浙江温州市平阳县第三中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 平阳三中高二下期中数学卷，90分钟100分，覆盖函数、几何、概率等模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、空间观念及应用能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|集合、函数定义域、复数模|基础概念辨析，如充要条件判断（第6题）| |多选题|3/18|正方体截面、折叠问题|空间想象与推理，如截面图形判断（第14题）| |填空题|3/9|函数零点、方程求解|抽象能力，如区间零点存在性（第18题）| |解答题|3/37|概率应用、解三角形、立体几何|现实情境与综合应用，如“红楼论数”竞赛概率（第19题）、四棱柱线面角计算（第21题）|

平阳三中高二下学期5月期中考试 （时间：90min 满分：100分） 选择题部分 一、单选题（12 小题，每题 3 分，共36 分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A． B． C．2 D．1 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（   ） A． B．2 C． D．5 5．在中，，那么向量在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列函数与函数的图象相同的是（ ） A． B． C． D． 8．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 10．平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 11．在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 12．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（3 小题，每题 6 分，共18 分） 13．已知，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．用一个平面去截正方体，所得截面图形不可能是（   ）． A．直角三角形 B．直角梯形 C．正六边形 D．正五边形 15．如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则（    ） A． B．点在平面内的射影为的垂心 C．二面角的余弦值为 D．若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是 非选择题部分 三、填空题（3 小题，每题 3 分，共9 分） 16．已知，则x=______. 17．已知函数，则______． 18．已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_________. 四、解答题（3 小题，共37 分） 19．（12分）某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)如果且的面积为，求角B的大小． 21．（13分）如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《平阳三中高二下学期月考》参考答案 1．D【详解】因为，所以. 2．D【详解】因为，所以， 分别令，解得， 当时，，所以，解得； 当时，，所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）.综上，. 3．D【详解】由题设，可得且，即定义域为. 4．A【详解】因为，所以. 5．A【详解】中，∵，∴， 所以在方向上的投影向量为：. 6．A【详解】函数是复合函数，外层函数是上的增函数， 根据同增异减，在上单调递增等价于内层函数在上单调递增,，“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 7．A【详解】因为函数的最小正周期是.所以函数的图象与函数的相同. 8．C【详解】 ， 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是 9．B【详解】根据基本初等函数性质可知函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，可知， 所以函数的零点在内，即. 10．A【详解】如图，由题意得， 因为，，， 所以，，又， 所以， 所以异面直线和所成角的大小为. 11．B【详解】由题意可知：， 且, ,, 12．B【详解】当时，，； 因，当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则，. 因此当时，都有， 只需要考虑时，即可，解得或， 因此当时，恒成立，即，故 ． 13．BC【详解】当时，若，则，所以A错误； 当时，，因为，所以，所以B正确； 作差得，因为，所以， 则，即，所以C正确； 当时，有，此时，所以D错误. 14．ABD【详解】一个平面与正方体共点的3个面相交，截面为三角形，此三角形不可能是直角三角形，如图，截面为，点O为正方体的顶点，在三棱锥中，两两垂直， 若为直角三角形，不妨令，则， 而，因此，矛盾，故A正确； 一个平面与正方体的4个面相交，截面为四边形，此四边形不可能是直角梯形， 截面四边形所在平面必与正方体一组相对面相交，即四边形必有一组对边平行， 截面四边形，如图，不妨令，若平行或重合，则四边形为矩形， 令不平行，即相交， 假定四边形为直角梯形，不妨令，即， 而平面，平面， 则，又平面，有平面，又平面， 则，平面平面，则平面， 平面平面，平面，因此， 所以四边形为平行四边形，矛盾，故B正确； 一个平面与正方体的5个面相交，截面为五边形，此五边形不可能是正五边形， 截面五边形必与正方体的一组相对面相交，这两条交线必平行，而正五边形的任意两边都不平行， 即截面五边形不可能是正五边形，故D正确； 一个平面与正方体的6个面相交，截面为六边形，此六边形可能是正六边形， 如图，为正方体所在棱的中点，顺次连接得正六边形， 设正方体棱长为，有，， 中，，则， 同理，即六边形为正六边形，故C错误. 15．ABC【详解】对于，， ，平面， 平面，，故正确； 对于，设在底面上的射影为，则底面，， 由知，，连接并延长，交于， ，平面，则， 同理可证，∴点在平面内的射影为的垂心，故正确； 对于，由知，，，为的中点， 连接，又，， 则为二面角的平面角． 在等腰直角三角形中，由，得，则， 在中，有，故正确； 对于，由已知可得三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且，． 把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为， 则其外接球的表面积，故错误． 16．【详解】由，得. 17．【详解】因为， 所以. 18． 【详解】因为. 由题意：，即. 由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或， 解得：或. 故答案为：. 19． (1)甲；(2) 【详解】（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大. （2）由（1）得，甲和乙都未赢比赛的概率， 则两人中至少有一人赢得比赛的概率 20．(1)；(2)或． 【详解】（1）由两角和差公式，          由正弦定理 又在中，， 则 进而   因为， 所以，即． 因为，所以，即． （2）方法一：根据正弦定理，, 所以的面积为 ．                               由, 可得,，                     因为， 所以或，所以或．        方法二：根据三角形面积公式，，           可得, 结合, 可得或者．        当时，，所以；        当时，，所以；        因此或． 21．(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为是正方形，所以，    因为底面， 所以，又，,在平面内， 所以平面,在平面内， 所以， 由底面， 可得， 所以，即有， 因为，所以， 和在平面内，且， 所以平面． （2）设点到平面的距离为， 由题可知,,. 所以．    得直线与平面所成角的正弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $