四川2026届高三下学期5月检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知A∩B=B,则集合A,B可以分别为 A.{1,2},{1,2,3} B.{1,2,3},{1,2,4》 C.{1,2,3},{2,3} D.{1,2,3},{4,5,6} 2.若直线5x+2y-1=0与直线6x十my十7=0垂直，则m= A.-15 B.15 c-号 2 D. 3.若一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为 A.2r B背 C.4r n号 4.若y=f(x),y=f(g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则g(x)的解析式可以为 A.g(x)=x2-x B.g(x)=x十|x C.g(x)=x3+x D.g(x)=x十x3 5.重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名 塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万 松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山 文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底B所 在的水平地面上选取C,D两点，测得CD=8米，∠BDC= 30°，∠BCD=135°31'，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则文峰塔的高度AB约为（参考数 据：取sin1429=0.25) A.26米 B.28米 C.30米 D.32米 6.若向量a=(1,m),b=(x2,e),x>0,且a%,则m的最小值为 4 A.e R C.4Ve D.e 7,若E,F,为椭圆C:+=I的两个焦点，P为C上一点，且△PF,F的内切圆的半径小 4 于1-。则点P横坐标的取值范围是 A.(-5,-1)U(15) B.[-√5，-1)U(1,w5] C.(-2,-1)U(1,w2) D.(-√5，-√2)U(2,W5) 【高三数学第1页（共4页）】 8.若(5-2x)9=ao十a1x+a2x2+…+ax9,则log3(ao|+2|a1|+22|a2|+…+2|ag)= A.0 B.9 C.12 D.18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AD,则 A.BB1平面A1DD B.AC⊥平面BDDB C.A1,B1,C,D四点不共面 D.A1D与底面ABCD所成的角为60 10.在等差数列{an}中，a2=13,a4=27,则下列判断正确的是 A.a5=34 7n2+5n B.{an)的前n项和为2 C.满足am<200的n的最大值为29 D.若从1a)的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的概率为号 11.过点C(0,a)(a>0)的直线l与抛物线2：x2=2y(0<p<a)交于A,B两点，O为坐标原 点，射线AO、射线BO与直线y=一a分别交于点M、点N,则 A.BM∥AN B.点A,B的横坐标之积与直线AB的斜率有关 C.△AOB与△MON的面积相等 D当直线AB的斜率为2且MN>2a时，号<3.2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12复数千十中的实部与虚部之差为 ▲ 13.若双曲线m.x2十y2=1的焦距是虚轴长的|m倍，则m=▲ 14.若直线y=a与函数f(x)=6一2：的图象的公共点构成的集合为A,直线y=a与函数 g(x)=xlog2x的图象的公共点构成的集合为B,且AUB只有2个元素，则a的取值范围 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知函数f(x)=2W3 sin xcost(一x)-cos2x. (1)求曲线y=f(x)的对称轴方程； (2)若关于x的方程f(ax)十1=0(a>0)在[0，π]上恰有2个解，求a的取值范围. 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成 同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置 的情感词典计算打分. 志愿者组的评分如下表： 15.2 16.5 18.8 19 20.2 20.8 21.3 22 22.5 23.2 23.5 24.1 25.8 26 26.5 27 27.5 28.5 30.1 31.2 AI组的评分如下表： 7.8 8.5 9.2 10 11.4 11.8 12.4 13 13.2 14.2 15.5 16 16.2 16.5 17.2 18 18.5 19.2 19.5 20.5 (1)求AI组20个评分的极差与第20百分位数. (2)设这40个评分的中位数为m. (ⅰ)求m的值，并统计两组（人类组即志愿者组）样本中小于m与不小于m的数据的个 数，完成下面的列联表： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 AI组 合计 (ⅱ)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知 是否存在差异 n(ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17.