精品解析：上海市行知中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试卷

上海市行知中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一．填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 在等差数列中，，，则______. 2. 若，则______. 3. 函数的最小正周期为___________. 4. 已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 5. 已知向量、满足，，则______. 6. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为______. 7. 已知数列满足：（为正整数），则______. 8. 在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 9. 已知，则_____________． 10. 已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 11. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是______. 12. 已知等比数列的前项和为，若对一切正整数，存在数列都有，则公比的取值范围是______. 二．选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 三．解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 18. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 19. 已知，其中： （1）若函数是偶函数，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）若函数的最大值为，求的取值范围. 20. 已知数列的首项为1，前项和为，且满足 （1）写出，的值； （2）令，求数列 的前项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 21. 若定义域为的两个函数与，令，满足为严格递减函数，且存在，使得函数值域为，则称对于具有性质. （1）判断函数对于是否具有性质； （2）函数和是定义域为的函数，证明：函数对于具有性质； （3）若函数对于具有性质，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一．填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 在等差数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，结合，即可求解. 【详解】在等差数列中，，， 根据等差数列的性质，可得 2. 若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用诱导公式求值即可. 【详解】由题意得，由三角函数的诱导公式可得. 3. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接由正切函数的周期公式可得答案. 【详解】. 故答案为：. 4. 已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 5. 已知向量、满足，，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】已知向量、满足，， 则，进而. 6. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以向量在上的投影向量的坐标为. 7. 已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【解析】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 8. 在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【答案】28 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则. 则. 所以. 当时，取得最小值28. 9. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算. 【详解】，则. 故答案为：. 10. 已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 11. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为，，因此. 又因为函数在区间上严格增， 所以，且，解得，. 所以当时，，解得； 当时，由，所以不等式组无解； 当时，由，不等式组无解； 综上所述，，，故的取值范围为. 12. 已知等比数列的前项和为，若对一切正整数，存在数列都有，则公比的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断时是否满足的条件，再由等比数列的通项公式和前项和公式，再代入不等式进行整理，进而结合的正负进行分类讨论，进而推导的取值范围. 【详解】当时，，．由，得，即． 因为，所以，取即可满足对一切正整数都有，故符合题意． 当时，，由，得. 整理得. 令. 下面分类讨论的取值． （1）当时，．又，且随增大而减小，所以随增大而增大， 故的最小值为. 于是对一切恒成立，取即可满足题意．故符合题意． （2）当时，，且．此时随增大而递减． 若，则. 又递减，所以对一切恒成立，取即可满足题意．故符合题意． 若，则，而随增大趋于，所以不能保持同号， 不存在非零使不等式对一切正整数恒成立．故不符合题意． （3）当时，，且，所以． 取即可满足题意．故符合题意． （4）当时．设，则． 当为奇数时，. 当为偶数时，. 若，则偶数项中的随增大最终为负，而奇数项恒为正，符号不一致，不符合题意． 若，则偶数项中在时最大，所以只需 即. 分解得 因为 ，所以只需 解得所以，也就是 则当时，对一切恒成立．又，所以， 取即可满足题意．综上，. 二．选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法结合特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 当且仅当时，等号成立，故，A中的不等式恒成立； 对于B选项，因为， 当且仅当，时，等号成立，故，B中的不等式恒成立； 对于C选项，因为， 当且仅当时，等号成立，C中的不等式恒成立； 对于D选项，当，时，， 当且仅当时，等号成立， 当，时，，D中的不等式不恒成立. 14. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 15. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】设射线对应的角为且，由题设可得，故可得满足条件的的个数. 【详解】设射线对应的角为且， 故区域Ⅰ的面积为， 区域Ⅲ的面积为， 区域Ⅱ的面积为， 由题设有， 整理得到，因为，故此时仅有两解， 故选：C. 16. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有且，对于从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可. 【详解】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且， 对于A：若，，，此时，对； 对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立， 此条件等价于且对任意成立， 构造数列，该数列满足，， 此时，，满足条件，故B正确； 对于C：当时，成立； 当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确； 对于D：当时，， 当时，（其中）。 由于，令括号内为， 因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数， 则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。所以，其形式为型奇数， 因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又， 故不存在使得，所以D错误。 故选：D 三．解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 向量是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）若，与共线且，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先利用，求得，再由与共线时，求得，进而得到答案； （2）先求得，设，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由向量， 因为与的夹角为钝角，可得，即，解得； 当与共线时，可得，解得， 当时，与方向相反，夹角为，不符合题意； 综上可得且，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由向量，可得， 因为向量与共线，可设， 又因为，可得，解得， 当时，；当时，. 18. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系，确定角度与边长，再借助余弦定理求出线段长度； （2）先设出角，结合正弦定理表示线段，再利用三角形面积公式列式，通过三角恒等变换化简，最后结合三角函数的取值范围，找到使面积取最小值，并求出最小面积即可. 【小问1详解】 在 中， ， ，， 由勾股定理得 ，则 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理： ，故 . 【小问2详解】 设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得： 在 中，， ， 由正弦定理得：， 的面积：， 令 ，则： ， ， 当 ，即 时， 取得最大值 ， 此时 取得最小值：， 所以当 时， 的面积最小，最小面积为 . 19. 已知，其中： （1）若函数是偶函数，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）若函数的最大值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）和. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，得到，即可求解； （2）当时，可得，由，得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （3）化简函数，由，得到，根据题意，得到的最大值为，结合正弦型函数的性质，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由是偶函数，可得，即， 可得，所以， 因为上式对任意恒成立，所以，解得. 【小问2详解】 解：当时，可得，因为，可得， 由正弦型函数的性质，分别令和 解得和， 所以函数在上的单调递增区间为和. 【小问3详解】 解：由函数， 可得， 因为，可得， 要使得在上的最大值为，则的最大值为， 即区间必须包含，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 20. 已知数列的首项为1，前项和为，且满足 （1）写出，的值； （2）令，求数列 的前项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用数列的定义求解； （2）使用错位相减法求解； （3）使用分组求和法计算，再分离参数转化为最值求解. 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. 【小问3详解】 由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. 21. 若定义域为的两个函数与，令，满足为严格递减函数，且存在，使得函数值域为，则称对于具有性质. （1）判断函数对于是否具有性质； （2）函数和是定义域为的函数，证明：函数对于具有性质； （3）若函数对于具有性质，求实数的值. 【答案】（1）没有，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据可得结论； （2）令，分析函数在上的单调性，并求其值域，可证得结论成立； （3）令，根据性质的定义可知，对任意的，，分参得，可得；由函数在上为严格减函数，结合函数单调性的定义可求得实数的取值范围，即可得出的值. 【小问1详解】 因为，，这两个函数的定义域均为， 令，因为，，即， 故函数在不是减函数，故函数对于不具有性质. 【小问2详解】 因为，，这两个函数的定义域均为， 令 ， 所以函数在上为严格减函数， 因为，则，则，即函数的值域为， 因此函数对于具有性质. 【小问3详解】 设， 因为函数对于具有性质， 则函数在上为严格减函数， 对任意的，， 则，可得， 因为，所以，解得， 任取、且，即， 因为函数在上为严格减函数，则， ， 因为，则，可得， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 所以，所以，解得， 综上所述，. 且当时，， 存在，使得函数值域为，则，符合题意， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $