精品解析：浙江省余姚中学2025-2026学年第二学期学期期中考试高二数学试卷

余姚中学2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 5. 已知，，则a的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法 A. 72 B. 144 C. 180 D. 288 7. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ） A. 31 B. 33 C. 41 D. 133 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，有”的否定是“，使” C. 的最小值为2 D. 若，则 10. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 11. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13. 已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________. 14. 设方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，若，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 女生 10 合计 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，依据的独立性检验，能否认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1 h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1 h的人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，．若采用局胜制（先赢得局胜利的一方获胜），，记甲获胜的概率为． （1）若，求； （2）比较与的大小并说明理由． 19. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数） （1）求的值； （2）若函数存在零点，求k的取值范围； （3）设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，所以. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，解得或， 故选：D 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 4. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小. 【详解】根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即. 故选：A. 5. 已知，，则a的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，，再利用基本不等式和解一元二次不等式求解. 【详解】解：可知，，则，， 因为， 所以，解得， 即a的最大值为. 故选：D 6. 六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法 A. 72 B. 144 C. 180 D. 288 【答案】A 【解析】 【详解】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素， 若这个复合元素在两端,从不包含丙丁的2人选1人,和复合元素相邻,剩余的全排即可,故有种， 若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即可， 故有种， 根据分类计数原理可得，共有48+24=72种， 本题选择A选项. 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 7. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 8. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ） A. 31 B. 33 C. 41 D. 133 【答案】C 【解析】 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，有”的否定是“，使” C. 的最小值为2 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取时，无意义，再结合充要条件的定义即可判断；根据全称命题的否定形式即可判断；利用函数的单调性求出最值即可判断；结合不等式的性质即可判断. 【详解】对A，由，取时，无意义，故错误； 对B,命题“，有”的否定是“，使”，故正确； 对C,设，令， 则在上单调递增， 所以当时，，故错误； 对D,，则， ，， 不等式两边同时除以可得：，故正确； 故选：. 10. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确； 对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确； 对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误； 对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为周期函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，因为定义域为R，所以验证，可分别替换，联立方程求解； B选项，取特殊值验证即可； C选项，利用，则为周期函数进行求解； D选项，求得一个周期的和，然后乘以周期数，注意区分剩余的几项. 【详解】依题意：①，定义域为R； 令，①式变形为：， 令，则②； 令，①式变形为：，即：， 用替换，变形得：，则③； A选项，②③联立得：，所以是偶函数，所以A选项正确； B选项，将，代入①式得：， 因为，所以，令， 则时， ，当时， ， 因为，所以不是偶函数，所以B选项错误； C选项， ，用替换得：， 所以是周期为4的函数，所以C选项正确； D选项，由C选项解析可知：是周期为4的函数，所以， 将代入①式得：，即：，所以， 将，代入①式得： ，所以， 所以 ， 则，所以D选项正确. 【点睛】抽象函数的求解，需要反复赋值，再结合奇偶性和周期性进行判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 13. 已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为R. 因为，所以，所以， 即是奇函数. 因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数. 所以可化为. 所以，解得：或. 故答案为：. 14. 设方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，若，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件求得，令，则原式，利用二次函数的性质求得的范围，可得的范围，从而求得的范围，即为所求. 【详解】由方程的两根为，，可得，， 求得，， 由方程的两根为，，可得，， 求得，， ∴， 令，则原式，且 ， 由，可得，， ∴，， 故原式，故答案为． 【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可； 方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可； （3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又因为，可得. 【小问3详解】 由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； 【小问2详解】 解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17. 国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 女生 10 合计 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，依据的独立性检验，能否认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1 h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1 h的人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，可以认为女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异； （2）分布列见解析，1.8； 【解析】 【分析】（1）先根据分层抽样计算抽取的男女生人数，再结合已知数据补全2×2列联表，并利用列联表数据代入卡方公式计算观测值，最后与临界值比较判断是否存在差异即可； （2）先确定分层抽样后“每天体育锻炼时间不低于1小时”的学生人数，再计算随机变量X的可能取值及对应概率，列出分布列并求数学期望即可. 【小问1详解】 高二有400名学生（其中男生240名），则抽取100名学生中，男生有名，女生有40名， 所以列联表如下： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 总计 男生 30 30 60 女生 10 30 40 总计 40 60 100 假设：女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异 ， 所以我们没有充分证据推断不成立，可以认为女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异. 【小问2详解】 100名学生中“每天体育锻炼时间不低于1 h”的人数为60人， 因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于1 h”的人数为6人， 而的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，．若采用局胜制（先赢得局胜利的一方获胜），，记甲获胜的概率为． （1）若，求； （2）比较与的大小并说明理由． 【答案】（1）0.68256 （2），；，；，;理由见解析. 【解析】 【分析】（1）该问题也可等价于在打满5局的情况下，甲获胜至少3局的概率，结合二项分布概率公式求结论； （2）比较与，可分析在前局比赛后甲获胜的局数（如局及以上、局、局等），并基于此计算甲在两种赛制下最终获胜的概率，然后作差比较. 【小问1详解】 不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则 . 【小问2详解】 考虑赛满局，则分为前局和最后2局： ①若前局甲胜局，此时甲已经取胜，在局赛制中， 无论最后两局结果如何，甲依然取胜， 此种情况甲获胜概率为： ②若前局甲胜局，概率为：，要想保证甲胜，最后两局甲不能全输， 所以这种情况甲获胜概率为： ③若前局甲胜局，则乙胜局，要想保证甲胜，最后两局甲必须全胜； 此时甲获胜概率为： 所以 而， 代入得： ， 由组合数的对称性可知：，得， 所以当，，当，，当，. 19. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数） （1）求的值； （2）若函数存在零点，求k的取值范围； （3）设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性，结合恒等式可分别求解，，从而可求解定值； （2）利用分离参变量思想，研究函数值域，即可得参数范围； （3）利用换元法，结合二次函数分类讨论，即可求出的最小值. 【小问1详解】 由可得：， 因为为奇函数，为偶函数，所以①， 与②，由①②，解得，， 所以. 【小问2详解】 由，可得， 分离参变量得：， 记，由， 知，从而，即， 又在上单调递增， 当时，函数与函数的图象有交点，即函数存在零点， 所以. 【小问3详解】 由于在上单调递增， 所以由，可知， 又由（1）知，， 所以等价于， 令，则不等式对恒成立， ①当即时，函数在上单调递增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； ②当即时，函数在上单调递减， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； ③当即时， 函数在上单调递减，在上单调增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立. 综合①②③，可知的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $