)图甲中小球角速度的大小ω1； (3)图乙中小球角速度的大小ω2。 5．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为37°，已知小物块与陶罐间的动摩擦因数µ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2。 (1)小物块做圆周运动的半径大小； (2)若ω=ω0时，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； (3)若小物块能一直相对陶罐静止（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求转台转动的角速度范围。 角度04 水平转盘上的圆周运动及其临界问题 【临界条件】(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 6．如图左，水平转盘可绕竖直轴在水平面内转动，轴上装有传感器。长L的细绳一端固定在传感器上，另一端系有的小物块，细绳伸直但不紧绷。水平转盘开始逐渐加速，传感器测得细绳拉力F与转盘角速度的平方关系图如下，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（    ） A．细绳对物块的拉力提供物块的向心力 B．物块与转盘间动摩擦因数为0.5 C．细绳长 D．仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点不变 7．质量均为的两个物体A与B，置于水平圆形转盘之上。物体A距转轴的距离为，物体B距转轴的距离为。两物体之间由一轻质细线连接，细线恰好伸直且无初始张力。已知物体A和B与转盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为。现使圆盘绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，以下说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力 B．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 C．当时，两物体即将相对转盘滑动 D．当时，两物体即将相对转盘滑动 8．如图所示，水平圆盘上有一个质量为3m的小木块a和一个质量为m的小木块b，用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。为转轴，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，求： (1)当圆盘转动的角速度为多大时，轻绳开始产生拉力； (2)继续增大角速度，当木块a所受的静摩擦力刚好达到最大值时，此时圆盘的角速度为多大？并求出此时轻绳的拉力大小； (3)已知轻绳能承受的最大拉力为。试问随着角速度的不断增大，绳子是否会被拉断？若能，求出此时圆盘的角速度为多大；若不能，请说明理由。 与解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 考点05 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型 【两种模型】 绳模型 杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力 示意图 过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 竖直面内圆周运动问题的解题思路 角度01 竖直面内圆周运动的“绳”模型 1．金台区职教中心的毛宇晨同学完成老师布置的实践作业，用长为L的细绳系着的盛水的杯子，在竖直平面内做圆周运动，水没有从杯子中洒出，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．盛水的杯子在最高点时，水对杯底一定有压力 B．盛水的杯子在最高点时，盛水杯子的速度一定不为零 C．杯子中盛水的质量越大，盛水的杯子恰好通过最高点时的速度越大 D．盛水的杯子通过和圆心等高的位置时，细绳中的拉力可能为零 2．如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，小球速度的平方v2与绳对小球的拉力F的关系图像如图乙所示，已知图线与纵轴的交点坐标为a，下列说法正确的是（　　） A．利用该装置可以得出重力加速度，且 B．根据题中条件无法求出小球通过最高点时的最小速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标变大 角度02 竖直面内圆周运动的“杆”模型 3．（多选）质量为的小球在竖直平面内绕点做半径为的圆周运动，甲图中为细绳；乙图中为轻质杆；丙图中竖直圆轨道光滑；丁图中圆形管道光滑。则下列说法正确的是（　　） A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球在最高点速度越大时，杆对物体的弹力越大 C．在丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力 D．在丁图中，小球在水平线以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能无作用力 4．如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-图像如图乙所示，重力加速度g取10，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为20N，方向向上 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 考点06 圆周运动与平抛运动的综合问题 角度01 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 【问题概述】 此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解。 解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 1．生活中经常会遇到圆锥摆运动，可以简化为如图所示的模型。长的细线一端系一小球，另一端悬挂在竖直转轴P上，缓慢增加转轴P的转动速度使小球在水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量，细线能承受的最大拉力，P点到水平地面的距离，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球能在水平面内做匀速圆周运动的最大角速度； (2)细线被拉断后，小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离d。 2．暑假里，某同学去游乐场游玩，坐了一次名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。该同学和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，该同学与座椅的总质量m=50kg，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力T的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)开放题：若转盘离地面的高度为，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸到地面上的行人，地面上至少要设置多大面积的区域不能通行？ 角度02 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 【问题概述】 此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解。 解题关键 (1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。 (2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。 3．质量的小球在长为的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，。 (1)若小球恰能通过最高点，求小球在最高点处的速度大小； (2)在某次运动中小球通过最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小； (3)绳断后小球做平抛运动，求小球落地时的水平距离。 （制作说明：有几道真题放几道，如果真题比较多，可以按照考查方向，一个方向放一道。） 【例1】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一投球机将小球从O点以速度水平抛出，同时，位于O点正前方地面P点的机器人伸直手臂，以速度竖直起跳用手接球，忽略空气阻力和机器人在空中的姿态变化。已知O点距地面高度为2 m，O、P两点间水平距离为3 m，起跳时手到地面的高度为1.2 m。若机器人刚好在空中接球成功，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，距地面足够高的两小球A、B初始时处于同一水平线，将A、B分别以速度v1=3m/s、v2=5m/s水平向左同时抛出，已知初始时两球相距L=10m，经时间t两球相遇，则（　　） A．t=5s B．t=4s C．t=3s D．t=2s 【变式1-3】（多选）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【变式2-1】（多选）将一个小球从离地面高度为h的A点以初速度v0水平向右抛出，小球恰好落在地面上的B点，要想使小球落在C点，下列哪种做法可行（　　） A．从A点以适当小于v0的初速度水平向右抛出 B．从A点以适当大于v0的初速度水平向右抛出 C．从A点正上方某点以初速度v0水平向右抛出 D．从A点正下方某点以初速度v0水平向右抛出 【变式2-2】（多选）如图所示，某同学在距标靶水平距离处将飞镖水平射出，飞镖扎入标靶点时，瞬间速度与竖直方向成角，已知重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　） A．飞镖在空中运动的时间为 B．飞镖竖直方向的位移为 C．飞镖的初速度大小为 D．若想让飞镖射中点下方的目标，应增大飞镖的初速度 【变式2-3】 如图所示，一由特殊材料制成的无上下底面空心圆筒竖直放置，圆筒内直径为。、分别为圆筒上、下底的左侧边缘点，两点在同一竖直线上。现将一可视为质点的小球从点以初速度沿圆筒直径水平向右抛出，小球在圆筒内运动时，每与内壁碰撞一次，碰撞后瞬间竖直分速度变为0，水平分速度大小变为碰撞前的且方向反向。忽略空气阻力，碰撞时间不计，重力加速度为。 (1)若小球能与圆筒内壁发生第1次碰撞，求碰撞前瞬间小球速度与水平方向夹角的正切值； (2)若小球与圆筒内壁碰撞1次后恰好从点离开，求圆筒的高度； (3)若圆筒高度，求小球在圆筒内运动的总时间。 【例3】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，某同学进行投篮训练，他将篮球从距地面高度处，沿与水平方向成的方向斜向上抛出，恰好直接落入高度的篮筐中心。已知从抛出到进筐过程中，篮球上升时间与下降时间之比为3:2，重力加速度取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，，，则篮球抛出时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】春晚舞台上，武BOT表演着各种武术动作。在表演某个动作时，武BOT以与水平方向成角的初速度从点斜向上弹射而出，经过点时速度方向与初速度方向恰好垂直。已知、之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（    ） A．从到的时间为 B．从到的时间为 C．从点抛出时的速度大小为 D．从点抛出时的速度大小为 【变式3-3】毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为10m/s2，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A．m/s B．2m/s C．2m/s D．5m/s 【例4】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，铺设铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。已知火车轨道所在平面与水平面间的夹角为，弯道的转弯半径为R，重力加速度为g。若质量为m的火车转弯时速度，则（　　） A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．重力和支持力的合力提供火车转弯的向心力 D．若火车速度大于v时，火车将受到内轨侧压力作用 【变式4-2】我国大疆无人机科技水平全球领先，某次实验时无人机在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为，以恒定速率在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R=12.5m，重力加速度g取，图示时刻无人机在O点最左侧，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是（　　） A．竖直向上，50 N B．竖直向上，40 N C．斜向右上方， N D．斜向右上方，40 N 【变式4-3】（多选）如图所示，火车转弯轨道外高内低。某同学在车厢内研究列车的运动情况，他在车厢顶部用细线悬挂一个质量为的小球。当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，已知列车与小球做匀速圆周运动的半径为，重力加速度大小为，则（　　） A．细线对小球的拉力的大小为 B．列车恒定速率为 C．车轮与内、外轨道间有压力，但外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 D．车厢内放在桌面上的手机所受支持力竖直向上 【例5】（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面a内做匀速圆周运动。缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面b内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ） A．角速度不变 B．线速度减小 C．向心加速度增大 D．所受拉力大小不变 【变式5-1】下图是一种叫“飞椅”的游乐项目，长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在水平转盘边缘，盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与竖直方向的夹角为。关于座椅，下列说法正确的是（　　） A．座椅做匀速圆周运动的半径为 B．座椅所受合力保持不变 C．钢绳的拉力与重力的合力提供向心力 D．钢绳的拉力小于座椅重力 【变式5-2】如图甲所示，竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为的小球（视为质点）接上不可伸长、长度均为的两相同的轻质细线、，细线能承受的最大拉力为（重力加速度大小为），细线的另一端系在竖直细杆的顶点上，细线的另一端系在杆上的点，、两点间的距离为。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。为了不使细线、断裂，小球的最大线速度为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，轻弹簧一端固定在竖直杆上的点，另一端连接小球，小球套在光滑水平杆上，整个装置可绕竖直杆转动。当装置分别以角速度、匀速转动时，小球相对杆分别静止在两点，杆对球的弹力大小分别为，其中方向向下，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 1．如图所示，长L的轻杆两端分别固定着可视为质点的质量为2m和m的小球，放置在光滑水平桌面上，轻杆中心O有一竖直方向的固定转动轴。当轻杆绕轴以角速度ω在水平桌面上转动时，转轴受杆的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度，使之在漏斗底面内做圆周运动，则（　　） A．小球一定受到两个力的作用 B．小球可能受到三个力的作用 C．当时，小球对底面的压力为零 D．当时，小球对侧壁的压力为零 3．如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度大小为，与水平方向的夹角为53°，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为45°，重力加速度大小为，，忽略空气阻力。则点到点的时间是（　　） A． B．0.6s C． D． 4．如图所示，环保人员在一次检查时发现，一根污水管道出口水平，污水正从管道出口向外流出，形成水柱。下列说法正确的是（    ） A．污水流速越大，单位时间内排污水体积越大 B．出口距水面的高度越高，污水落至水面时的水平距离越小 C．单位时间内排污水体积与管道直径无关 D．空中水柱的体积与管道直径无关 5．（多选）如图所示，轻质弹簧下端连接质量为的小球（视为质点），上端悬挂在天花板上的点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为。已知弹簧与竖直方向的夹角为，、两点间的高度差为，弹簧的伸长量也为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的角速度为 B．小球做匀速圆周运动的角速度为 C．弹簧的劲度系数为 D．弹簧的劲度系数为 6．（多选）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。其中、时刻图线的切线斜率为零，时刻图线与轴相交。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．时刻杆对小球的弹力背离圆心 B．时刻小球运动到最高点 C．时刻杆对小球的弹力为零 D．小球在运动过程中向心加速度不可能为零 7．（多选）如图甲所示，倾斜挡板OA与竖直方向的夹角为θ，小球从O点的正上方高度为H的P点以水平速度水平抛出，落到挡板时，小球的位移与挡板垂直；现让挡板绕O点在竖直面内转动，改变挡板与竖直方向夹角θ的同时，也改变小球平抛运动的初速度，每次平抛运动，小球的位移总与挡板垂直，函数关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．若当地的重力加速度为g，图乙的函数关系图像对应的方程式 B．若图乙的斜率为k，则当地的重力加速度为 C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为Hg D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度为，则 8．如图所示，可视为质点的物块从A点水平抛出，恰好在B点沿切线方向进入半径的固定圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上水平地面，圆弧轨道C端的切线水平。已知物块质量，AB竖直高度，圆弧轨道对应圆心角，重力加速度g取，，。 (1)求物块抛出时的速度大小； (2)求物块在B点时的速度大小； (3)若物块到达C点时的速度大小，求物块在C点处与轨道间压力的大小。 9．如图所示，长L=0.5m的轻绳一端固定在O1点，另一端系有质量m=0.5kg的小球（视为质点），球在竖直平面内以O1为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点A时，绳恰好受到所能承受的最大拉力14N而被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，并恰好由B点沿切线方向进入右侧固定圆弧轨道BCD。已知圆弧轨道半径R=0.5m，B点与圆心O2的连线与竖直方向的夹角θ=53°，g取10m/s2，sin53°=0.8，空气阻力忽略不计。 (1)求轻绳断裂瞬间小球的速度大小； (2)求小球进入圆弧轨道的B点时对轨道的压力大小； (3)若圆弧轨道的动摩擦因数可调节，使得小球以不同的速度从轨道最高点D水平抛出。请分析并判断小球从D点抛出后，能否落回到圆弧轨道的B点。 10．如图甲所示，一轻质细绳与小球相连，一起在竖直平面内做圆周运动，小球质量，球心到转轴的距离，取重力加速度，不计空气阻力。 (1)若小球恰好能过圆的最高点，求小球在最高点的速率； (2)小球运动到最低点时速率 ，求小球对绳子的作用力大小F； (3)如图乙所示，将小球提到最高点，此时绳子刚好伸直且无张力，再将小球以水平抛出，求从抛出小球到绳再次伸直的时间t。 11．如图，将小球从空中点以一定的初速度斜向右上抛出，抛出时的初速度与水平方向的夹角，经过一段时间，小球运动到点，小球在点的速度与水平方向的夹角，重力加速度取，，，不计空气阻力。求： (1)小球从点抛出时的速度大小； (2)、两点间的水平距离和竖直距离。 12．冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图甲所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上边缘P点以初速度水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为，圆盘半径，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t； (2)参赛者要落在圆盘上，的范围； (3)若转盘边缘间隔均匀地固定有6个相同障碍桩（桩高度大于），如图乙所示。障碍桩及桩和桩之间的间隔对应的圆心角均相等，俯视图如图丙。某参赛者（可视为质点）从平台边缘P点，以水平速度沿PO方向跳离平台的同时，圆盘绕圆心O以角速度从丙图所示位置开始逆时针匀速转动。要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，求圆盘转动的角速度ω（只考虑圆盘转动一周内的情况）。不计桩的厚度，结果可以保留π。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 抛体运动与圆周运动（培优讲义） 课标要点 1.会求解平抛运动的速度、位移与轨迹。 2.会用平抛运动的规律解决实际问题。 3.巩固向心力和向心加速度的知识。 4.会利用牛顿第二定律和圆周运动知识解决生活中比较简单的圆周运动问题。 1.会用运动的合成与分解分析平抛运动和斜抛运动。 2.理解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源。 3.理解杆能提供拉力、支持力；绳只能提供拉力分析竖直面内的圆周运动。 方法指导 考点01 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。 2．运动的性质：加速度为g的匀变速运动。 二、平抛运动 1．定义：初速度沿水平方向的抛体运动。 2．条件：①v0≠0，且沿水平方向；②只受重力的作用。 三、平抛运动的基本规律 1．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 2．基本规律(如图所示) (1)速度 (2)位移 (3)轨迹方程：y＝x2。可知平抛运动的轨迹是抛物线。 【深化点拨】 关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定 落地速度(v) v＝＝，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度由初速度v0和下落高度h共同决定 速度的改变量 (Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均为Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下，如图所示 拓展：类平抛运动 (1)定义：如果质点受到的合力是恒力，且与初速度垂直，则质点的运动与平抛运动类似，轨迹是抛物线，这类运动叫作类平抛运动。例如，带电粒子垂直射入匀强电场，做类平抛运动。 (2)求解方法：运动的合成与分解。 1．如图所示，射水鱼发现前方的昆虫，斜向上射出的水柱恰好水平击中昆虫。若鱼嘴与昆虫的直线距离为1 m，两者连线与水平方向的夹角为53°，，，重力加速度为，忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．水柱的初速度方向与水平方向的夹角为53° B．水柱在空中运动的时间为 C．击中昆虫的速度大小为 D．水柱的初速度大小为 【答案】C 【详解】B．根据逆向思维，将水柱的运动反向看作平抛运动分析，由水柱竖直方向的运动可得 解得水柱从发射到击中昆虫的时间为，故B错误； C．由水柱水平方向上为匀速直线运动，可得 解得初速度的水平分速度，故C正确； D．由水柱竖直方向的运动可得初速度的竖直分速度 根据速度的合成可得，斜向上射出的水柱的初速度大小为，故D错误； A．设斜向上射出的水柱，初速度方向与水平方向夹角为，则 又因为 斜向上射出的水柱，初速度与水平方向夹角不等于，故A错误。 故选C。 2．如图，一花洒出水孔分布在正方形区域内。现将出水口所在的平面竖直放置水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（P、Q分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】设水龙头最低点离地面的高度为h，出水区域的对角线长为a，水滴距离地面的高度为y+h，设初速度为v0，则竖直方向，有 水平方向，有 解得（0<y<a） 由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢。 故选B。 3．投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为、的、位置水平抛出，落地时水平位移分别为、。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．、两箭在空中运动的时间相同 B．、两箭在空中运动的位移相同 C．要想两箭落到同一点，箭的初速度要变为原来的倍 D．落地时箭速度偏向角正切值为箭速度偏向角正切值的4倍 【答案】D 【详解】A．由于平抛运动竖直方向做的是自由落体运动，则由可知，质点下落的时间为 由于，则有，故A错误； B．箭在空中运动的位移大小为 同理箭在空中运动的位移大小为 位移是矢量，、两箭在空中运动的位移大小相等但方向不同，所以位移不同，故B错误； C．由于、两箭在空中运动的时间不变，所以要想使两箭落到同一点，则箭落地时的水平位移要变为原来的2倍，故由可知，箭的初速度要变为原来的2倍，故C错误； D．设、两箭落地时速度偏向角分别为和，因落地时速度的反向延长线过水平位移的中点，则有， 所以有 即落地时箭速度偏向角的正切值为箭速度偏向角正切值的4倍，故D正确。 故选D。 4．如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比c的长 B．a的初速度比c的大 C．b的飞行时间比c的长 D．b的初速度比c的小 【答案】B 【详解】AC．三个小球都做平抛运动，根据平抛运动的规律，时间只由竖直方向高度决定，有 由于 所以有，故AC错误； bBD．在水平方向上有 由于 所以有，故B正确，D错误。 故选B。 5．（多选）如图，光滑固定斜面的倾角为，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【答案】ABC 【详解】AB．由牛顿第二定律可知小球的加速度为，方向沿斜面向下，小球初速度与加速度方向垂直且加速度不变，因此小球的运动轨迹为抛物线，故AB正确； C．小球垂直于初速度方向的在斜面上运动的位移 解得，故C正确； D．小球到达处的速度大小，故D错误。 故选ABC。 【“化曲为直”思想在平抛运动中的应用】 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 考点02 受斜面、曲面约束的平抛运动 【常见模型】 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【平抛运动的两个重要推论】 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图所示。 与斜面或圆弧面有关的平抛运动处理技巧 1．处理方法 做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 2．规律技巧 （1）首先确定平抛运动情景已知速度还是位移（方向），再分解速度（或是位移），最后根据两方向上的运动规律列方程求解。 （2）从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动，当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 （3）对于从斜面抛出落回斜面上的平抛运动而言：“时速正比”、“位能平方”即运动时间与初速度大小成正比，位移（水平、竖直、总位移）和物块的动能都也初速度的平方成正比。 角度01 与斜面有关的平抛运动 1．高台跳雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，运动员从平台的顶点处以一定初速度沿水平方向飞出，经一段时间后落在斜坡上。已知斜坡倾角，若以平台的顶点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，建立直角坐标系，则运动员运动的轨迹方程为，重力加速度，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．运动员飞出时的初速度大小为10m/s B．运动员在空中运动的时间为 C．运动员下落的高度为10m D．运动员从飞出到落地时运动的位移大小为45m 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动规律有， 解得 根据题意可知 解得，故A错误； B．根据几何关系有 解得，故B正确； C．运动员下落的高度为，故C错误； D．运动员的水平位移为 运动员从飞出到落地时运动的位移大小为，故D错误。 故选B。 2．我军在某次实弹演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，经过时间炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。已知，，不计空气阻力，重力加速度取。下列表述正确的是（　　） A．炸弹刚投放时的初速度大小为 B．炸弹在空中运动相等时间内的速度变化量不同 C．炸弹垂直击中山坡上的目标时的速度大小为10m/s D．炸弹在空中运动的整个过程中，水平方向的位移与竖直方向的位移之比为0.75 【答案】C 【详解】A．据题意可得，炸弹下落0.8s时，竖直分速度 由几何关系有 解得，故A错误； B．由于炸弹在空中做匀变速曲线运动，所以相等时间内的速度变化量相同，故B错误； C．炸弹垂直击中山坡上的目标时的速度大小，故C正确； D．炸弹在空中运动的整个过程中，炸弹的水平位移为 竖直位移为 水平方向的位移与竖直方向的位移之比为1.5，故D错误。 故选C。 3．某次战斗中，我方固守一处阵地：山坡横截面呈直角三角形，坡面朝向敌方，坡脚延伸至开阔平地。敌方步兵分队正从平地发起仰攻。为阻止敌方向我方推进，我方战士从坡顶掩体水平投掷手榴弹。忽略空气阻力。关于手榴弹从出手到触地的时间t与出手时水平速度的关系图像，下列图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设山坡倾角为，当较小时，手榴弹落在山坡上，根据几何关系可得 可得 可知当手榴弹落在山坡上，下落时间与初速度成正比；当较大时，手榴弹落在水平地面上，下落高度一定，由，可得 可知下落时间一定，与初速度无关。 故选A。 4．（多选）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A．运动员做平抛运动，运动时间满足 解得，由于运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间，故A错误； B．平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 结合上述分析可知，故B正确； C．从下图运动轨迹可看出当竖直位移相等时有，可得 从抛出到落在两点有，根据， 可得 运动员落在平台下方的斜面上的M点时速度为，落在平台下方的斜面上的N点时速度为，所以，故C错误； D．连接P点到落点构造斜面，相关角度如下图所示，根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有， 由于，则有，即，故D正确。 故选BD 。 5．（多选）如图所示，小球从平台上抛出，正好落在临近平台的一倾角为的光滑斜面上，且速度方向恰好沿斜面，并沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．小球到达斜面顶端的时间为0.4s B．小球水平抛出的初速度v0=3m/s C．水平平台边缘到斜面顶端的水平距离为s=12m D．若斜面顶端高H=7.2m，则小球沿斜面运动的时间为1.4s 【答案】AB 【详解】A．小球从平台上抛出，做平抛运动，竖直方向由，解得小球到达斜面顶端的时间为，故A正确； B．小球到达斜面顶端时竖直方向的速度大小为 小球到达斜面顶端时，由，解得，故B正确； C．水平平台边缘到斜面顶端的水平距离为，故C错误； D．小球到达斜面顶端时速度大小为 小球在斜面上运动的加速度大小为 设小球沿斜面运动的时间为，则 解得，（舍去），故D错误。 故选AB。 6．如图所示，湖边一倾角为的大坝，大坝与水面的交点为。大坝上点与点之间的距离为l=40m，一人站在点处以初速度沿水平方向扔小石块，小石块刚好可以击中点。取重力加速度g=10m/s2，忽略人的身高，不计空气阻力。 (1)求初速度的大小； (2)若增大初速度的大小，小石块落入水面时速度方向与水平方向的夹角为，求落水点与点间的距离s。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）水平方向 竖直方向 解得t=2s， （2）落水时竖直速度 则水平速度 落水点与点间的水平距离 落水点与点间的距离 7．2025年亚洲冬季运动会的召开，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。其中跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的距离s为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度g取。求： (1)运动员从A处运动到B处所用的时间t； (2)运动员离开A处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）竖直方向做自由落体运动，有 代入数据解得运动员从A处运动到B处所用的时间为 （2）水平方向做匀速直线运动，有 解得运动员离开A处时的速度大小为 （3）沿斜面为x轴，垂直于斜面为y轴，建立平面直角坐标系，将初速度和重力加速度分解，则， 由运动学公式可得 则运动员在空中离坡面的最大距离为 角度02 与曲面结合的平抛运动 8．如图，竖直面内固定着一半圆槽，水平直径上的O点为半圆的圆心。将3个质量相等的小球从水平直径的左端分别向右平抛，小球分别落在半圆槽上的1、2、3处。下列说法正确的是（　　） A．在做平抛运动的全过程中，落在1处的小球运动的时间最长 B．落在3处的小球速度的反向延长线可能过圆心O点 C．在做平抛运动的全过程中，落在3处的小球的速度变化量最大 D．落在2处的小球做平抛运动的初速度最大 【答案】A 【详解】AC．小球做平抛运动的时间取决于在竖直方向下落的高度，根据，可知落在1处的小球运动的时间最长，根据，可知落在1处的小球的速度变化量最大，故A正确，C错误； B．小球做平抛运动时，速度的反向延长线过水平位移的中点，因而落在3处的小球速度的反向延长线不可能过圆心O点，故B错误； D．落在3处的小球运动的时间最短，水平位移最大，故其做平抛运动的初速度最大，故D错误。 故选A。 9．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 【答案】C 【详解】ABC．将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起 可知若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的交点A处，改变初速度，可以先落在半圆轨道，也可以先落在斜面上，故AB错误，C正确； D．若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 故选C。 10．（多选）如图所示，从半径为R的半圆形圆弧轨道边缘A点水平抛出一质量为m的小球（可看作质点）。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．调节抛出速度的大小，小球可能垂直撞到圆轨道上 B．调节抛出速度的大小，小球不可能垂直撞到圆轨道上 C．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次平抛时间之和一定是定值 D．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次水平距离之和一定是定值 【答案】BD 【详解】AB．若小球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以小球不可能垂直落在半圆轨道上，故B正确，A错误； C．两次小球落点同一高度，说明落点y坐标（下落高度）相等，设为h，由 解得两次运动时间 时间之和为 可见时间之和不是定值，故C错误； D．同一高度h的两个落点满足圆方程，坐标为， 水平位移分别为， 则水平位移之和为，故D正确。 故选BD。 11．如图，水平放置的圆柱体圆心O的正上方有一点P，将一小球从P点以的速度水平抛出，其飞行一段时间后，恰从Q点沿切线飞过。已知OP与半径OQ的夹角，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球从P点运动到Q点所用的时间t。 (2)P点到圆柱体最高点的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球在Q点时的速度为，在Q点时竖直方向上的速度为，如图所示 根据几何关系可知，小球在Q点时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则　 小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有　 解得小球从P点运动到Q点所用的时间 （2）小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有　 由几何关系可得　 竖直方向上的位移　 P点距圆柱体最高点的高度　 联立可得 考点03 斜抛运动 1．斜抛运动的定义：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的抛体运动。 2．斜抛运动的条件：①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方；②只受重力的作用。 【深化点拨】 1．斜上抛运动的分析 利用运动的合成与分解分析：可看作沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t① vx＝v0x＝v0cosθ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt④ 2．斜上抛运动的极值 结合1中分析，在最高点，vy＝0，由④式得t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 1．某人在向右沿直线匀速行驶的复兴号列车车厢内竖直向上抛出一小球。若不计空气阻力，则在地面上的人看来，小球在空中运动的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】列车向右沿直线匀速行驶，乘客坐在车厢内，竖直向上抛出一小球，在地面上的人看来，小球抛出时的速度斜向上偏右，小球在空中只受重力作用，小球做斜抛运动，轨迹为抛物线。 故选B。 2．如图所示，将小球从倾角为的斜面上的某一点以初速度垂直斜面抛出，其轨迹的最高点为，斜面上位于点正下方的点为，两点间的距离为，若将小球以的初速度垂直斜面抛出，此时将轨迹的最高点记为，斜面上位于正下方的点记为（图中未画出），则间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】到达P点的时间 从抛出到P点的竖直高度 水平位移 可知 则若将小球以初速度垂直斜面抛出，则 故选D。 3．网球运动员训练时，将球从某一点斜向上打出，若不计空气阻力，网球恰好能垂直撞在竖直墙上的某一固定点，等速率反弹后又恰好沿抛出轨迹返回击出点。如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，垂直击中竖直墙上的同一固定点。下列判断正确的是（    ） A．沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度小 B．两轨迹中网球刚要撞墙时的速度可能相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间短 D．沿轨迹1运动的网球击出时的初速度大 【答案】D 【详解】C．原运动垂直撞向竖直墙，撞墙速度水平，因此逆过程初速度水平，符合平抛运动的条件，将原运动逆向为从墙上固定点出发的平抛运动，固定点位置相同，两个击出点高度相同，因此平抛过程下落的竖直高度相同，由平抛运动竖直方向公式 可得两次运动时间相同，故C错误； AB．轨迹1的击出点离墙更远，因此平抛过程水平位移 水平方向为匀速运动，有 相同，因此刚要撞墙时的速度 即沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度更大，故AB错误； D．原运动击出点的初速度大小，等于平抛运动落到击出点的末速度大小。平抛运动末速度满足 相同，​更大，因此，即沿轨迹1运动的网球击出时的初速度更大，故D正确。 故选D。 4．消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，同时启动了多水口进行灭火。如图有甲、乙两支靠在一起的高压水枪，它们的喷水口径相同，所喷出的水在空中运动的轨迹如图所示，它们到达的最高点位于同一水平线上，失火处也位于同一水平线上，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲水枪喷出的水在喷出时的速度比乙的小 B．甲水枪喷出的水在空中运动过程中速度变化比乙快 C．甲水枪喷出的水到达最高点时的速度为零 D．甲水枪喷出的水从最高点至落到失火处用时比乙多 【答案】A 【详解】A．水从喷出至到达最高点，逆过来看是平抛运动，由于甲水枪喷出的水和乙水枪喷出的水在竖直方向上的分位移相等，根据 可知甲水枪喷出的水从喷出至最高点所用的时间与乙的相等，又因为乙水枪喷出的水在水平方向上的分位移比甲的大，根据 可知乙水枪喷出的水的水平分速度比甲的大； 水从喷出到最高点的竖直速度满足 可知甲水枪喷出的水和乙水枪喷出的水在喷出时的竖直速度相等，根据速度合成 可知，甲水枪喷出的水落到失火处时的速度比乙的小，故A正确； B．水枪喷出的水在空中运动过程中仅受重力作用，加速度均为重力加速度，所以速度变化相同，故B错误； C．甲水枪喷出的水到达最高点时的竖直方向速度为零，水平分速度不变，故到达最高点时的速度不为零，故C错误； D．水从最高点落到失火处的运动可视为平抛运动，由于甲水枪喷出的水和乙水枪喷出的水在竖直方向上的分位移相等，根据 可知甲水枪喷出的水从最高点至落到失火处所用的时间与乙的相等，故D错误。 故选A。 5．（多选）投掷铅球时，铅球的出手高度h、出手速度v0的大小和方向（用出手速度方向与水平方向的夹角θ表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连拍的时间间隔为T=0.2s，图中1位置为铅球刚出手时的位置，4位置为铅球运动中的最高点，8位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程x=11.2m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．出手速度v0的大小为8m/s B．抛出角θ=37° C．铅球离地面的最大高度为1.8m D．落地速度的大小为 【答案】BD 【详解】A．相邻位置时间间隔，从出手（位置1）到最高点（位置4）共 最高点竖直速度为0，因此竖直初速度 从出手到落地（位置8）总时间，水平总位移 水平分速度 出手速度大小，A错误； B．抛出角 ，得，B正确； C．小球从最高点位置4到落地点位置8共用时 最大高度，C错误； D．落地时水平速度，竖直速度 因此落地速度大小，D正确。 故选 BD。 【斜上抛运动的处理技巧】 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 考点04 水平面内圆周运动的临界和极值问题 【拓展延伸】 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 角度01 水平面上汽车转弯类问题 【临界条件】水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值。 1．如图所示，一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列说法正确的是（     ） A．汽车转弯时所受的力有重力、支持力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20m⁄s时所需的向心力为 C．汽车转弯的速度为20m⁄s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过 【答案】D 【详解】A．汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误； BC．当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可得 解得 所以汽车转弯的速度为20m/s时，所需的向心力小于，汽车不会发生侧滑，BC错误； D．汽车能安全转弯的向心加速度，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过，D正确。 故选D。 角度02 火车转弯类问题 【临界条件】水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值。 2．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘挤压的弹力F提供火车转弯的向心力，如图甲所示，但是靠这种办法铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图乙所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 B．遇雨雪天气地面湿滑，规定的行驶速度也将改变 C．按规定速度行驶时，支持力小于重力 D．该弯道的半径 【答案】D 【详解】A．当火车速率大于时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，火车将有离心的趋势，则外轨将受到轮缘的挤压，故A错误； BD．内、外轨所在平面的倾角为，当火车以规定的行驶速度转弯时，其所受的重力和铁轨对它的支持力的合力提供向心力，如图所示 对火车有 解得 与接触面粗糙程度无关，故B错误，D正确； C．按规定速度行驶时，有 可知支持力大于重力，故C错误。 故选D。 角度03 圆锥摆的临界和极值问题 【临界条件】(1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 (2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。 (3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。 3．（多选）四个小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B完全相同在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B的周期相等 B．小球C、D所需的向心加速度大小相等 C．小球A、B的线速度大小相等 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等 【答案】AB 【详解】A C．甲图中，设绳与竖直方向的夹角为，则有 根据牛顿第二定律有 解得圆锥摆的周期公式，A、B两球高度相同，故周期相同； 而线速度，小球B的半径大，则小球B的线速度大，故C错误、A正确； B．乙图中，设绳与竖直方向的夹角为，绳长为，小球的质量为m，则对做圆锥摆运动的小球进行受力分析，如图所示： 小球在水平面内做匀速圆周运动，则由合外力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得小球做匀速圆周运动的加速度大小为 由于连接小球C、D的绳与竖直方向的夹角相等，所以小球C、D所需的向心加速度大小相等，故B正确； D．乙图中，设绳的拉力为，由于做圆锥摆运动的小球在竖直方向受力平衡，则有 解得 虽然连接小球C、D的绳与竖直方向的夹角相等，但由于不知道两球的质量关系，所以不能确定小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小是否相等，故D错误。 故选AB。 4．图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： (1)细线对小球的拉力的大小T； (2)图甲中小球角速度的大小ω1； (3)图乙中小球角速度的大小ω2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设细线与竖直方向的夹角为θ，则细线对小球的拉力的大小， 所以 （2）根据牛顿第二定律可得 所以 （3）根据牛顿第二定律可得 所以 5．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为37°，已知小物块与陶罐间的动摩擦因数µ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2。 (1)小物块做圆周运动的半径大小； (2)若ω=ω0时，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； (3)若小物块能一直相对陶罐静止（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求转台转动的角速度范围。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由题图可知，小物块做圆周运动的半径大小为 （2）小物块受到的摩擦力恰好为零时，对小物块 竖直方向有 水平方向有 联立方程代入数据解得 （3）当小物块将要向上滑动时 竖直方向有 水平方向有 且有 联立方程代入数据解得 当小物块将要向下滑动时 竖直方向有 水平方向有 且有 联立方程代入数据解得 则小物块能一直相对陶罐静止，转台转动的角速度范围为 角度04 水平转盘上的圆周运动及其临界问题 【临界条件】(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 (2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 (3)运动实例 6．如图左，水平转盘可绕竖直轴在水平面内转动，轴上装有传感器。长L的细绳一端固定在传感器上，另一端系有的小物块，细绳伸直但不紧绷。水平转盘开始逐渐加速，传感器测得细绳拉力F与转盘角速度的平方关系图如下，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（    ） A．细绳对物块的拉力提供物块的向心力 B．物块与转盘间动摩擦因数为0.5 C．细绳长 D．仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点不变 【答案】C 【详解】A．当转盘角速度较小时，物块的向心力由静摩擦力提供；当角速度增大到一定程度，细绳绷紧后，向心力由最大静摩擦力和细绳的拉力共同提供，故A错误； BC．由图可知时，此时静摩擦力达到最大，之后，细绳开始有拉力，对物块，根据牛顿第二定律有 解得 结合图像可得斜率 解得 纵截距 解得，故B错误，C正确； D．根据 当时，解得 可知仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点变小，即图线与横轴的交点左移，故D错误。 故选C。 7．质量均为的两个物体A与B，置于水平圆形转盘之上。物体A距转轴的距离为，物体B距转轴的距离为。两物体之间由一轻质细线连接，细线恰好伸直且无初始张力。已知物体A和B与转盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为。现使圆盘绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，以下说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力 B．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 C．当时，两物体即将相对转盘滑动 D．当时，两物体即将相对转盘滑动 【答案】BC 【详解】AB．由 A和B随转盘转动的角速度相等，故B需要的向心力大，先达到最大静摩擦力，故A错误，B正确； CD．对A和B组成的整体，最大的向心力为最大的静摩擦力，故有 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 8．如图所示，水平圆盘上有一个质量为3m的小木块a和一个质量为m的小木块b，用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。为转轴，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，求： (1)当圆盘转动的角速度为多大时，轻绳开始产生拉力； (2)继续增大角速度，当木块a所受的静摩擦力刚好达到最大值时，此时圆盘的角速度为多大？并求出此时轻绳的拉力大小； (3)已知轻绳能承受的最大拉力为。试问随着角速度的不断增大，绳子是否会被拉断？若能，求出此时圆盘的角速度为多大；若不能，请说明理由。 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【详解】（1）当角速度非常小时，两木块均由静摩擦力提供圆周运动的向心力，对有 对有 当角速度逐渐增大时，摩擦力逐渐增大，随后木块先达到最大静摩擦力，对，由最大静摩擦力提供向心力 解得 （2）当角速度继续增大，的静摩擦力已经达到最大值，拉力开始增大，的静摩擦力随增大逐渐达到最大值，方向指向转轴。 对有 对有 联立两式解得， （3）由（2）可知，当的静摩擦力刚好达到最大值、即将发生滑动时，绳子拉力仅为 该值小于绳子的最大拉力 说明在绳子拉力达到最大值之前，的静摩擦力已经不足以提供向心力，木块先发生滑动，因此绳子不会被拉断。 与解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 考点05 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型 【两种模型】 绳模型 杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力 示意图 过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 竖直面内圆周运动问题的解题思路 角度01 竖直面内圆周运动的“绳”模型 1．金台区职教中心的毛宇晨同学完成老师布置的实践作业，用长为L的细绳系着的盛水的杯子，在竖直平面内做圆周运动，水没有从杯子中洒出，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．盛水的杯子在最高点时，水对杯底一定有压力 B．盛水的杯子在最高点时，盛水杯子的速度一定不为零 C．杯子中盛水的质量越大，盛水的杯子恰好通过最高点时的速度越大 D．盛水的杯子通过和圆心等高的位置时，细绳中的拉力可能为零 【答案】B 【详解】A．盛水的杯子在最高点时，临界情况为水的重力恰好提供向心力，此时杯底对水的弹力为0，根据牛顿第三定律，水对杯底的压力也为0，因此压力不是一定存在，故A错误； C．恰好通过最高点的临界条件满足 得到临界速度，和水的质量无关，故C错误； B．本题是细绳系物体的绳模型圆周运动，水不洒出的条件是最高点速度，故B正确； D．当杯子在和圆心等高的位置时，圆周运动的向心力沿水平方向指向圆心，重力是竖直方向，无法提供水平方向的向心力，向心力必须由细绳拉力提供，因此细绳拉力不可能为零，故D错误。 故选B。 2．如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，小球速度的平方v2与绳对小球的拉力F的关系图像如图乙所示，已知图线与纵轴的交点坐标为a，下列说法正确的是（　　） A．利用该装置可以得出重力加速度，且 B．根据题中条件无法求出小球通过最高点时的最小速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标变大 【答案】C 【详解】A．当时，，则有 解得，故A错误； BC．在最高点，根据牛顿第二定律得 则 在最高点速度最小时F=0，可得最小速度 图线的斜率，则绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率会更大，故B错误，C正确； D．根据上式，当时，，可知点的位置与质量无关，故D错误。 故选C。 角度02 竖直面内圆周运动的“杆”模型 3．（多选）质量为的小球在竖直平面内绕点做半径为的圆周运动，甲图中为细绳；乙图中为轻质杆；丙图中竖直圆轨道光滑；丁图中圆形管道光滑。则下列说法正确的是（　　） A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球在最高点速度越大时，杆对物体的弹力越大 C．在丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力 D．在丁图中，小球在水平线以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能无作用力 【答案】AD 【详解】A．甲丙图原理相同，小球恰好到最高点时，刚好由重力充当向心力，满足 解得，故A正确； B．乙丁图中，由于杆或内轨对小球有支持力的作用，小球在最高点速度小于时，杆或内轨对小球有支持力，根据牛顿第二定律可得 解得 此时，速度逐渐减小时，杆对物体的弹力逐渐增大；小球在最高点速度大于时，杆或外轨对小球有拉力（压力），根据牛顿第二定律可得 解得 此时，速度越大时，杆对小球的弹力越大，故B错误； C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力为外轨的支持力和重力沿半径方向分力的合力，故外侧管壁对小球一定有作用力，故C错误； D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，如果在最高点的速度大于，小球有做离心运动的趋势，所以只有外侧管壁对小球有作用力，如果在最高点的速度小于，小球有做近心运动的趋势，只有内侧管壁对小球有作用力，如果在最高点的速度等于，内侧管壁对小球可能无作用力，故D正确。 故选AD。 4．如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-图像如图乙所示，重力加速度g取10，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为20N，方向向上 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 【答案】C 【详解】AB．小球在圆管最高点时，受力分两种情况：当时，圆管内壁对小球有向上的弹力，合力提供向心力 得 当时，圆管外壁对小球有向下的弹力，合力提供向心力 得 从图乙可知当时，，代入，得 当时，，此时，约去得，故AB正确； C．当时，，代入 得 此时弹力方向向上（圆管内壁托住小球），故C错误； D．当时，，代入 得，此时弹力方向向下（圆管外壁压住小球），故D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 考点06 圆周运动与平抛运动的综合问题 角度01 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 【问题概述】 此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解。 解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 1．生活中经常会遇到圆锥摆运动，可以简化为如图所示的模型。长的细线一端系一小球，另一端悬挂在竖直转轴P上，缓慢增加转轴P的转动速度使小球在水平面内做匀速圆周运动。已知小球的质量，细线能承受的最大拉力，P点到水平地面的距离，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球能在水平面内做匀速圆周运动的最大角速度； (2)细线被拉断后，小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离d。 【答案】(1) (2)2m 【详解】（1）设小球转动角速度最大时细线与转轴的夹角为，对小球受力分析可知， 解得 （2）细线被拉断时，小球的速度 解得 细线被拉断后小球做平抛运动，如图所示 则有， 小球的落地点到P点在水平地面上的竖直投影点的距离 解得 2．暑假里，某同学去游乐场游玩，坐了一次名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。该同学和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，该同学与座椅的总质量m=50kg，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力T的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)开放题：若转盘离地面的高度为，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸到地面上的行人，地面上至少要设置多大面积的区域不能通行？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对该同学和座椅，竖直方向有 解得 （2）水平方向上，根据牛顿第二定律有 其中 联立解得 （3）物品掉落瞬间的速度 物品掉落后做平抛运动，竖直方向有 解得物品掉落后做平抛运动的时间 则平抛运动的水平位移为 由题意可得，设置禁止通行区域的半径 则设置禁止通行区域的面积 角度02 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 【问题概述】 此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解。 解题关键 (1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。 (2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。 3．质量的小球在长为的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，。 (1)若小球恰能通过最高点，求小球在最高点处的速度大小； (2)在某次运动中小球通过最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小； (3)绳断后小球做平抛运动，求小球落地时的水平距离。 【答案】(1)6m/s (2)12m/s (3)14.4m 【详解】（1）当小球恰好通过最高点时，小球只受重力，并由重力提供向心力。设此时速度为，根据牛顿第二定律得 所以 （2）若细绳此时恰好被拉断小球在最低点时，由牛顿第二定律得 解得 （3）绳断后，小球做平抛运动，设水平距离为，则由 竖直方向自由落体运动则有 解得 （制作说明：有几道真题放几道，如果真题比较多，可以按照考查方向，一个方向放一道。） 【例1】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 【变式1-1】如图，一投球机将小球从O点以速度水平抛出，同时，位于O点正前方地面P点的机器人伸直手臂，以速度竖直起跳用手接球，忽略空气阻力和机器人在空中的姿态变化。已知O点距地面高度为2 m，O、P两点间水平距离为3 m，起跳时手到地面的高度为1.2 m。若机器人刚好在空中接球成功，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球水平方向匀速运动，已知OP水平距离为，因此 O点离地高度，接球时小球的离地高度为 起跳时机器人手离地高度，机器人竖直上抛，接球时手的离地高度为 接球时两者高度相等，代入整理得 消去时间得： 故选B。 【变式1-2】如图所示，距地面足够高的两小球A、B初始时处于同一水平线，将A、B分别以速度v1=3m/s、v2=5m/s水平向左同时抛出，已知初始时两球相距L=10m，经时间t两球相遇，则（　　） A．t=5s B．t=4s C．t=3s D．t=2s 【答案】A 【详解】小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，两球相遇时，有 代入数据解得 故选A。 【变式1-3】（多选）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．甲球做斜下抛运动，乙球做斜上抛运动，要使两球在空中相遇，则水平方向速度相同，即 其中，得，故A错误，B正确； CD．两球速度大小相等时相遇，两球水平方向速度相同，根据速度合成可知两球的竖直方向速度大小相等，则有 距离关系为 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 【例2】（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 【变式2-1】（多选）将一个小球从离地面高度为h的A点以初速度v0水平向右抛出，小球恰好落在地面上的B点，要想使小球落在C点，下列哪种做法可行（　　） A．从A点以适当小于v0的初速度水平向右抛出 B．从A点以适当大于v0的初速度水平向右抛出 C．从A点正上方某点以初速度v0水平向右抛出 D．从A点正下方某点以初速度v0水平向右抛出 【答案】BC 【详解】A．从点抛出，不变，不变 初速度小于​，则，不可能落在点，A错误； B．从点抛出，不变，不变， 初速度大于，则，可能落在点，B正确； C．从点正上方抛出，下落高度 ， 初速度仍为，则，可能落在点，C正确； D．从点正下方抛出，下落高度 ， 初速度仍为，则，不可能落在点，D错误。 故选 BC。 【变式2-2】（多选）如图所示，某同学在距标靶水平距离处将飞镖水平射出，飞镖扎入标靶点时，瞬间速度与竖直方向成角，已知重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　） A．飞镖在空中运动的时间为 B．飞镖竖直方向的位移为 C．飞镖的初速度大小为 D．若想让飞镖射中点下方的目标，应增大飞镖的初速度 【答案】AC 【详解】飞镖做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，满足 竖直方向为自由落体运动，竖直分速度 ，竖直位移 飞镖扎入A点时速度与竖直方向成角，由几何关系得 ，即 A．将 代入水平位移公式得 ，整理得运动时间，故A正确； B．将代入竖直位移公式得 ，故B错误； C．初速度，其中解得 ，故C正确； D．若要射中A点下方的目标，需要飞镖竖直方向位移更大，即运动时间更长，水平位移不变时，由可知应减小初速度，故D错误。 故选 AC。 【变式2-3】 如图所示，一由特殊材料制成的无上下底面空心圆筒竖直放置，圆筒内直径为。、分别为圆筒上、下底的左侧边缘点，两点在同一竖直线上。现将一可视为质点的小球从点以初速度沿圆筒直径水平向右抛出，小球在圆筒内运动时，每与内壁碰撞一次，碰撞后瞬间竖直分速度变为0，水平分速度大小变为碰撞前的且方向反向。忽略空气阻力，碰撞时间不计，重力加速度为。 (1)若小球能与圆筒内壁发生第1次碰撞，求碰撞前瞬间小球速度与水平方向夹角的正切值； (2)若小球与圆筒内壁碰撞1次后恰好从点离开，求圆筒的高度； (3)若圆筒高度，求小球在圆筒内运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球第1次与圆筒内壁碰撞前瞬间，设速度偏转角为，有 ，， 解得 （2）小球第1次与圆筒内壁碰撞前，有 小球与圆筒第1次碰撞后，有，   圆筒的高度为 解得 （3）小球与圆筒第2次碰撞后，有，   小球在圆筒内运动的高度的关系为， 小球与圆筒碰撞3次后 小球不会与圆筒发生第4次碰撞，则 小球在圆筒内运动的时间为 解得 【例3】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有 设球网高度为h，向下为正，则对斜向下发出的球，有 对斜向上发出的球，有 联立以上各式，可得 故选C。 【变式3-1】如图所示，某同学进行投篮训练，他将篮球从距地面高度处，沿与水平方向成的方向斜向上抛出，恰好直接落入高度的篮筐中心。已知从抛出到进筐过程中，篮球上升时间与下降时间之比为3:2，重力加速度取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，，，则篮球抛出时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】竖直方向，根据，因篮球上升时间与下降时间之比为3:2，可知上升的高度和下降的高度之比为h1:h2=9:4 而，可得 则根据 解得 故选C。 【变式3-2】春晚舞台上，武BOT表演着各种武术动作。在表演某个动作时，武BOT以与水平方向成角的初速度从点斜向上弹射而出，经过点时速度方向与初速度方向恰好垂直。已知、之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（    ） A．从到的时间为 B．从到的时间为 C．从点抛出时的速度大小为 D．从点抛出时的速度大小为 【答案】A 【详解】从A到B水平方向 竖直方向 其中 解得， 故选A。 【变式3-3】毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为10m/s2，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A．m/s B．2m/s C．2m/s D．5m/s 【答案】C 【详解】毽球做斜抛运动，使毽球恰好经过球网，设初速度的水平与竖直分量分别为、，则在水平方向上有 在竖直方向上有 其中 初速度大小为 联立可得 由均值不等式有 所以当时，有最小值 解得最小初速率为 故选C。 【例4】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 【变式4-1】如图所示，铺设铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。已知火车轨道所在平面与水平面间的夹角为，弯道的转弯半径为R，重力加速度为g。若质量为m的火车转弯时速度，则（　　） A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．重力和支持力的合力提供火车转弯的向心力 D．若火车速度大于v时，火车将受到内轨侧压力作用 【答案】C 【详解】ABC．对转弯的火车受力分析，由牛顿第二定律得 解得 此时，火车的重力与支持力的合力提供火车转弯的向心力，对内外侧车轮轮缘均没有挤压，故AB错误；C正确； D．若火车速度大于v时，需要的向心力更大，重力和支持力的合力不足以提供向心力，火车有离心趋势，会挤压外轨，受到外轨的侧压力，故D错误。 故选C 。 【变式4-2】我国大疆无人机科技水平全球领先，某次实验时无人机在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为，以恒定速率在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R=12.5m，重力加速度g取，图示时刻无人机在O点最左侧，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是（　　） A．竖直向上，50 N B．竖直向上，40 N C．斜向右上方， N D．斜向右上方，40 N 【答案】C 【详解】无人机在空中做匀速圆周运动，图示时刻，设空气对无人机的作用力大小为F，方向与水平方向夹角为，则、 解得，方向斜向右上方且，故选C。 【变式4-3】（多选）如图所示，火车转弯轨道外高内低。某同学在车厢内研究列车的运动情况，他在车厢顶部用细线悬挂一个质量为的小球。当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，已知列车与小球做匀速圆周运动的半径为，重力加速度大小为，则（　　） A．细线对小球的拉力的大小为 B．列车恒定速率为 C．车轮与内、外轨道间有压力，但外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 D．车厢内放在桌面上的手机所受支持力竖直向上 【答案】BC 【详解】A．小球随列车做匀速圆周运动，向心力沿水平方向指向弯道圆心，竖直方向合力为0。 由题意，细线与车厢侧壁平行，车厢随倾斜轨道倾角为，因此细线与竖直方向夹角为，竖直方向受力平衡： 得拉力 故A错误； B．水平方向合力提供向心力： 代入得： 解得 故B正确； C．当车速为时，重力和轨道支持力的合力刚好提供向心力，内、外轨道轮缘都不受侧向挤压，仅存在垂直轨道的正压力，故C正确； D．支持力垂直于接触面，车厢桌面与轨道平行（倾角为），因此支持力垂直于倾斜桌面，不是竖直向上，D错误。 故选BC。 【例5】（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面a内做匀速圆周运动。缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面b内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ） A．角速度不变 B．线速度减小 C．向心加速度增大 D．所受拉力大小不变 【答案】C 【详解】CD．设绳子与竖直方向夹角为θ，蜂鸣器质量为m，绳长为，对蜂鸣器受力分析，水平方向有 可得 由题图可看出蜂鸣器从水平面a升高到水平面b，增大，则有向心加速度 蜂鸣器所受拉力大小 蜂鸣器重力不变，增大，则所受拉力变大，故C正确，D错误； AB．根据几何关系，可得蜂鸣器做匀速圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律有 可得， 可得，，即角速度、线速度均增大，故AB错误。 故选C。 【变式5-1】下图是一种叫“飞椅”的游乐项目，长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在水平转盘边缘，盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与竖直方向的夹角为。关于座椅，下列说法正确的是（　　） A．座椅做匀速圆周运动的半径为 B．座椅所受合力保持不变 C．钢绳的拉力与重力的合力提供向心力 D．钢绳的拉力小于座椅重力 【答案】C 【详解】A．设转盘的半径为，根据几何关系知，座椅做匀速圆周运动的半径 ，故A错误； BC．座椅做匀速圆周运动，由拉力和重力的合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，则合力的方向始终在改变，所以座椅所受合力不断在变化，故B错误，C正确； D．对座椅受力分析，根据平行四边形定则，可得钢绳的拉力 ，故D错误。 故选C。 【变式5-2】如图甲所示，竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为的小球（视为质点）接上不可伸长、长度均为的两相同的轻质细线、，细线能承受的最大拉力为（重力加速度大小为），细线的另一端系在竖直细杆的顶点上，细线的另一端系在杆上的点，、两点间的距离为。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。为了不使细线、断裂，小球的最大线速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当细线a快要断裂时，对小球受力分析，竖直方向上有 其中 根据向心力公式有 根据几何关系可知 解得 故选A。 【变式5-3】如图所示，轻弹簧一端固定在竖直杆上的点，另一端连接小球，小球套在光滑水平杆上，整个装置可绕竖直杆转动。当装置分别以角速度、匀速转动时，小球相对杆分别静止在两点，杆对球的弹力大小分别为，其中方向向下，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设竖直杆上点到水平杆的竖直距离为，弹簧原长为，劲度系数为，小球的质量为。设小球做匀速圆周运动的转动半径为，弹簧长度为，由几何关系得 设弹簧与竖直杆的夹角为，由几何关系得，。小球在点时受到的杆的弹力方向向下，在竖直方向上由共点力平衡条件得 代入解得 由于题给条件，推知，即弹簧始终处于伸长状态。在水平方向上由牛顿第二定律得 代入解得 同理在点，在竖直方向上由共点力平衡条件得 解得 在水平方向上由牛顿第二定律得 解得 由题图可知小球在点转动的半径小于在点转动的半径，由几何关系得，进而可得，比较可推得且。 故选A。 1．如图所示，长L的轻杆两端分别固定着可视为质点的质量为2m和m的小球，放置在光滑水平桌面上，轻杆中心O有一竖直方向的固定转动轴。当轻杆绕轴以角速度ω在水平桌面上转动时，转轴受杆的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对质量为2m的小球受力分析，则 转轴对小球的拉力方向指向圆心，对质量为m的小球受力分析，则 转轴对小球的拉力方向指向圆心，由牛顿第三定律可知，小球对转轴的力与转轴对小球的力等大反向，则转轴受杆拉力的大小为 故选A。 2．如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度，使之在漏斗底面内做圆周运动，则（　　） A．小球一定受到两个力的作用 B．小球可能受到三个力的作用 C．当时，小球对底面的压力为零 D．当时，小球对侧壁的压力为零 【答案】B 【详解】AB．对做圆周运动的小球受力分析，小球受重力，侧壁弹力，当速度较小时还受漏斗底面的支持力；竖直方向合力为零，可得 水平方向合力提供向心力，可得 令底面支持力，联立解得临界速度 当时，，小球受三个力（重力、侧壁弹力、底面支持力）作用；当​时，，小球受两个力（重力、侧壁弹力）作用，因此小球可能受到三个力的作用，故A错误，B正确； C．当时，底面支持力不为零，由牛顿第三定律可知，小球对底面压力不为零，故C错误； D．当​时，是小球对底面压力为零，对侧壁压力不为零，故D错误。 故选B。 3．如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度大小为，与水平方向的夹角为53°，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为45°，重力加速度大小为，，忽略空气阻力。则点到点的时间是（　　） A． B．0.6s C． D． 【答案】B 【详解】由几何关系可知，物体的水平位移x与竖直位移y相等，而， 解得 故选B。 4．如图所示，环保人员在一次检查时发现，一根污水管道出口水平，污水正从管道出口向外流出，形成水柱。下列说法正确的是（    ） A．污水流速越大，单位时间内排污水体积越大 B．出口距水面的高度越高，污水落至水面时的水平距离越小 C．单位时间内排污水体积与管道直径无关 D．空中水柱的体积与管道直径无关 【答案】A 【详解】A．根据流量表达式为 可知流速v越大，流量越大，故A正确； B．由平抛运动规律，有 可知出口高度h越高，污水在空中的时间越长，根据 可知水平距离越大，故B错误； C．根据 可知管道横截面积S与直径平方成正比，所以流量与直径有关，故C错误； D．空中水柱的体积，可知空中水柱的体积与S有关，即与直径有关，故D错误。 故选A。 5．（多选）如图所示，轻质弹簧下端连接质量为的小球（视为质点），上端悬挂在天花板上的点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为。已知弹簧与竖直方向的夹角为，、两点间的高度差为，弹簧的伸长量也为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的角速度为 B．小球做匀速圆周运动的角速度为 C．弹簧的劲度系数为 D．弹簧的劲度系数为 【答案】BC 【详解】AB．弹簧与竖直方向的夹角为，对小球受力分析，由二力合成的矢量三角形可得 设匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 结合 解得，故A错误，B正确； CD．因 结合 联立解得，故C正确，D错误。 故选BC。 6．（多选）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。其中、时刻图线的切线斜率为零，时刻图线与轴相交。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．时刻杆对小球的弹力背离圆心 B．时刻小球运动到最高点 C．时刻杆对小球的弹力为零 D．小球在运动过程中向心加速度不可能为零 【答案】AD 【详解】B．小球在竖直平面内做圆周运动，最高点和最低点的速度方向都水平且相反，且最高点速度小于最低点速度，结合图线可知，在最高点速度方向为正，在最低点速度方向为负，另外，最高点和最低点合外力都指向圆心，水平方向合外力为零，因此反应在图乙中的水平速度时间图像中，最高点和最低点所对应的图像在该位置的斜率为零，即水平方向加速度为零，而根据圆周运动的对称性可知，最低点和最高点两侧物体在水平方向的速度应具有对称性，因此，t1时刻小球通过最高点，故B错误； A．由于t1时刻小球通过最高点，在到达最高点之前在减小，说明杆上给的力水平分量沿半径向外，为推力，即时刻杆对小球的弹力背离圆心，故A正确； C．t3时刻水平速度为零，速度为竖直向下，轻杆对小球的弹力提供向心力，故C错误； D．由上分析可知小球在最高点时水平速度不为零，所以小球在运动过程中速度均不为零，根据 可知向心加速度不可能为零，故D正确。 故选AD。 7．（多选）如图甲所示，倾斜挡板OA与竖直方向的夹角为θ，小球从O点的正上方高度为H的P点以水平速度水平抛出，落到挡板时，小球的位移与挡板垂直；现让挡板绕O点在竖直面内转动，改变挡板与竖直方向夹角θ的同时，也改变小球平抛运动的初速度，每次平抛运动，小球的位移总与挡板垂直，函数关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．若当地的重力加速度为g，图乙的函数关系图像对应的方程式 B．若图乙的斜率为k，则当地的重力加速度为 C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为Hg D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度为，则 【答案】BD 【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示，把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，设平抛运动的时间为t，由几何关系 可得 综合整理 函数关系对应的方程式为，A错误； B．若图乙的斜率为k，则由可得当地的重力加速度为，B正确； C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为，C错误； D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度，结合，可得 则有，解得，D正确。 故选BD 8．如图所示，可视为质点的物块从A点水平抛出，恰好在B点沿切线方向进入半径的固定圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上水平地面，圆弧轨道C端的切线水平。已知物块质量，AB竖直高度，圆弧轨道对应圆心角，重力加速度g取，，。 (1)求物块抛出时的速度大小； (2)求物块在B点时的速度大小； (3)若物块到达C点时的速度大小，求物块在C点处与轨道间压力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从A点到B点，在竖直方向 解得 物块恰好在B点沿切线方向进入固定圆弧轨道BC，所以 解得 （2）物块在B点时的速度大小为 （3）物块在C点处向心力 物块与轨道间的压力大小 9．如图所示，长L=0.5m的轻绳一端固定在O1点，另一端系有质量m=0.5kg的小球（视为质点），球在竖直平面内以O1为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点A时，绳恰好受到所能承受的最大拉力14N而被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，并恰好由B点沿切线方向进入右侧固定圆弧轨道BCD。已知圆弧轨道半径R=0.5m，B点与圆心O2的连线与竖直方向的夹角θ=53°，g取10m/s2，sin53°=0.8，空气阻力忽略不计。 (1)求轻绳断裂瞬间小球的速度大小； (2)求小球进入圆弧轨道的B点时对轨道的压力大小； (3)若圆弧轨道的动摩擦因数可调节，使得小球以不同的速度从轨道最高点D水平抛出。请分析并判断小球从D点抛出后，能否落回到圆弧轨道的B点。 【答案】(1)3m/s (2)28N (3)见解析 【详解】（1）轻绳断裂瞬间，对小球，根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 （2）小球进入圆弧轨道B点时，有 根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球进入圆弧轨道的B点时对轨道的压力大小为28N； （3）假设小球可以落回到B点，根据平抛运动的规律可得， 联立解得 若小球能运动到最高点D，应满足 解得 由此可知，假设不成立，小球不能落回到圆弧轨道的B点。 10．如图甲所示，一轻质细绳与小球相连，一起在竖直平面内做圆周运动，小球质量，球心到转轴的距离，取重力加速度，不计空气阻力。 (1)若小球恰好能过圆的最高点，求小球在最高点的速率； (2)小球运动到最低点时速率 ，求小球对绳子的作用力大小F； (3)如图乙所示，将小球提到最高点，此时绳子刚好伸直且无张力，再将小球以水平抛出，求从抛出小球到绳再次伸直的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球恰好能过圆的最高点，在最高点，重力提供向心力， 由牛顿第二定律得 解得 （2）在最低点，由牛顿第二定律得 代入数据解得 小球对绳子的作用力大小 （3）由于，小球抛出后做平抛运动， 水平方向，有 竖直方向，有 由几何知识得 代入数据解得 11．如图，将小球从空中点以一定的初速度斜向右上抛出，抛出时的初速度与水平方向的夹角，经过一段时间，小球运动到点，小球在点的速度与水平方向的夹角，重力加速度取，，，不计空气阻力。求： (1)小球从点抛出时的速度大小； (2)、两点间的水平距离和竖直距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）小球在点的水平分速度大小等于在点的水平分速度大小，即 小球在点的竖直分速度大小为 小球在点的竖直分速度大小为 根据运动学规律得 解得， （2）根据抛体运动的规律可得、两点间的水平距离 代入数据解得 竖直距离 解得 12．冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图甲所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上边缘P点以初速度水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为，圆盘半径，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t； (2)参赛者要落在圆盘上，的范围； (3)若转盘边缘间隔均匀地固定有6个相同障碍桩（桩高度大于），如图乙所示。障碍桩及桩和桩之间的间隔对应的圆心角均相等，俯视图如图丙。某参赛者（可视为质点）从平台边缘P点，以水平速度沿PO方向跳离平台的同时，圆盘绕圆心O以角速度从丙图所示位置开始逆时针匀速转动。要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，求圆盘转动的角速度ω（只考虑圆盘转动一周内的情况）。不计桩的厚度，结果可以保留π。 【答案】(1) (2) (3)（） 【详解】（1）参赛者从P点运动到M点做平抛运动，竖直方向有          代入数据解得             （2）参赛者要能落在圆盘上，最小时恰好落在圆盘左侧边缘，由水平方向参赛者做匀速直线运动可得           代入数据可得               参赛者要能落在圆盘上，最大时恰好落在圆盘右侧边缘，由水平方向参赛者做匀速直线运动可得             代入数据可得：        所以的范围为            （3）要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，在一周内，必须满足          解得            圆盘转动周期        而t的可能取值为，，，，， 即满足，（） 解得，（） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $