精品解析：山东省青岛实验初级中学等校2025——2026学年度第二学期质量检测 九年级 数学试卷

2025——2026学年度第二学期质量检测 九年级 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 说明：所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、单项选择题（本大题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用有理数大小比较法则即可求解，根据有理数大小比较法则：正数大于一切负数，两个负数相比较绝对值大的反而小． 【详解】解：，，且 ， ，整理得 ， 因此最小的数是． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A. 航天神舟 B. 中国行星探测 C. 中国火箭 D. 中国探月 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 3. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看的得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：D． 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断，，的符号和绝对值的大小，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，，． 6. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题意画出，结合网格写出坐标即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 8. 崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，设 ，则 ，容易证明，则，求得，则， ，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设 ，则 ， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 二、填空题（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负指数幂，二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，负指数幂的计算得到结果，再根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 【答案】 乙 【解析】 【详解】解：由统计图可知，乙运动员的成绩更加集中， ∴乙运动员的方差小于甲运动员的方差，即乙运动员的成绩更加稳定， ∴应该选乙运动员参加比赛． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 【答案】k≤4且k≠1 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义知：，由一元二次方程有实数根知： ，从而通过解不等式组得到答案． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实数根 所以 由得 ，解 得 所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的逆定理，熟练掌握逆定理是关键，防止学生考虑问题不全面． 13. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 14. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，由是中点可得，根据轴对称的性质可得，，，，由此可判断①；利用勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出的长，由此可判断②；设，利用互余关系和对称性表示出和，由此可判断③；证明 ，利用相似比和面积法求出的长，进而求出的长，由此可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ，，， 是中点，  ，  是关于的对称点，  ，  ，，，，故①正确； 在中，， ∵，  ， ，  ，  ，  ， ∴，故②正确； 设，则， 在中， ，  ，  ，  ，故③正确； 连接交于点，如图， ，，，，  ，，  ，  又，  ，  ， ∴， ，关于对称，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 尺规作图 已知：如图，． 求作：点P，使P在的中线上，且到，两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图作垂直平分线和角平分线，先作的中线，再作的角平分线，最后找交点即可． 【详解】解：先作的中线，作的垂直平分线找到中点，连接得到中线，再作的角平分线：因为到、两边距离相等的点在的角平分线上，所以两条线的交点即为所求点． 所以点即为所求作的点． 17. 计算： （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式的混合运算，解题关键是分别求出不等式组中各不等式的解集并取交集，同时熟练运用分式通分、因式分解和约分法则化简分式． （1）分别解出两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集； （2）先对括号内的分式进行通分、合并，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分得到最简结果． 【小问1详解】 解：解不等式①得 解不等式②得 将不等式①②的解集在数轴上表示如图： 不等式解集为 【小问2详解】 原式 18. 某市共开发了5条“五一”旅游专线，分别编号为1～5号线．小雨一家计划利用两天时间参观其中两条线路：第一天从5条线路中随机选择一条，第二天从余下的4条线路中再随机选择一条，且每条线路被选中的机会均等． （1）第一天，1号路线没有被选中的概率是　 　； （2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号路线被选中的概率． 【答案】（1）；（2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）第一天，1号路线没有被选中的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 4 5 1 （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） （5，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） （5，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （5，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） 由表知，共有20种等可能结果，其中两天中4号路线被选中的有8种结果， 所以两天中4号路线被选中的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n ，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 19. 为保护学生视力，国家教育部对教室课桌摆放有明确规定：第一排课桌前沿到黑板的水平距离不得少于米，课桌到侧墙的距离不得少于米．如图，某教室俯视为矩形，其中长米，宽米，第一排课桌到黑板的水平距离为米．墙面上的窗户到点的距离米．某日清晨，阳光经窗户射入教室，光线与黑板所在直线相交于点，测得．受阳光反射眩光影响，第一排同学无法看清黑板，现要将第一排课桌需整体向后平移，使其避开光线反射区域，同时满足教育部规定的最小距离要求．求第一排课桌至少需要向后平移多少米？（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】首先利用求出，然后在中求出，继而求解． 【详解】解：在中，， ， ∴ （米）． 在中， （米）， 第一排课桌至少需要向后平移 （米）． 20. 近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 B 88 c 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中_________， _________， _________． （2）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）15，， 98 （2）66人 【解析】 【分析】（1）先求出满意所占百分比，再求出比较满意所占百分比即可，利用中位数和众数的定义求解； （2）根据样本频数估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：满意所占百分比为， ∴比较满意所占百分比为， ∴； A款中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，第10个数据为88，第11个数据为89， ∴； B款数据中出现次数最多的是98， ∴众数； 【小问2详解】 解：A款不满意的人数为（人）， B款不满意的人数为（人）， （人）， ∴此次测验中对聊天机器人不满意的共有66人． 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入解得，则，代入反比例函数计算即可； （2）先求出，，得到，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得 解得：， ∴， 代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象交轴于点，一次函数的图象交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， 解得或． 22. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当是矩形时，四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，，由中点得到，即可证明； （2）由，得到，结合得到，即可证明四边形是平行四边形，再添加，得到四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当是矩形时，四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 23. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 【答案】（1）甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元 （2） （3） ，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润 万元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两款机器人制造成本分别为元、元，根据“制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元”列方程组求解即可； （2）由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台，在，的基础上求总销量与之间的关系； （3）先根据题意得到，甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台，再根据总利润 求出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元， 由题意得， 解得， ∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元； 【小问2详解】 解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台， ∴两种型号机器人的总销售量； 【小问3详解】 解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍， ∴，解得， 甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台， ∴总利润 ， ∴对称轴为 ， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，，有最大值，最大值 万元． 24. 问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． （1）探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． （2）探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． （3）拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】（1）①；② （2） （3），是的重心 【解析】 【分析】（1）①先证四边形是平行四边形，再证，即可得解； ②证明，可得，同理可得，再用的面积减去这两个面积即可得解； （2）连接，连接并延长交于点D，记的交点为K，，证明M，O，F共线，E，O，H共线，，，，设，则，可得，再进一步求解即可． （3）利用（2）中的式子求最值即可，求出，可得O是的重心． 【小问1详解】 解：①由中心对称的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②同理①可得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 【小问2详解】 解：如图（4），连接，连接并延长交于点D，记的交点为K， ∵与关于O成中心对称，“平行六边形”， ∴M，O，F共线，E，O，H共线，， ∴ , ∵ ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴， ∴平行六边形的面积 ； 【小问3详解】 解： 同理： ， ∴， ∴的最小值为：， 此时 ， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为：； ∴， ∴； 同理： ， ∴， ∴， ∴O是的重心． 25. 如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿C→B→A运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． （1）t为何值时，？ （2）设由A、E、F、P四点围成的多边形面积为S，用t表示S，并求出S的最大值； （3）在整个运动过程中，和任意一边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）当时，； 当时，． 当时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质、相似三角形判定与性质、动态几何中的面积最值问题以及分类讨论思想，解题关键是根据点和图形的运动分段分析，利用相似、面积公式与二次函数性质求解，并对与边垂直的情况进行分类讨论． （1）根据，判定，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． （2）根据点的运动路径（、）分两段，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，分别用含的式子表示面积，再结合二次函数的开口方向与对称轴求最大值． （3）分、、三种情况，结合相似三角形或等腰直角三角形的性质列方程，直接求解的值． 【小问1详解】 解：由题意得：，； ， ，即 【小问2详解】 作 ，． ①当点在上运动时，； 开口向上，对称轴为 ； 时，取最大值，为 ②当点在上运动时，； 开口向下，对称轴为 ； 时，取最大值，为 综上所述，的最大值为． 【小问3详解】 ①过点作 ，过点作，如图 时，， ② 时，， ． ③过点作 ，如图 时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第二学期质量检测 九年级 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 说明：所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、单项选择题（本大题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A. 航天神舟 B. 中国行星探测 C. 中国火箭 D. 中国探月 3. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算：______． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 13. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 14. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 尺规作图 已知：如图，． 求作：点P，使P在的中线上，且到，两边的距离相等． 17. 计算： （1）解不等式组：； （2）化简：． 18. 某市共开发了5条“五一”旅游专线，分别编号为1～5号线．小雨一家计划利用两天时间参观其中两条线路：第一天从5条线路中随机选择一条，第二天从余下的4条线路中再随机选择一条，且每条线路被选中的机会均等． （1）第一天，1号路线没有被选中的概率是　 　； （2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号路线被选中的概率． 19. 为保护学生视力，国家教育部对教室课桌摆放有明确规定：第一排课桌前沿到黑板的水平距离不得少于米，课桌到侧墙的距离不得少于米．如图，某教室俯视为矩形，其中长米，宽米，第一排课桌到黑板的水平距离为米．墙面上的窗户到点的距离米．某日清晨，阳光经窗户射入教室，光线与黑板所在直线相交于点，测得．受阳光反射眩光影响，第一排同学无法看清黑板，现要将第一排课桌需整体向后平移，使其避开光线反射区域，同时满足教育部规定的最小距离要求．求第一排课桌至少需要向后平移多少米？（参考数据：，，） 20. 近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 B 88 c 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中_________， _________， _________． （2）在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，有240人对B款聊天机器人进行评分．估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人． 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 22. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 23. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 24. 问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． （1）探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． （2）探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． （3）拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 25. 如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿C→B→A运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． （1）t为何值时，？ （2）设由A、E、F、P四点围成的多边形面积为S，用t表示S，并求出S的最大值； （3）在整个运动过程中，和任意一边垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $