四川广汉市金雁中学2026届高三下学期5月质检数学试题

**基本信息** 高三数学质检卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过生活情境（如闯关概率问题）和综合大题（如椭圆与抛物线交汇）考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线准线、三角函数求值、函数零点|基础题为主，如第1题直接考查抛物线性质，落实抽象能力| |多选|3/18|立体几何异面直线、新定义B-数列|第11题以新定义考查数列推理，体现逻辑思维| |填空|3/15|双曲线中点弦、概率期望|第14题取球游戏求期望，结合数据意识| |解答|5/77|数列裂项、导数极值、椭圆与抛物线综合|第19题解析几何综合题，考查模型意识与运算能力，贴近高考命题趋势|

2026届高三下学期第三次质检数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线x2﹣4y＝0的准线方程是（　　） A．y＝﹣1 B．y C．x＝﹣1 D．x 2．（　　） A． B． C． D． 3．设α，β为钝角，且sinα，cosβ，则α+β的值为（　　） A． B． C． D．或 4．设a＝50.4，，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 5．若两个非零向量，满足||||||，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．已知命题p：∀x∈R，x2+2x+a＝0有两个不相等的实根，若￢p为真命题，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 7．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）11的展开式中，各项系数和与含x3项的系数分别是（　　） A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188，495 8．若函数y＝x3+a﹣3lnx存在零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．[0，+∞） 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积．选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束．已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，，，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是（　　） A．甲在第一题使用场外求助的概率为 B．甲答题两次并获得奖金的概率为 C．甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D．甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是（　　） A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．BE与BM成60°角 D．DE与AF是异面直线 11．已知数列{un}，其前n项和为Sn，若存在常数M＞0，对任意n∈N*，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+⋯+|u2﹣u1|≤M，则称{un}为B一数列．则下列说法正确的是（　　） A．若{un}为等差数列，则{un}为B一数列 B．若{un}是以1为首项，q（|q|＜1）为公比的等比数列，则{un}为B一数列 C．若{un}为B一数列，则{Sn}也为B一数列 D．若{Sn}为B一数列，则{un}也为B一数列 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数为奇函数，则实数a＝　 　 ． 13．双曲线E：，过P（4，t）（t＞0）作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则t的取值范围是 　 　 ． 14．一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有2个红球、3个白球和3个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为X，则E（X）＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a1＝1，且a2﹣1，a3﹣1，a4成等比数列． （1）求an和Sn； （2）若bnSn＝1，求数列{bn}的前20项和T20． 16．已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax2． （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若x＝0不是f（x）的极值点，求a． 17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M在线段A1D上，且DM＝2MA1． （1）求证：平面A1BD⊥平面AA1C1C； （2）画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面AMC1截得的截面，并求该截面的周长． 18．用“五点法”画函数f（x）＝Acos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π x f（x） 4 1 ﹣2 4 （1）请将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式为　 　 ； （2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，2π]时，函数g（x）的单调递增区间： （3）若将函数f（x）图象上的所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝k（x）的图象．若y＝k（x）图象的一个对称中心为（，1），求θ的最小值． 19．已知椭圆（a＞b＞0）和抛物线（p＞0），在C1，C2上各取两个点，这四个点的坐标为（2，1），，，（﹣4，4） （1）求C1，C2的方程； （2）若直线l过椭圆C1的左焦点F，与椭圆C1交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线BC与x轴交于点D，当△DAF的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是C2在第一象限上的点，C2在点M处的切线l′与C1交于P，Q两点，线段PQ的中点为N，过原点O的直线ON与过点M且垂直于x轴的直线交于点R．证明：点R在定直线上． 参考答案 一．选择题 1．A． 2．C． 3．C． 4．B． 5．B． 6．D． 7．A． 8．A． 二．多选题 9．AC． 10．CD． 11．BD． 三．填空题 12．12． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（1）设已知数列的公差为d，则an＝1+（n﹣1）d， 由，得（2d）2＝d（1+3d），即d2﹣d＝0， 所以d＝1或d＝0，显然d不为0，所以d＝1， 所以an＝n，． （2）由（1）知，又bnSn＝1， ， ＝2（1）， 所以． 16．解：（1）因为函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax2， 所以f′（x）＝ex﹣cosx﹣2ax， 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k＝f′（0）＝e0﹣1＝0， 且f（0）＝1， 所以所求切线方程为y＝1． （2）令g（x）＝f′（x）， 则g（0）＝f′（0）＝0， g′（x）＝ex+sinx﹣2a在区间上单调递增． （i）若，则g′（0）＜0，所以存在正数σ， 使得当x∈（﹣σ，σ）时，g′（x）＜0，f′（x）单调递减； 当x∈（﹣σ，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（0，σ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故x＝0是f（x）的极值点， （ii）若，则g′（0）＞0，所以存在正数δ， 使得当x∈（﹣δ，δ）时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增； 当x∈（﹣δ，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，δ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故x＝0是f（x）的极值点， （iii）若，则当时，g′（x）＜g′（0）＝0，g（x）单调递减； 当时，g′（x）＞g′（0）＝0，g（x）单调递增， 故当时，f′（x）＝g（x）≥g（0）＝0，f（x）单调递增， 故x＝0不是f（x）的极值点， 综上，． 17．解：（1）证明：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1， 得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD， ∵BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD， 又AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C， ∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面AA1C1C； （2）延长AM交A1D1于F，连接C1F，过AMC1的截面为AEC1F交BC于E， 由DM＝2MA1，A1D1∥AD，可得F是A1D1的中点， 由正方体的性质，可得AF∥C1E，AE∥C1F，则E是BC的中点， ∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面AMC1截得的截面为AEC1F， 由正方体的性质可得AE＝EC1＝C1F＝AF， 故该截面的周长为4． 18．解：（1）根据表格中已知数据，解得A＝3，ω＝2，φ， 用数据补全如下表： ωx+φ 0 π 2π x f（x） 4 1 ﹣2 1 4 所以f（x）的解析式为：f（x）＝3cos（2x）+1，…4分 （2）g（x）＝3cos（x）+1， 令2kπ﹣π≤x2kπ，k∈Z， ∴2kπx≤2kπ，k∈z， ∵x∈[0，2π]， ∴可得g（x）的单调递增区间为[，]，…7分 （3）k（x）＝f（x﹣θ）＝3sin[2（x﹣θ）]+1＝3cos（2x﹣2θ）+1， ∵y＝k（x）图象的一个对称中心为（，1）， ∴k（）＝3cos（2θ）+1＝1， ∴π﹣2θ＝kπ，k∈z， 即θkπ，k∈z， ∴θmin10分 19．解：（1）抛物线满足x2与y成正比，将四个点代入验证： 点（2，1）和（﹣4，4）满足22＝4＝2p•1，（﹣4）2＝16＝2p•4，得p＝2，故； 剩余两点、在椭圆C1上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），由题意可知直线l的斜率存在，F（﹣1，0）， 设直线l的方程为：y＝k（x+1）， 由得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，此时Δ＞0， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令y＝0，则， 所以D（﹣2，0），此时，所以，当|y1|最大时， △DAF的面积最大，而|y1|max＝1，即：A（0，±1），所以当△DAF的面积最大时， 直线l的方程为：x﹣y+1＝0或x+y+1＝0． （3）证明：设，由x2＝4y，得， 所以切线l′的方程为：， 设P（x3，y3），Q（x4，y4），由得：， 由Δ＞0，得：，代入得：， 所以，所以， 由得：y＝﹣1，所以点R在定直线y＝﹣1上． 学科网（北京）股份有限公司 $