(15分) 已知函数f(x)=x+(a-3)nx+3a (1)若f(1)=7,求曲线y=f(x)在点(1,7)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)>0,求正数a的取值范围. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 设某湖泊每年的水质会在I类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是I类，则下一年仍是I类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成I类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率 为0.2； 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成I类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率 是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为I类，设第n年的水质为I类的概率为am,水质为Ⅱ类的概率 为bn (1)求a2,a3; (2)证明bn+1=0.3bm+0.2,并求bn; (3)证明：存在入和，使得{a,十入·（号）+r是等比数列。 19.(17分) 已知圆心在坐标原点的圆O与直线3x一4y十10=0相切. (1)求圆O的方程 (2)设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P,Q分别是 圆O上在第二象限、第一象限的动点，点Q1是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半 部分沿着y轴翻折，使得点P,Q1分别到达点P',Q1'的位置，记二面角A-OB-P'的大 小为0，且0<0<π.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. ①若∠AOP=150°（翻折前），且0=120°，求二面角A-OP'-B的余弦值. ②将线段QQ1'在平面Oyz上的正投影的中点记为点M I.证明：点M的轨迹为椭圆的一部分 Ⅱ，若0∈[等，]，求中椭圆离心率的取值范围 Q Q O B 【高三数学第4页（共4页）】高三数学检测参考答案 1.C【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养， 因为A∩B=B,所以B二A,则A,B可以分别为{1,2,3}，{2,3}. 2.A【解析】本题考查直线方程及直线与直线的位置关系，考查数学运算的核心素养 因为直线5.x十2y-1=0与直线6.x十my+7=0垂直，所以5×6+2m=0, 解得m=-15. 3.C【解析】本题考查圆锥与球的体积，考查数学运算的核心素养， 设该圆锥的高为A,则行r九=经，解得么=4r。 4.B【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养 因为y=f(x),y=f(g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数，所以g(x)为偶函数，则 g(x)的解析式可以为g(x)=x+|x. 5.B【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养 在△BCD中，∠CBD=180°-30°-13531'=1429'，由正弦定理得 CD BC sin∠CBD-sin∠BDC' 所以BC=CDsinBDC_8X9:5=16米.在△ABC中，∠ACB=60,所以AB=3BC= sin∠CBD0.25 16√3≈28米 6.B【解析】本题考查平面向量的平行与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 由ah,得e=mx,因为>0，所以m=号.设)=号(x>0).则f'(x)=e2,令 f(x)<0,得0<x<2,令f'(x)>0,得x>2,所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上 单调递增则fx)m=f(2)=,故m的最小值为. 7.A【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 设P(xo,yo)(yo≠0)，|F1Fz=2√5-4=2，PF1|+|PF2|=2W5, 则△PF,F:的面积S=|FF,lo=|o,因为△PFF2的周长I=PF+|PF,+ FF=25+2,所以△PEE2的内切圆的半径r=华=。0=<1二5，则 1 2√5+2√5+1 <5.则8=5->1， 又一√5≤x。≤5，且yo≠0，所以点P横坐标的取值范围为（一√5，一1）U(1,w5). 8.D【解析】本题考查二项式定理与对数的运算，考查数学抽象与数学运算的核心素养。 设(5+2x)9=b0+b1x十b2x2+…十bgx9,令x=2,得b0十2b1+22b2十…+2bg=9°， 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 因为a:|=b,(i=0,1,2,…,9),所以|ao|+2|a1|+22|a2|+…+2°|ag|=9°， 则log3(|ao|+2la1|+2|a2|+…+2|agl)=9log9=9×2=18. 9.ABD【解析】本题考查正四棱柱、线线与线面的位置关系，考查数学运算 D 与逻辑推理的核心素养. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，因为BB1∥DD1,BB1丈平面 A1DD1,DD1C平面A1DD1,所以BB1∥平面A1DD1,A正确.因为AC D ⊥BD,DD1⊥AC,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,B正确.因 为A1B1∥ABCD,所以A1,B1,C,D四点共面，C错误.因为AA1⊥底 面ABCD,所以AD与底面ABCD所成的角为∠A,DA,所以an∠A,DA=AA=5AD ΓADAD =√3，则∠A1DA=60°，D正确. 10.ABD【解析】本题考查等差数列与古典概型，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 设等差数列{am}的公差为d,则a1十d=13,a1十3d=27,解得a1=6,d=7,则am=a1十(n 一1Dd=7m-1,所以a,=34,a.的前n项和为”6+7m-)_7m5m,A,B均正确.由 2 a,=7m-1<200,得m<287,放满足a,<20的m的最大值为28，C错误.当n为奇数时. am为偶数，当n为偶数时，am为奇数，若从{am}的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的 质车受-品DE确 11.AC【解析】本题考查直线与抛物线的综合，考查直观想象、 y 逻辑推理及数学运算的核心素养。 设l:y=kx+a,代入x2=2py,得x2一2pkx-2pa=0,则 △=4p2k2十8pa>0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 十x2=2k,x1x2=一2pa,则点A,B的横坐标之积与直线 B的斜率无关，B错误，因为y所以直线AO的方租 为y=务，令y=-a:得x=-20==:则M,-a同理得N1,一a.则 1x1 BM∥AN,A正确.S△oB=S△ww=号|x1-x2,C正确.IMN|=|x1-x2|= √J(x1+x2)2-4x1x2=√/4pk2+8a=2√Vpk2+2a,当直线AB的斜率为2时，由 |MN|>2a,得2W/4p2+2pa>2a,整理得a2-2pa-4p2<0,则(a-p)2<5p2,又0<p< a,所以0<a-p<5p,则1<分<后+1，因为5+1>32，所以分<32未必成立， D错误. 12.2【解析】本题考查复数的运算与实部、虚部，考查数学运算的核心素养， 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 十中02+0P--之所以+中的实部与酸部之差为受+号-2 因为中十i=2 一1 13.-1+5 2 【解析】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查逻辑推理与数学运算的核心 素养 由m+y=1.得y-子=10m<0则a=1,6=-则c=a十6-m ,依题 m 意得影-m,则后=m,所以1一m=,解得m=-1生5， 2,又m<0,所以m= -1+5 2 14.[o,2U2.6U-16g(或[o,2U2.6U{-h2） 【解析】本题考查函数与导数的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学 运算的核心素养， f(x)在R上单调递减，值域为（一∞，6）.g(x)的定义域为(0，十∞)， gx)=lgx+x‘xin2h2nx+1D,令g'x)>0,得x>2令 11 g()0,得0<x<。则g(x)的单调递增区间是（合，十e),单调 递诚区间是(0，)，gx=g日)=bg,f2)=g②)=2，作出f)与g（x)的大 致图象，如图所示，由图可知，a的取值范围是[0,2)U(2,6)U{ logze 15.【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核 心素养 解：(1)f(x)=3sin2.x-cos2x=2sin(2x-T ………3分 令2江6=2十k元(kEZ0,…” 5分 得x=+(kD,中 6分 则曲线)y=x)的对称轴方程为x=吾+经k∈2. …7分 (2)由fax)+1=0,得f(ax)=2sin(2ax-石）=-1，即sinl(2ax-）=-2…9分 若x∈[0，，a>0.则2ar-君∈[-晋，2ax-], …10分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 因为m(一)= 11分 12分 解得子<a<1,即a的取值范围为[子，). 13分 16.【解析】本题考查统计与独立性检验，考查数学运算与数据分析的核心素养 解：(1)AI组20个评分的最小值为7.8，最大值为20.5，…1分 故A1组20个评分的极差为20.5-7.8=12.7.…2分 因为20×20%=4，所以所求第20百分位数为 1.4+10 2 =10.7.…5分 (2)(1)若将这40个评分按照从小到大的顺序排列，则第20个数据为18.8，第21个数据 为19，…7分 所以m=18.8+19 2 =18.9. 8分 补充完整的列联表如下： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 3 17 20 AI组 17 3 20 合计 20 20 40 …10分 (ⅱ)零假设为H。:AI的情感量化结果与人类的主观感知不存在差异.…11分 X=40X(3X3-17X17) 20×20×20×20 =19.6>10.828,…14分 根据小概率值a=0.O01的独立性检验，有充分证据推断H。不成立，即认为AI的情感量化 结果与人类的主观感知存在差异.……15分 17.【解析】本题考查导数的几何意义与导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 解：(1)由f(1)=1十3a=7,得a=2,…1分 则f)=x-1nx+是)=1--。 x72” 2分 则f(1)=一6，…3分 故曲线y=f(x)在点(1,7)处的切线方程为y一7=一6(x一1)，即y=一6x十13.…4分 (2)f(x)的定义域为(0，+o∞)，f'(x)=1+a-3_3e=z-3)(x十a) …5分 xx 当a=一3时，f'(x)≥0，f(x)在(0，十∞)上单调递增.…6分 当a≥0时，令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0<x<3,则f(x)在(3，+∞)上单调递 增，在(0,3)上单凋递减。…7分 当-3<a<0时，令f'(x)>0,得0<x<-a或x>3,令f'(x)<0,得-a<x<3, … …8分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 则f(x)在(0，一a),(3,十∞)上单调递增，在（一a,3)上单调递减 …9分 当a<-3时，令f'(x)>0,得0<x<3或x>-a,令f'(x)<0,得3<x<-a,…10分 则f(x)在(0,3)，（一a,十∞）上单调递增，在(3，一a)上单调递减.…11分 (3)由(2)知，当a>0时，f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， 则f(x)m=f(3)=3+(a-3)ln3+3g=a1+n3)+3-3n3,…13 若f(x)>0,则a(1十ln3)十3-3n3>0,…14分 解得之子3，放正数a的取值范围为3n33,十…15分 18.【解析】本题考查数列与全概率公式的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养】 (1)解：a1=1,a2=0.8,…1分 a3=0.8a2十0.3(1-a2)=0.8X0.8+0.3×0.2=0.7.…3分 （2)证明：第n年的水质为Ⅲ类的概率为1一an一bn,… 4分 则b+1=0.2an十0.5bn十0.2(1一an一bn),…5分 整理得b+1=0.3bm十0.2，… 6分 则b出-号=（么，二 …7分 又6，一号=0一号=一号，所以6，-号}是以-号为首项，品为公比的等比数列，…8分 放6。-号=号（高），唧6.=号-号（得）.…9分 (3)证明：依题意得am+1=0.8am十0.3bn十0.1(1-am-bn),即am+1=0.1十0.7am十0.2bm, …10分 …11分 设a++(高)”+=[a,+()+] …12分 2 7 2 10,对比系数可得 35, …14分 12 10=10+35' 解得入=一以=品 …15分 因为-员=所以，一品》一引是以为首项品为公比的等比数列 故存在入和r,使得(a,十入·（品）+r是等比数列. …17分 19.【解析】本题考查解析几何与立体几何的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心 素养 解：(1)因为圆O的半径r= 13×0-4×0+101=2, …1分 /32+4 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 所以圆O的方程为x2十y2=4.… ................... 2分 (2)①设点C是圆O与x轴负半轴的交点，翻折后点C的对应点为 C1, 由OA⊥OB,OC⊥OB,得OC1⊥OB,则∠AOC1=0.…3分 若∠AOP=150°，则∠P'OB=∠POB=150°-90°=60°，又0=120°， 所以p(-1,》. …4分 因为000,0,42,00，B(0,2,0,所以0i=(20,0).0i=02,0).0P=(-,1. …5分 OA·m=0, 2x=0, 设平面OAP'的法向量为m=(x,y,之)，则由 OP7.m=0, 得 3 2x+y+ 22=0, 令y=3,得m=(0,3,一2).…6分 OB·n=0, 2y'=0, 设平面OBP'的法向量为n=(x',y',z),则由 OP7.n=0, 得 3 '-0. 3 令x’=3,得n=(W3,0,1).…7分 因为am=品-后一告 …8分 由图可知，三面角A-OPB为锐角，故三面角A-OP'-B的余弦值为 …9分 ②I.证明：设射线OQ与x轴正半轴的夹角为8(0<<受)， 则Q(2cosB,2sinB,0),Q1'(2cos3cos0,2sinB,2cosβsin0),…11分 Q,Q1在平面Oyz上的正投影点的坐标分别为(0,2sinB,0),(0,2sin3,2cos3sin0), 则M(0,2sinB,c0 s Bsin0).…13分 设M(x,y,x),则y=2sin3∈(0,2)，之=cos Bsin0, 则sin 8cosi则simp+osB-n2,0<2 因为0<sin0<4,所以无论0取何值，点M的轨迹始终为椭圆的一部分. …15分 Ⅱ.由0∈[三，]，得sn0∈[21]，则I中椭圆的离心率e=√ sin20 「35 L2、4J 故I中椭圆的离心率的取值范围为 315 2,4 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】