精品解析：2026年河南南阳市油田九年级下学期中招第一次模拟考试试卷数学

2026年南阳油田中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 泗县某中学组织了“古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，7分，9分，则该班的最终得分为________分． 13. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 14. 如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，，，，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式； （2）延长交轴于点，求的面积． 19. 如图1，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 20. 综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台．某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1．活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2．测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图． 1．测出测角仪的高为． 2．利用测角仪测出钻井平台顶端的仰角． 3．测出测角仪底端处到钻井平台底端处之间的距离为． 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． （1）任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） （2）任务三换算模型高度：将该钻井平台的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为__________．（结果精确到） 21. 某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． （1）求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； （2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ （3）在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 23. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年南阳油田中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 9. 如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点， ∴， ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴矩形的面积为， 故选：C 10. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法正确，符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法错误，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 泗县某中学组织了“古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，7分，9分，则该班的最终得分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键． 根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分为（分）． 所以该班的最终得分为分． 故答案为：． 13. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】分别求出前几个图中圆点的个数，并得出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图中有个圆点； 第②个图中有个圆点； 第③个图中有个圆点； 第④个图中有个圆点； 第⑤个图中有个圆点； 第⑥个图中有个圆点． 14. 如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，，，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得，继而可得，再分两种情况讨论，即或，利用相似三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】解：由翻折变换的性质，得， ， ， ， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①时，，解得， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 【答案】（1） （2）520人 （3） 众数为3分，实际意义为：所有的成绩中，出现最多的是3分，试卷的难度中等； 中位数为4分，实际意义为：有一半的成绩在4分以下，试卷有一定的难度． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，求扇形圆心角的度数，解题关键是能从统计图获取有用信息求解． （1）用3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值；用5分的人数除以100再乘以360度即可求5分对应的扇形的圆心角； （2）用成绩超过3分的学生人数的百分比乘以1000即可； （3）分别根据众数、中位数的意义进行作答即可． 【小问1详解】 解：m的值为：， 扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数约为520人； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式； （2）延长交轴于点，求的面积． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合中点坐标公式可得，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ∴点； 为的中点， ； ∵反比例函数的图象过点， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象交于点， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ． 19. 如图1，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1） 证明：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①30°；② （3）作图如下： 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 20. 综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台．某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1．活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2．测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图． 1．测出测角仪的高为． 2．利用测角仪测出钻井平台顶端的仰角． 3．测出测角仪底端处到钻井平台底端处之间的距离为． 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． （1）任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） （2）任务三换算模型高度：将该钻井平台的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为__________．（结果精确到） 【答案】（1）解：由题意得为矩形， ，， 在中， ， ， 答：该钻井平台的高度为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，解直角三角形求得，即可解答； （2）利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设3D打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：； 答：3D打印模型的高度约为19cm． 21. 某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． （1）求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； （2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ （3）在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）至少购进种礼品盒盒； （3）购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； 【小问2详解】 设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； 【小问3详解】 设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 22. 河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）能安全通过，理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴能安全通过． 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； 求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 23. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立； （3）​或 【解析】 【分析】（1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，，第二种是垂足在线段的延长线上时，，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． 【小问1详解】 解：①如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ②∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：已知​，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论​，得：​； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为​或． 【点睛】旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $