第五章分式与分式方程单元测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册分式与分式方程单元卷，120分钟120分，覆盖分式意义、性质、运算及分式方程解法与应用，以时代情境和分层设计提升教学适配性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|分式无意义条件、分式运算、方程解法|基础概念辨析，如分式值不变条件| |填空题|6/18|分式值为零、方程解、整数解问题|结合错解分析、统计估计（如池塘鱼数量估计）| |解答题|8/72|方程求解、化简求值、应用题、规律探究|全运会纪念品、航天模型等情境应用，阅读材料题培养推理能力，体现模型意识与创新思维|

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程单元测试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若分式无意义，则x的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．（本题3分）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍 4．（本题3分）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 6．（本题3分）若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 7．（本题3分）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题3分）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 10．（本题3分）我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）方程的解为__________． 12．（本题3分）若分式的值为零，则______． 13．（本题3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 14．（本题3分）若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 15．（本题3分）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 16．（本题3分）李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 19．（本题8分）已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 20．（本题8分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 21．（本题9分）观察以下等式： ①， ②， ③， ④， (1)按这些等式的规律，请写出第5个等式：___________． (2)猜想第个等式________（用的代数式表示），并证明． 22．（本题9分）2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． (1)求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ (2)若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 23．（本题10分）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 24．（本题12分）某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍． (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． ①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______． ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答； (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？ 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C D B B D A 1．A 【分析】根据分式无意义时分母为0，解答即可． 【详解】分式无意义， ， 解得：． 2．B 【详解】解：原式 3．B 【详解】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为 ∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变． 4．D 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：， 移项得 ， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 5．C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 6．D 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．B 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 8．B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 9．D 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 10．A 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 11． 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 ， 展开各项，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 12． 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 13． 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 14． 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 15． 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 16．20000 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【详解】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 17．(1) (2)原分式方程无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 18． ， 【分析】按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式， ，，， ，1，2， 将代入得，原式． 19．(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 20．A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 21．(1)， (2) ，见解析 【分析】（1）根据已知等式的规律写出即可； （2）根据已知等式规律写出等式，利用分式的解法进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意，根据等式规律可知，⑤， （2）解：第个等式 证明： =左边 22．(1)“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元 (2)3010元 【分析】（1）设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个，列出函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元． （2）解：设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个， 根据题意得，解得， 设该学校需花费元， 根据题意得： ， ， 随的增大而增大， 为整数， 的最小值为17， 当时，有最小值 ， 答：该学校最少需花费3010元． 23．真； ； 或或或． 【分析】本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 24．(1)①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析； (2)最多可购进A型钢笔93支． 【分析】（1）①根据题意判断即可； ②任选其一，根据解分式方程的步骤求解即可； （2）设购进A型钢笔支，则购进B型钢笔支，根据题意列不等式求出的取值范围，可知最多可购进A型钢笔的数量． 【详解】（1）解：①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量 ②选甲同学的方法． ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． 选乙同学的方法．． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元），（元）． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． （2）解：设购进A型钢笔m支，则购进B型钢笔支． 根据题意，得． 解得． ∵m为正整数， ∴m最大为93． 答：最多可购进A型钢笔93支． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $