精品解析：吉林省长春市博硕学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

数学学科 2025-2026学年第二学期八年级期中检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：， 解得． 2. 在平面直角坐标系中，点（﹣2，4）所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可． 【详解】∵点（-2，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在平面直角坐标系的第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 3. 华为 系列智能机搭载着麒麟9000，制程芯片，集成了153亿个集成电路．，那么用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴用科学记数法表示为． 4. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵、的中点分别为D、E， ∴是的中位线， ∴（米）， 故选：D． 5. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而可得，根据现有条件无法得到和的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到和的面积相等， 故选：D． 6. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解． 【详解】根据题图可得， 当或时，． 故选：C． 7. 如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，，则边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，在根据勾股定理求出． 【详解】，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 8. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键． 过点作轴于点E，将平行四边形面积转化为矩形面积，再得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点E， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为矩形面积为6， 即， ∴设点坐标为， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质以及勾股定理，连接，交于点O，根据菱形的性质在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形 ∴ ∴在中，， ∴ ∴ 故答案为：10． 12. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可知，在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值为， 则不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系，理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 13. 如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，过点F作于M，可证明，则由勾股定理的逆定理可得，由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，求出，得到；同理可证明，得到，再证明，得到四边形是平行四边形，则． 【详解】解；如图所示，过点F作于M， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论： ①； ②； ③的面积是矩形面积的； ④； ⑤ 其中正确的有___________． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，再根据即可对该结论进行判断； ②根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可； ③根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求解即可； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，再利用等腰直角三角形的性质求解即可； ⑤根据 “AAS”证明和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是矩形， ∴， 的平分线交于点E， ， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④∵于点H， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论④不正确， ⑤∵于点H，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 17. 化简求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 【答案】甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【解析】 【分析】设乙每小时输x个数据，根据题意列出分式方程，求解并检验，然后用各自的数据除以60即可得出答案． 【详解】解：设乙每小时输x个数据，根据题意得： ， 解得x＝660， 经检验x＝660是原方程的解． ∴甲每小时输1320个数据． 1320÷60＝22（个）， 660÷60＝11（个）． 答：甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 19. 已知：如图，在中，．求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点A为圆心，的长为半径画弧；再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，由三线合一得，进而可证平行四边形是矩形． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 证明：由作图可知， ∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 20. 如图，在中，平分交于点E，若，求的周长． 【答案】32 【解析】 【分析】先证明，进而求出的长，再根据周长公式进行计算即可. 【详解】解：在中，平分交于点E，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 . 21. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形． （2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可． 【小问1详解】 如图， ， ， 即为所求； 【小问2详解】 如图，A点为的中点，B点为的中点， ∴是的中位线， ∴即为所求． 22. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． （1）甲仓库每分钟揽收_________件快递； （2）求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； （3）从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 【答案】（1）6 （2） （3）从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，求出与的解析式是解题的关键． （1）由图得60分钟收了360件，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）设与的交点为，将与的解析式联立，求出交点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：甲仓库每分钟揽收快递：（件）， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：设线段的表达式为． 由已知，，代入函数表达式得：， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设表达式为．由已知，． ∴． 解得：． ∴表达式为． 设与的交点为， 则， 解得． 答：从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同． 23. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作 的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ （3）如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵过点C、M分别作 的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴. （2）； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使 ，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 证明：略. 【小问2详解】 解：∵在等边中，， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵ ， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； 【小问3详解】 解：过点作，交于点，延长至点，使 ，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，， ， ，， ∴四边形 是平行四边形，垂直平分， ∴，， ， ∴ ， ， ∴当 三点共线时，的值最小为的长， 在 中， ， ∴ ， ∴的最小值为. 24. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 【答案】（）；（）；（）；（），． 【解析】 【分析】（）作轴于，根据得出，，进而得出结果； （）作轴于，根据（）知：，设的解析式为，将，两点坐标代入，进一步得出结果； （）作于，可证得, 从而得出； （）当，时，作轴，延长，交于，设，根据，得出，进而根据由，得方程，进一步得出结果；同样方法得出当，时的情形，当时，求得的值不能满足在上； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（）如图，作轴于， 由［模型建立］得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图， 作轴于， 由得，当时，；当时，； ∴，， 由（）知：， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； （）如图， 作于， ∴， 由得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； （）如图， 当，时， 作轴，延长，交于， 设， ∴，，， 由［模型建立］得， ∴， ∴， 由得，， ∴， ∴点横坐标为：， 如图， 当，时， 作于，作，交的延长线于， 设，则，， 由上可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴点横坐标为: ； 如图， 当时， 作，交的延长线于，设， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 此时点不在线段上， ∴舍去， 综上所述：点的横坐标为：或； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 2025-2026学年第二学期八年级期中检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点（﹣2，4）所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 华为 系列智能机搭载着麒麟9000，制程芯片，集成了153亿个集成电路．，那么用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 5. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，，则边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 10. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 11. 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为________． 12. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 13. 如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是________． 14. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论： ①； ②； ③的面积是矩形面积的； ④； ⑤ 其中正确的有___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 化简求值：，其中． 18. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 19. 已知：如图，在中，．求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点A为圆心，的长为半径画弧；再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形． 20. 如图，在中，平分交于点E，若，求的周长． 21. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 22. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． （1）甲仓库每分钟揽收_________件快递； （2）求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； （3）从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 23. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作 的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ （3）如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 24. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $