第五章 分式与分式方程（挑战压轴题）23个题型讲练+能力提升训练 共56题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题5.6 挑战压轴题『第五章 分式与分式方程』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【北师大版八下●新教材】 1 题型一 分式的规律性问题 1 题型二 分式的求值 3 题型三 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 3 题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值 5 题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 7 题型六 将分式的分子分母各项系数化为整数 8 题型七 最简分式 9 题型八 分式乘除混合运算 11 题型九 含乘方的分式乘除混合运算 12 题型十 异分母分式加减法 13 题型十一 整式与分式相加减 15 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 16 题型十三 分式加减混合运算 17 题型十四 分式加减的实际应用 18 题型十五 分式加减乘除混合运算 21 题型十六 分式化简求值 23 题型十七 分式最值 23 题型十八 分式方程无解问题 27 题型十九 分式方程的行程问题 28 题型二十 分式方程的工程问题 29 题型二十一 分式方程的经济问题 31 题型二十二 分式方程和差倍分问题 33 题型二十三 分式方程的其它实际问题 35 能力提升训练 38 题型一 分式的规律性问题 【典例分析】（25-26八年级下·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．通过观察给定例子=+和=+，发现对于分母为奇数的分数，可拆分为两个单位分数之和，其中第一个分母为，第二个分母为．将此法应用于和一般形式即可求解． 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ． 故答案为：，． 【变式训练】（23-24八年级下·山东东营·月考）若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 题型二 分式的求值 【典例分析】（25-26八年级下·广东江门·月考）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，利用已知条件代入化简求值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，故． ∴原式． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·月考）若，则＝________． 【答案】9 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由，去分母，化简得 ，从而得出答案． 【详解】由 ，去分母得 ， ， ， 即， ． 故答案为9． 题型三 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（25-26八年级下·全国·单元复习）当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 【变式训练】（24-25八年级下·北京昌平·期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（24-25八年级下·福建厦门·期末）一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 【答案】(1) (2)W的最大值是22 【分析】本题考查了新定义下的三位数问题、二元一次方程组的应用以及整数的性质．解题的关键是理解“双倍数"的定义，结合数位特征列出关系式，通过代数式化简和整数整除性分析求解，同时注意数位上数字的取值范围及整数除法的准确性． （1）根据"双倍数"定义和已知条件列出关于a、c 的方程组；解方程组得到a、c的值，确定三位数 M． （2）由"双倍数"定义和，用b表示a、c；根据数位数字范围确定b的可能取值；表示出M和W的表达式，结合W是整数的条件筛选b 的值；求出W的最大值． 【详解】（1）已知三位数是"双倍数"， ∵，且，． ∴联立方程组：，解得， 因此，“双倍数”． （2）∵，， ∴， ∴， 代入W的表达式：， 因为W是整数，所以能被14整除． ∵a、b、c是各数位上的数字（，且均不为0）， ∴，即，即，因此b的取值为，分别代入验证： 当b为奇数时，必为奇数，而分母14中包含因数2，此时W不是整数，排除； 当时，，不是整数，排除； 当时，，是整数，满足条件． 因此，符合条件的W的最大值为 22． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（24-25八年级下·全国·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南京·期中）若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 题型六 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型七 最简分式 【典例分析】（24-25八年级下·北京·单元复习）下列分式中最简分式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式， 解题的关键是掌握：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．据此解答即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意； C．∵是最简分式，故此选项符合题意； D．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江·单元测试）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． 题型八 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算和乘法公式，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算和乘法公式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·福建泉州·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1)13 (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方，再进行加减计算； （2）先计算乘方，再计算乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键． 原式先算乘方，然后再算乘除，最后根据偶次幂和绝对值的非负性确定x和y的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴原式6． 题型十 异分母分式加减法 【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 【答案】(1)A (2)不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母 (3) 【分析】本题考查了分式的加减． （1）解答异分母分式的加减运算，首先要将异分母转化为同分母，即通分，观察原题，A步是实现通分的步骤，但是在A中，很明显第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误； （2）A步进行通分后，A到B步中，就转化成同分母分式的加减运算，分母不变，直接让分子相加即可；而题目给出的计算过程，直接丢掉了分式的分母，显然这种解法是错误的； （3）先对分式进行通分，再依据分式加减法则进行分子的加减运算，最后化简结果． 【详解】（1）解∶由于A步中，第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误． 故答案为∶A； （2）解：从到不正确．分式的分母被直接丢掉，分式加减运算过程中不能去掉分母，应当保留分母．因此从到不正确． 故答案为∶ 不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母． （3）解： 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知单项式串：，，，，，其中，，，，n均为正整数，且．规定：，，，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以．（   ） A．当n＝2时，满足条件的所有整式的和为 B．当n＝3时，的值有10种不同的可能 C．若为整数，则满足条件的所有整数x之和为 D．以上说法都不对 【答案】AC 【分析】A根据条件列举所有可能的和组合，计算对应的并求和，验证结果是否为；B分析时的可能组合，计算对应的值，统计不同值的数量是否为10种；C对每个可能的，求满足为整数的整数，验证其和是否为． 【详解】解：当时，， 和满足，可能的组合为、、． 故对应的分别为、、． 三者相加得，故A正确． 当时，， ∴， ∵满足， ∴， ∴， ∵均为整数， ∴值为共7种，故B错误． 由A可知：分别为、、， 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 所有可能的为，其和为，故C正确． 题型十一 整式与分式相加减 【典例分析】（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【变式训练】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 题型十三 分式加减混合运算 【典例分析】（23-24八年级下·浙江金华·月考）当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为倒数时，两分式的和为0是解题的关键． 将和代入得，将代入得，故此可知当互为倒数时，两分式的和为0，再分别求出当，时的值，然后求和即可． 【详解】将，代入，原式， 将，代入，原式， 当时，原式， 当时，， 故当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时， 将所得结果相加，其和等于， 故答案为：． 【变式训练】（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型十四 分式加减的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【变式训练】（24-25八年级下·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 题型十五 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据因式分解和分式的运算法则进行化简，代入计算即可，注意分式的分母和除数不为0； （2）根据题意可知，被墨水遮住的部分是，再根据分式的运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：被墨水遮住的部分是： ． 【变式训练】（25-26八年级下·甘肃甘南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 题型十六 分式化简求值 【典例分析】（2026·湖南·一模）先化简，再求值： ，其中满足． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式训练】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算减法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型十七 分式最值 【典例分析】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）【问题情境】 用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立． 【类比应用】 利用上面所得到的结论完成填空： （1）当时，代数式的最小值为__________． （2）当时，代数式有最小值为________． （3）如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积． 【拓展应用】 （4）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数） （5）若正数a，b满足则的最小值为_______． 【答案】（1）4；（2）2；（3）2；（4）人数为60人，最低费用为36元；（5） 【分析】本题主要考查了新定义运用、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用材料提供的公式是本题解题的关键． （1）根据已知公式直接计算即可； （2）构造已知公式，然后进行计算即可； （3）设P点坐标，列出的面积表达式，根据已知公式求解即可； （4）假设参加人数，列出人均费用的表达式，根据已知公式求解最值； （5）将代入M，然后通分，取分式部分的倒数，根据已知公式求其最大值即为M的最小值． 【详解】解：（1），当且仅当时，等式成立，此时，， ∴的最小值为4． 故答案为：4． （2）． 故答案为：． （3）如图：设，过A作轴于B，过P作轴于Q， ∵ ∴，，， ∴ ． （4）设共有x人参加活动， ∴人均投入（元）， 当取等，即时，人均投入费用最低，最低费用是36元． （5）∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， 当取等时，，解得：，符合题意． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【详解】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 题型十八 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．转换为整式方程，解方程即可； 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当，时，原方程有增根，即方程无解， 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 题型十九 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）学校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为千米/时，则根据题意所列的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．理解题意列出分式方程是关键． 根据比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，可得比赛时小亮平均速度为千米时，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟即小时，列出方程即可． 【详解】解：比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，小亮训练前的平均速度为千米时， 比赛时小亮平均速度为千米时， 根据题意可得， 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级下·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 题型二十 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（    ） A．表示模型A处理400GB数据的时间 B．表示模型B每小时能处理多少GB数据 C．表示模型B处理数据的时间 D．表示模型A每小时能处理多少数据 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键 本题需结合工作总量、工作效率、工作时间的关系（工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），分析方程中变量的实际意义． 【详解】对于方程①： ∵ 等式左边为模型A处理400GB数据的时间，右边为模型B处理300GB数据的时间，且A的时间是B的2倍 ∴ 表示模型A每小时处理的GB数据量，故A、B选项错误 对于方程②： ∵ 为模型B的每小时处理量，为模型A的每小时处理量，且B比A每小时多处理10GB ∴ 表示模型B处理300GB数据的时间，故C选项正确，D选项错误 故选：C 【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)x， (2)天 (3)选择方案三，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天， 根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要天； （2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量+乙队工期时间完成的工作量，列方程求解即可； （3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工， ∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期， ∵设这项工程的规定工期为x天， ∴甲队单独完成这项工程需要x天， ∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天， ∴乙队单独完成这项工程需要天； 故答案为：x，； （2）解：由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定工期为天； （3）解：∵这项工程的规定工期为天， ∴甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， ∵这项工程能如期完工， ∴只能选由甲单独完成或甲乙合作完成，即方案一或方案三， （方案一）甲队单独完成这项工程的费用：（万元）， （方案三） 若由甲乙两队合作做6天 ，剩下的工程由乙队单独做费用为：（万元）， ∵， ∴选方案三， 答：为了节省工程款，同时又能如期完成，应选择方案三． 题型二十一 分式方程的经济问题 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·开学考试）某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 【答案】 48 【分析】先根据题意设对联、小马挂件、日历册进价分别为元，即可得出对联、小马挂件、日历册售价分别为元，再根据每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为，可设出每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个，得出每个福袋的进价为元，每个福袋的售价为元，每个福袋的利润为元，根据降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的，可得出降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为，即可算出降价后每个福袋的利润为元，根据题意可设年前卖出m个，则年后卖出个，根据年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，即可得出，解出m的值，然后算出总利润为元，总进价为元，即可算出总利润率． 【详解】解：∵对联、小马挂件、日历册进价之比为， ∴可设对联、小马挂件、日历册进价分别为元， ∵对联、小马挂件、日历册售价分别比其进价的， ∴对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∵每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为， ∴可设每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个， 则每个福袋的进价（元），每个福袋的售价（元）， ∴每个福袋的利润（元）， ∵年前商店一共卖出福袋若干，剩下的福袋在年后全部售完， ∴可设年前卖出m个，则年后卖出个， ∵降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的， ∴降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∴降价后每个福袋的售价（元）， ∴降价后每个福袋的利润为（元）， ∵年前卖出的对联的总收入为（元）， 年后卖出的对联的总收入为（元）， 且年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为， ∴， 解得：， 经检验，是该方程的解， 80个福袋总进价为（元）， 总售价为 （元）， ∴总利润为（元）， ∴总利润率为：． 【变式训练】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵35元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ (2)如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 【答案】(1)购进一个钥匙挂件的价格为25元，一套伴手礼的价格为60元 (2)该市民最多可购进8套伴手礼 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元，根据题干给出的数量等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，求解后取符合题意的最大整数即可. 【详解】（1）解：设购进一个钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：购进一个钥匙挂件的价格为25元，购进一套伴手礼的价格为60元； （2）解：设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个， 根据题意得：， 解得：， 而，即， 取最大正整数，得， 答：该市民最多可购进8套伴手礼． 题型二十二 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（2025·广东东莞·二模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【答案】(1)甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； (2)学校最多可购进甲种图书200本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据“用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等”列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据“该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； （2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多可购进甲种图书200本． 【变式训练】（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出方程求解即可； （2）设购买航空模型个，花费为元，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元． 由题意得，， 解得， ， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 题型二十三 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【答案】(1)机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元 (2)机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为 (3)共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元，根据购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元建立方程组求解即可； （2）设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为，根据运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同建立方程求解即可； （3）设购买a只机器狗，购买b台无人机，根据总费用为160万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元； （2）解：设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为； （3）解：设购买a只机器狗，购买b台无人机， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机； 方案一的单次最高载货量为， 方案二的单次最高载货量为， ∵， ∴方案二的单次载货总量最高， 答：共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高． 【变式训练】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 1．（2024八年级下·湖北黄石·竞赛）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】利用不等式无解及分式方程的解为非负数得到a的取值范围，再求所有满足条件的整数a的值之和即可． 【详解】解：解得， 解得， ∵无解， ∴两个不等式的解集和没有公共部分， ∴， 解得：， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，且 ∴且 综上：且 所有满足条件的整数a的值之和：． 2．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像中提取信息并列分式方程，掌握利用路程相等建立等量关系，结合总费用与单位里程费用的公式列方程是解题的关键． 先根据题意表示出燃油汽车每千米的费用，再由图像可知两种汽车行驶路程相同，结合路程=总费用÷每千米费用列出等式方程． 【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． 4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________． 【答案】0或4 【分析】根据定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 经检验，或均是方程的解． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先求出方程的解，再根据分式方程的解是负数求出范围，最后通过进行求解即可． 【详解】解： 解得， ∴ 解得：， 又∵，即， ∴， ∴． ∴的取值范围是且． 6．（25-26八年级下·山西临汾·月考）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 【答案】5 【分析】先解方程得到，根据方程的解为正整数且方程不能有增根得到为正整数，且；求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集情况求出a的取值范围，再结合为正整数求出a的值即可． 【详解】解：解方程 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的分式方程的解为正整数，且要满足，即， ∴为正整数，且，即 解不等式， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴或 ∴或（舍去）． 7．（25-26八年级下·山西临汾·月考）当________时，分式与分式互为相反数． 【答案】8 【分析】本题考查解分式方程，根据互为相反数的两个数和为列出方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：由题意，分式与互为相反数，故它们的和为零， 即， 由于，所以， 代入方程得， 即， 解得， 经检验，当时，分母，符合题意． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 【答案】(1)② (2)和 (3)4 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【详解】（1）解：对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． （2）解：∵， ， ∴“和谐分式”有：和． （3）解：∵为“和谐分式”， 不能因式分解， ∴能够因式分解， ∵a为正整数，能够因式分解， ∴或． ∵分式不可约分， 又∵当时，分母为，分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当时，分母为，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴． 9．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 【答案】(1) ； ； ； ； (2) 的解为； 的解为； (3)第个（为正整数）方程为解为，解方程见解析． 【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可； （）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可； （）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； （3）解：根据上述规律得第个（为正整数）方程为 ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 10．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)①，② (2)这种草莓的单价为元 (3)奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时花费最少，最少费用是元 【分析】（1）根据分式方程并结合题意分析，即可求解； （2）根据分式方程的解法求解即可； （3）设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为，先列出不等式求出的取值范围，再列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量， 故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解， 这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少费用是元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题5.6 挑战压轴题『第五章 分式与分式方程』 〔23个题型讲练+能力提升练 共56题〕 【北师大版八下●新教材】 2 题型一 分式的规律性问题 2 题型二 分式的求值 2 题型三 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 2 题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值 3 题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 4 题型六 将分式的分子分母各项系数化为整数 4 题型七 最简分式 5 题型八 分式乘除混合运算 5 题型九 含乘方的分式乘除混合运算 6 题型十 异分母分式加减法 6 题型十一 整式与分式相加减 7 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 7 题型十三 分式加减混合运算 8 题型十四 分式加减的实际应用 8 题型十五 分式加减乘除混合运算 9 题型十六 分式化简求值 10 题型十七 分式最值 10 题型十八 分式方程无解问题 12 题型十九 分式方程的行程问题 12 题型二十 分式方程的工程问题 12 题型二十一 分式方程的经济问题 13 题型二十二 分式方程和差倍分问题 14 题型二十三 分式方程的其它实际问题 15 能力提升训练 16 题型一 分式的规律性问题 【典例分析】（25-26八年级下·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【变式训练】（23-24八年级下·山东东营·月考）若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 题型二 分式的求值 【典例分析】（25-26八年级下·广东江门·月考）已知，求分式的值． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·月考）若，则＝________． 题型三 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（25-26八年级下·全国·单元复习）当为何值时，分式的值为正数． 【变式训练】（24-25八年级下·北京昌平·期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（24-25八年级下·福建厦门·期末）一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 题型五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（24-25八年级下·全国·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南京·期中）若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 题型六 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 题型七 最简分式 【典例分析】（24-25八年级下·北京·单元复习）下列分式中最简分式是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江·单元测试）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） 题型八 分式乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，．求的值． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 题型九 含乘方的分式乘除混合运算 【典例分析】（24-25八年级下·福建泉州·月考）计算 (1) (2) 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 题型十 异分母分式加减法 【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知单项式串：，，，，，其中，，，，n均为正整数，且．规定：，，，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以．（   ） A．当n＝2时，满足条件的所有整式的和为 B．当n＝3时，的值有10种不同的可能 C．若为整数，则满足条件的所有整数x之和为 D．以上说法都不对 题型十一 整式与分式相加减 【典例分析】（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【变式训练】（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 题型十三 分式加减混合运算 【典例分析】（23-24八年级下·浙江金华·月考）当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ___________________． 【变式训练】（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 题型十四 分式加减的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 题型十五 分式加减乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 【变式训练】（25-26八年级下·甘肃甘南·期末）先化简，再求值：，其中． 题型十六 分式化简求值 【典例分析】（2026·湖南·一模）先化简，再求值： ，其中满足． 【变式训练】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）先化简，再求值：，其中． 题型十七 分式最值 【典例分析】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）【问题情境】 用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立． 【类比应用】 利用上面所得到的结论完成填空： （1）当时，代数式的最小值为__________． （2）当时，代数式有最小值为________． （3）如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积． 【拓展应用】 （4）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数） （5）若正数a，b满足则的最小值为_______． 【变式训练】（25-26八年级下·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 题型十八 分式方程无解问题 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为___________． 【变式训练】（25-26八年级下·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 题型十九 分式方程的行程问题 【典例分析】（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）学校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为千米/时，则根据题意所列的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 题型二十 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（    ） A．表示模型A处理400GB数据的时间 B．表示模型B每小时能处理多少GB数据 C．表示模型B处理数据的时间 D．表示模型A每小时能处理多少数据 【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 题型二十一 分式方程的经济问题 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·开学考试）某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 【变式训练】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵35元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ (2)如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 题型二十二 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（2025·广东东莞·二模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【变式训练】（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 题型二十三 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【变式训练】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 1．（2024八年级下·湖北黄石·竞赛）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 6．（25-26八年级下·山西临汾·月考）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 7．（25-26八年级下·山西临汾·月考）当________时，分式与分式互为相反数． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 9．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 10．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $