高一数学下学期期末模拟试卷（北师大版必修第二册：三角函数+平面向量及其应用+三角恒等变换+复数+立体几何初步）

**基本信息** 高一下学期期末模拟数学试卷，以三角函数、立体几何、向量、复数为核心，通过球形体育馆内接体等情境题，考查空间观念与模型意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|角度换算、线面关系、复数模、向量投影|线面角与线线关系判断（第2题）考查推理能力| |填空题|3题/15分|三角函数定义、正四棱台体积、八面体轨迹|八面体轨迹问题（第14题）发展空间观念| |解答题|5题/77分|复数运算、向量垂直证明、立体几何（体积/线面角）|球形体育馆内接体（第19题）体现模型意识，综合应用几何知识|

高一下学期期末模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．1 D． 5．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ） A． B．z的虚部为 C．为纯虚数 D． 10．在中，已知，下列结论正确是（    ） A．； B． C．一定是钝角三角形； D．若，则的面积是． 11．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角终边上一点，则______． 13．已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为_______． 14．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为_____． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 16．设在平面上有两个向量与不共线. (1)求证：向量与垂直； (2)当向量与的模相等时，求的大小. 17．计算下列各值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 18．如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 19．如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间.   (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面， 显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立； 由线面角的定义可知：若“”，则“直线，与平面所成的角相等”成立； 即“直线，与平面所成的角相等”是“”的必要不充分条件，故选：B 3．已知复数，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意有：，所以， 所以，故选：B. 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】.故选：B 5．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 6．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，向量，的夹角为，得，又已知为单位向量， 则在上的投影向量是.故选：D. 7．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ，. 故选：D． 8．若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则且，所以在上没有最小值， 若，可得，若且，可得，，所以，综上，.故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ） A． B．z的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】BC 【详解】，所以，z的虚部为，为纯虚数，，A、D错误，B、C正确. 10．在中，已知，下列结论正确是（    ） A．； B． C．一定是钝角三角形； D．若，则的面积是． 【答案】AC 【详解】由已知可设，则，，，A正确；又，， 为钝角三角形，故B不正确；C正确；若，则，又，故D不正确．故选：AC. 11．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为1 【答案】BC 【详解】结合题意：，即.对于选项A: 由可得，所以,故选项A错误；对于选项B:将代入得：，所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B正确；对于选项C:对于，令，则，因为，所以，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D: 对于，当，即,，故选项D错误.故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角终边上一点，则______． 【答案】 【详解】因为点为角终边上一点，所以， 所以.故答案为：. 13．已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为_______． 【答案】 【详解】如图所示，连接，，取他们中点分别为，.连接，过作于．根据题意可求得，.则，则.则. 故答案为：. 14．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【详解】以为直径作球，球半径，与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线. 易知在平面上的投影为菱形的外心，且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心，记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径，即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧，由题意可知，如图所示，设该圆弧交于点，所以四点共圆，而，所以，所以三点共线，即也是半径为的圆的直径，故所求为. 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 【详解】（1）设，， ； （2）原式． 16．设在平面上有两个向量与不共线. (1)求证：向量与垂直； (2)当向量与的模相等时，求的大小. 【详解】（1）由已知得， 则因， 故与垂直. （2）依题意，， 两边平方得， 即， 因故得.即， 整理得，，因，则， 故得或，解得或. 17．计算下列各值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【详解】（1）因则. 又，则，. 则； （2）由题. 18．如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 【详解】（1）连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 因为点在棱上，平面， 平面，且平面平面，所以，所以为的中点. （2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离， 因为，，，，，所以， ， 所以为等边三角形，为直角三角形， 所以，， 又因为,即，即，所以， 所以直线与平面BDM所成角的正弦值为 （3）连接，，, 因为为等边三角形，所以，， 又因为，，所以为等腰三角形， 所以，， 又因为，面，所以面， 又因为面，所以， 又因为，，， 所以，即， 又因为，面，所以面， 求点到平面BDM的距离为. 19．如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间.   (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 【详解】（1）设球的半径为，因为内接体正四棱锥的高 正四棱锥底面正方形的对角线长为，则底面正方形边长为 根据正四棱锥体积公式,解得 则这个球的表面积为 （2）已知球的半径为，对于内接正三棱柱，设正三角形边长为，正三棱柱的高为， 球心到底面正三角形的距离为，在正三角形的高为， 正三棱柱底面正三角形外接圆半径为， 根据勾股定理可得，化简得 所以正三棱柱的体积为 求体积最大值，令 那么，求导可得， 令，解得， 当时，，此时正三棱柱体积最大，因为， 最大体积为：. 因为有效利用空间为半球的内接正三棱锥，故该游泳馆的有效利用空间为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $