精品解析：2026年河北省石家庄市第四十中学九年级中考二模数学试卷

2026年初三二模考试数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 某药品保存的温度是，则以下温度不适合保存的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，有理数的大小比较．根据正负数的意义，用，，得到药品保存的温度的范围即可求解． 【详解】解：依题意，，， 所以药品保存的温度范围为到， 选项B符合题意， 故选：B． 2. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故选：B． 3. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 4. 某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这600名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 近3万名考生是总体 D. 600名学生是样本容量 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量这是指样本中个体的数目，进而问题可求解． 【详解】解：A．这600名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误，故不符合题意； B．每位考生的数学成绩是个体，原说法正确，故符合题意； C．近3万名考生的数学成绩是总体，原说法错误，故不符合题意； D． 600是样本容量，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查总体、个体、样本及样本容量，熟记各个概念是解题的关键． 5. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 6. 计算的结果等于（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可 【详解】解： ． 故选：D． 7. 新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数． 将化为，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 8. 有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 9. 若一元二次方程的两根之积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解，再验证方程有实根即可得到结果． 【详解】解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵两根之积为， ∴，解得， ∴原方程为， 解得，，符合题意， ∴． 10. 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似． 方法一：根据等边三角形性质先计算，再由两角相等证明，所以，即解出，进而求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， 即， 而， ， ， ， ，即， 解得， ． 故选：B． 11. 如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定． 设与相较于点，则，，得到,则垂直平分，得到即可解题． 【详解】如图,设与相较于点， ∵点是的中点,, ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴, ∴点的横坐标为. 故选C. 12. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝2，AH＝EH＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果． 【详解】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示： 则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM， 由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠HAE＝∠B＝45°， ∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形， ∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1， ∴GM＝HP＝2+1＝3， 在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝(2)2， 解得：GH＝±(负值舍去)， ∴GH＝， ∴PM＝GH＝， 设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2， 在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+(﹣x)2＝(x+2)2， 解得：x＝2﹣4， ∴PF＝2﹣4， ∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 二、填空题（题每题3分，16题每空2分，共13分） 13. 用定义一种新运算：对于任意实数a和b ，若，求____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，利用新运算的规定列式计算即可，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 15. 一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在双曲线上的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： b a 1 2 1 2 由表知，共有12种等可能结果，横纵坐标之积为2的情况有：，，，，共4种， 所以落在双曲线上的概率为：． 16. 图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键． （1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点． （2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，， 则，， 是正六边形的一条对角线， ， 在中，，， ， ， 故答案为：； 如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时， 正方形边长的值最小，是正方形的对角线， ， ， 如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线， 设时，正方形的边长最大， ， ， 设直线的解析式为，，， ， ， 直线的解析式为， 将代入得， 此时，取最大值， ， 正方形边长的取值范围是：． 故答案为：． 三、解答题（共71分） 17. 整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：； 第二个多项式：． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， ， 第③步：写出结果， ． 试用上面的方法解决这个计算问题：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查整式减法运算，关键是按降幂排列多项式，对齐同类项后逐项相减，本质是合并同类项． 【详解】解：第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：， 第二个多项式：. 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减，  或 . 第③步：写出结果，  . . 18. 2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； （3）在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． 【答案】（1）150人，图形见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由选地掷球的人数和所占百分比求出本次调查的学生总人数，即可解决问题； （2）由360度乘以选择“浮士德球”的学生所占的比例即可； （3）列出表格，得出所有等可能的结果数和满足条件的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即本次被调查的学生总人数为150人， 选地掷球的学生总人数为人， 补全条形统计图，如下： 【小问2详解】 解： “浮士德球”对应的圆心角度数； 【小问3详解】 解：设航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 一共有16种等可能结果，其中恰好在同一科普课堂学习有4种， 所以被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率为． 19. 计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． （1）若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 （2）若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 【答案】（1）二， （2） 【解析】 【分析】（1）嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据“原式的计算结果为”列方程求出“□”代表的数即可． 【小问1详解】 解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误； ； 【小问2详解】 解：若原式的计算结果为， 则， ， ， ， ∴． 20. 如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可； （2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证； 【小问1详解】 证明：平分， ， 又，， ∴． 【小问2详解】 证明：由翻折得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ，即， ． 21. 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 （1）任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】（1）快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； （2）当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； 【小问2详解】 解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 22. 阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： （1）补全笔记中的证明过程． （2）拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①画图见解析；② 【解析】 【分析】1）过点A作的平行线，交于点E，证明四边形是平行四边形，，再利用勾股定理求解即可； （2）①延长和交于点P，作出线段的垂直平分线得到的中点，连接交于点M，即为所求线段； ②利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：过点A作的平行线，交于点E， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，即； 【小问2详解】 解：①如答图，即为所求线段； ②如图，记的延长线与的延长线的交点为P， ∵四边形是底角互余梯形， ∴， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． （1）____________，____________； （2）求直线的解析式； （3）先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 【答案】（1）， （2） （3）①p=4，；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）①根据题意得出抛物线的顶点坐标为，根据平移的性质即可求解； ②根据平移的性质可得平移后的解析式为，联立二次函数解析式，结合一元二次方程根与系数的关系即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ，； 【小问2详解】 当时，， ， 设直线解析式为，则，解得， ； 【小问3详解】 ①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为， ， ∴抛物线解析式为 ； ②∵直线l沿y轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，化简得， ， 又 ，， 24. 如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． （1）如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； （2）如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； （3）延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； （4）点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）说法正确，理由见解析 （3）当是直角三角形时，或 （4）最小值 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）设，由圆周角定理可得，连接，，，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【小问1详解】 解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； 【小问2详解】 解：说法正确，理由如下： 设，由圆周角定理可得， 连接，，， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； 【小问3详解】 解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 由过程同理可得，，，， ∴，， 由菱形的性质可得， ∴，， ∴和中， ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或； 【小问4详解】 解：作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三二模考试数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 某药品保存的温度是，则以下温度不适合保存的是（ ） A. B. C. D. 2. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 4. 某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这600名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 近3万名考生是总体 D. 600名学生是样本容量 5. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果等于（　　） A. 1 B. C. D. 7. 新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的两根之积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A. 5 B. C. 6 D. 11. 如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 12. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（　　） A. B. C. 2 D. 二、填空题（题每题3分，16题每空2分，共13分） 13. 用定义一种新运算：对于任意实数a和b ，若，求____________． 14. 七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 15. 一个不透明的袋子里有个小球，上面分别标有数字，，，，小球除所标数字不同外，其它完全相同，摇匀后摸出一球，记下数字为，不放回，再摸出一球，记下数字为，若点的坐标为，则点落在双曲线上的概率为________． 16. 图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 三、解答题（共71分） 17. 整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：； 第二个多项式：． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， ， 第③步：写出结果， ． 试用上面的方法解决这个计算问题：． 18. 2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； （3）在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． 19. 计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． （1）若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 （2）若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 20. 如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当时，把沿直线翻折得到，证明：． 21. 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 （1）任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． （2）任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 22. 阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： （1）补全笔记中的证明过程． （2）拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． （1）____________，____________； （2）求直线的解析式； （3）先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 24. 如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． （1）如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； （2）如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； （3）延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； （4）点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $