精品解析：2026年江苏盐城市滨海县等2地九年级第二次模拟考试数学试卷

九年级第二次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 位似 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与直线，都相交，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 9 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 35 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则应该满足的条件是______． 10. 分解因式：=______． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点Q的坐标是________． 12. 2026年2月2日是第30个“世界湿地日”，主题是“湿地与传统知识：庆祝文化遗产”．盐城的湿地总面积约为769600公顷．将数据769600用科学记数法表示为________． 13. 如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 15. 如图，要测量旗杆的高度，在旗杆前平地上处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿方向走到处，测得旗杆顶端的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点、、在同一直线上，延长交于点，则旗杆的高度约为________．（参考数据：，，） 16. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算并解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，，，． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，求的长． 20. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了“讲数学家故事”的活动．学校收集了祖冲之（中国）、刘徽（中国）、韦达（法国）三位数学家的画像，依次制成A，B，C三张卡片（除画像外，其余完全相同），将这三张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字． （1）甲抽到的卡片是祖冲之的概率是________； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 22. 为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87.5 a 88 九年级 87.5 90 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________，________； （2）八年级所抽取学生的竞赛成绩扇形统计图中，B等级对应的圆心角是________； （3）该校八年级有800名学生、九年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生的总人数． 23. 若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． （1）判断 是不是友善四位数，并说明理由； （2）已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； （3）若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 24. 2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 （1）设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； （2）请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ （3）为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 25. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（是常数）． （1）抛物线的对称轴为直线________；（用含的代数式表示） （2）若二次函数图象经过点，求二次函数图象的顶点坐标； （3）若二次函数图象经过点，，求证：； （4）已知二次函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 27. 已知：如图1，在四边形中，，，． （1）的长为________； （2）在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中、分别是、的对应点． ①如图2，当 时，判断四边形 的形状，并说明理由； ②如图3，当点恰好落在边上，求的长； ③如图4，连接交于点，为中点，连接．当点在线段上运动时，直接写出的最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 位似 【答案】C 【解析】 【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中，，∴A错误； 选项B中，，∴B正确； 选项C中，，∴C错误； 选项D中，与不是同类项，不能合并，∴D错误． 4. 如图，直线与直线，都相交，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出的同位角，再结合邻补角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ． 与互为邻补角， ． ． 5. 已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】找出数据中的最大值和最小值，计算二者的差即可得到结果． 【详解】解：∵本题给出的5个数据为171，173，175，180，176． ∴数据中最大值为，最小值为， ∴极差为 ． 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 7. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求出的度数，再利用平角定义求出． 【详解】解：∵ 是的直径 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则应该满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据若分式有意义，则分式的分母，求解即可． 【详解】若分式有意义， 则， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 10. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点Q的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是关于y轴对称的两点坐标的特点，掌握两点关于坐标轴或原点对称坐标特点是解决此题的关键．根据关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出答案． 【详解】解：∵关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 故Q坐标为． 故答案为． 12. 2026年2月2日是第30个“世界湿地日”，主题是“湿地与传统知识：庆祝文化遗产”．盐城的湿地总面积约为769600公顷．将数据769600用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且，  经过点、，  的半径， ． 14. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，母线． ． 圆锥的侧面积为． 15. 如图，要测量旗杆的高度，在旗杆前平地上处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿方向走到处，测得旗杆顶端的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点、、在同一直线上，延长交于点，则旗杆的高度约为________．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，在中利用得出，在中利用列方程求解即可 【详解】解：依题意得： , ∴四边形是矩形，同理，四边形是矩形， ， 设，则 ， 在中，，， 在中，，， ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意 则旗杆的高度约为米． 16. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算并解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式运算法则化简原式，再将代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 19. 如图，在平行四边形中，，，． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，长为半径交于点，点即为所作； （2）由（1）的作法即可得解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作， 作，由作图知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； 【小问2详解】 解：由（1）得． 20. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了“讲数学家故事”的活动．学校收集了祖冲之（中国）、刘徽（中国）、韦达（法国）三位数学家的画像，依次制成A，B，C三张卡片（除画像外，其余完全相同），将这三张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字． （1）甲抽到的卡片是祖冲之的概率是________； （2）用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率． 【答案】（1）解： （2）解：画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的有4种． ∴（甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家）． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画树状图法得出所有等可能的结果数，找出甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有3张等可能的卡片，其中祖冲之的卡片共1张， 因此甲抽到祖冲之的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的有4种． ∴（甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家）． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴ ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线，当时，则 解得 ∴ ∵ ∴ 22. 为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87.5 a 88 九年级 87.5 90 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________，________； （2）八年级所抽取学生的竞赛成绩扇形统计图中，B等级对应的圆心角是________； （3）该校八年级有800名学生、九年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生的总人数． 【答案】（1）；90；45 （2）144 （3）910人 【解析】 【分析】（1）通过九年级成绩中出现次数最多的数确定众数；根据八年级各等级人数占比和为，结合B等级人数求出；将八年级成绩排序，找第、位数据求中位数； （2）用乘以B等级人数的占比即可求解； （3）用样本估计总体求出A等总人数． 【小问1详解】 解：九年级名学生成绩中，出现的次数最多（4次），故； 八年级B等级有8人，占比为， 由统计图知C占，D占， 则A占比 ，故； （人），（人）， 八年级成绩从小到大排列后，第、位在B等级，B等级成绩排序为82，83，87，88，88，88，88，89， 第位为，第位为，故中位数． 故答案为：；90；45； 【小问2详解】 解： B等级对应的圆心角是； 【小问3详解】 解：八年级A等人数估计：（人）； 九年级样本中A等有人，占比为， 故九年级A等人数估计：（人）； 总人数：（人）． 答：该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是910人． 23. 若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． （1）判断 是不是友善四位数，并说明理由； （2）已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； （3）若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 【答案】（1）解： 是“友善四位数”，理由如下： ∵四位数 ， ∴各数位数字为 ， ∴各数位数字互不相等， 又∵  ， ，满足， ∴ 是友善四位数； （2） 或 （3）证明：∵，， ∴， ， ∴ ， 整理得， ， ∵是友善四位数， ∴， ∴ ， ∵都是整数， ∴ 能被整除，即能被1111整除． 【解析】 【分析】（）根据“友善四位数”的定义判断即可求解； （）根据“友善四位数”的定义可得 ，再结合数字的取值范围和各数位互不相等的条件，枚举得到符合要求的四位数即可； （）将和分别用代数式表示，相加后结合化简，可得到是与整数的乘积，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四位数是友善四位数， ∴ ， ∴ ， ∵都是的整数，且四个数位数字互不相等， ∴ ，即， 当时，，得到四位数 ，各数位互不相等，符合要求； 当时，，与千位数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，得到四位数 ，各数位互不相等，符合要求； ∴这个友善四位数是 或 ， 故答案为： 或 ； 【小问3详解】 略 24. 2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 （1）设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； （2）请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ （3）为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 【答案】（1），6 （2）该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克 （3）共有3种选择方案，方案1：选择套餐4天，B套餐3天；方案2：选择套餐5天，B套餐2天；方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据每100克粮谷类及牛奶中蛋白质的含量，结合该份早餐中粮谷类食品及牛奶的质量，即可求出粮谷类食品及牛奶中所含的蛋白质的质量； （2）设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克，根据“400克早餐食品中，蛋白质总含量为”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天，根据“在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克”，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，结合y，均为正整数，即可得出各选择方案． 【小问1详解】 解：根据题意得：粮谷类食品中所含的蛋白质为（克）； 牛奶中所含的蛋白质为（克）． 故答案为：，6； 【小问2详解】 解：设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克， 根据题意得：， 解得：， ∴（克）． 答：该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克； 【小问3详解】 解：设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， 又∵y，均为正整数， ∴y可以为4，5，6， ∴共有3种选择方案， 方案1：选择套餐4天，B套餐3天； 方案2：选择套餐5天，B套餐2天； 方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 25. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，即可证明是的切线； （2）求得，，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，，， ∴， ∴，即， 又为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∵即， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的半径为． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（是常数）． （1）抛物线的对称轴为直线________；（用含的代数式表示） （2）若二次函数图象经过点，求二次函数图象的顶点坐标； （3）若二次函数图象经过点，，求证：； （4）已知二次函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 证明：二次函数图象经过点，， ， ， ， ； （4） 或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式：直线计算即可； （2）将点代入二次函数求出的值，用配方法求出二次函数的顶点式即可得到顶点坐标； （3）将点，代入二次函数求出、关于的表达式，计算得关于的二次函数，配方即可证明； （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，由二次函数，开口向上，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，由，得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离 ，得对于任意的，都有 ，即 或者 ，分两种情况讨论，当在的右侧时，当在的左侧时，计算的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线 ； 【小问2详解】 解：将点代入二次函数， 得 ， 解得，， ， 二次函数图象的顶点坐标为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线， 二次函数，二次项系数， 抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越大，函数值越大， 点到对称轴的距离： ， 点到对称轴的距离：， 对于任意的，都有， 对于任意的，都有 ，即 或者 ， 情况1，当在的右侧时， ， 解得； 情况2，当在的左侧时， ， 解得； 综上所述， 或 ． 27. 已知：如图1，在四边形中，，，． （1）的长为________； （2）在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中、分别是、的对应点． ①如图2，当 时，判断四边形 的形状，并说明理由； ②如图3，当点恰好落在边上，求的长； ③如图4，连接交于点，为中点，连接．当点在线段上运动时，直接写出的最小值为__________． 【答案】（1）5 （2）①四边形 是正方形，理由见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，利用等角的余角相等求得，再利用正弦函数的定义列式计算即可求解； （2）①先证明四边形 是矩形，是等腰直角三角形，得到，即可证明四边形 是正方形； ②延长和相交于点，连接，证明点在上，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； ③先判断是的中位线，得到，由折叠的性质知点在以为圆心，为半径的圆上，则当共线时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①四边形 是正方形，理由如下： 由折叠的性质得，， ∵ ， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形 是正方形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得， ∴点在上， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③连接， 由折叠的性质知是线段的垂直平分线， ∴点为中点， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， 由折叠的性质知点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $