精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二数学 一、单选题（40分） 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个不是石榴 B. 3个全不是石榴 C. 恰有2个石榴 D. 至少2个不是石榴 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，使成立，则 三、填空题 12. 若（，为有理数），则______． 13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． （1）选出球的最大号码为6的概率为________． （2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 15. 已知的展开式共有11项. （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中的系数. 16. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 17. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． （1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； （2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个不同零点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题（40分） 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中， 公差. 2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】令，则； 令，则，故. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个不是石榴 B. 3个全不是石榴 C. 恰有2个石榴 D. 至少2个不是石榴 【答案】AC 【解析】 【分析】利用组合公式计算总事件数，进一步进算出恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴的方法数，再利用古典概型进行计算概率． 【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为， 因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为； 所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为， 故选：AC． 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案. 【详解】因为，A正确，B错误； 由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确； 若A，B互斥，则，，，D正确． 故选：ACD 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，使成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，求导并求出函数单调区间，判断选项A，B；结合函数图象分析讨论，判断选项C，D． 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得，即， 当时，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递增； 选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误； 选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增， ，且，，故B正确； 选项C：方程有3个不同的零点， 等价于有3个不同的实根； 当时，，，此时单调递减，单调递增； 且时，，时，； 当时，且单调递减，，时， 时取极小值； 当时，且单调递增，，时； 要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于 极小值， 需满足，解得，故C正确； 选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集， 在上恒成立，故在上单调递增， ，即的值域为； 由单调性可知，在处取得极小值，，且时， ， 的值域为， 要使，则需满足，故D正确． 三、填空题 12. 若（，为有理数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算可得； 【详解】解： 因为（，为有理数） 所以 故答案为： 13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． （1）选出球的最大号码为6的概率为________． （2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）从10个球中取4球，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值即可；（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为，求出，即可得答案. 【详解】（1）从10个大小相同的球中任取4个有种方法， 若所取4个球的最大号码是6，则必有一个球号码是6， 另外3个球需从1、2、3、4、5号球中取3个，有种方法， 故所取4个球的最大号码是6的概率为： （2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为． 依题意知，， ． 故答案为：， 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】（，） 【解析】 【分析】由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可. 【详解】关于的不等式在上恒成立，则， 设，∴ ∵， ∴在上单调递增， ∴即， 设， ∴，令，得， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， ∴， ∴. 故答案为：（，）. 四、解答题 15. 已知的展开式共有11项. （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中的系数. 【答案】（1）1024； （2）. 【解析】 【分析】(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数. 【小问1详解】 由的展开式共有11项可得，， 故二项式的展开式中各项二项式系数的和为 ； 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为 ， 令，解得：. 所以二项式展开式中的系数为. 16. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 17. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）8 （2）－2 （3）－64 【解析】 【小问1详解】 令，则，则原式转化为， 则，所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得，所以＝－2； 【小问3详解】 由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． （1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； （2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案. （2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望. （3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个不同零点，，证明：且. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；在上单调递增； 当时，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程； （2）分类讨论导函数正负得出函数单调性即可； （3）先应用极值点，再构造函数，，应用导函数正负得出函数单调性即可证明. 【小问1详解】 由题意得. 当时，，， 则曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ①，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ②当时，由得，或. （i），即时， 当时，， 当时，， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； （ii），即时，同理可得在上单调递减； （iii），即时，同理可得在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递减；在上单调递增； 当时，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知，时，的极小值为， 当时，的极小值为， 当时，在单调递减，故时，至多有一个零点. 当时，在单调递减，在单调递增. 要使有两个零点，则，即，得. 令，， 则 ， 所以在时单调递增，，. 不妨设，则，，，. 由在单调递减得，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $