精品解析：广西南宁市天桃实验学校等校2026年中考二模考试数学试题

2026年春季学期九年级五月单元作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列4个数：0、1、π、，其中最小的数是（ ） A. B. 0 C. π D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 正数大于0，0大于负数，在、、、这四个数中，和是正数，都大于，只有是负数， ∴ ， 因此最小的数是． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了点线面体，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解：A、绕轴旋转一周，可得到圆台，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到圆锥，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 如图，将数轴上的解集用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】向右表示大于，空心表示不含边界点． 【详解】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为， 故选：A． 4. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A错误； ∵与次数不同，不是同类项，不能合并 ∴B错误； ∵根据完全平方公式， ∴C错误； ∵根据积的乘方法则， ∴D正确． 6. 正五边形的每个外角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：五边形的外角和为360°，则每个外角的度数为． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误，不符合题意； D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及他们之间的联系和区别． 8. 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 9. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出，再根据外角的性质求出，然后根据两直线平行，内错角相等得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 11. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 12. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最深，水深为 B. 当时，的值是2或4 C. 3时到8时，海水水位一直在下降 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象的实际应用，通过观察图象获取水深随时间变化的信息，结合题意及安全规定进行判断即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，该港口水深最深，但纵坐标明显高于7，即， 故A错误； 当时，对应的值为1或5， 故B错误； 从到，图象呈下降趋势，即水深随时间增加而减小，  则从3时到8时，海水水位一直在下降， 故C正确； 由信息窗②可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能小于，  则该船进出港口要求水深， 由图象可知，当时，，且当时，随的增大而减小，  则当时，，此时不可以进出该港口， 故D错误． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 4 7 19 10 6 2 根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【详解】解：观察数据可得：23.5出现的次数最多，出现了次， ∴众数是23.5． 故答案为：23.5． 15. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，母线． ． 圆锥的侧面积为． 16. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识． 在中，利用，即可求出，再证明，即可求解． 【详解】解：根据翻折有：，， 即：， 在矩形中，有，，， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解答下列各题： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 或， 解得． 18. 如图，在中，点、分别在、上，，． （1）求证：； （2）连接，若平分，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明即可； （2）根据全等的性质可得，，，再证明，接着再在、中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴； 【小问2详解】 如图： ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在 中，， ∴． 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，，．经过，两点的直线的表达式为． （1）求的值和点的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先确定A点的坐标以及C点纵坐标，即可求双曲线解析式，再代入C点纵坐标，问题得解； （2）根据，，即可求解； （3）关于的不等式的解集在坐标系中的含义为：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，自变量的取值范围，数形结合即可作答． 【小问1详解】 解：∵点和的刻度分别为和， ∴， ∵，，直尺平行于轴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵，点在双曲线上， ∴，解：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接 根据题意可知：四边形是梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：关于的不等式的解集在坐标系中的含义为：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，自变量的取值范围， ∵，，且， ∴结合图象有：解集为：或． 20. 广西“三月三”期间，某校举办“非遗文化体验”活动，设置了两款抽奖转盘：甲盘是方形壮锦纹样转盘，被分成4等份，分别标注了4种广西特色手工艺品（A：壮锦、B：铜鼓、C：绣球、D：坭兴陶）；乙盘是三角形花山岩画纹样转盘，被分成3等份，分别标注了3种三月三特色活动（P：对歌、Q：抛绣球、R：跳竹竿舞）．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求解概率． （1）利用简单概率公式直接计算即可； （2）利用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：指针落在A区域的概率为：； 【小问2详解】 树状图如下： 即总的情况有12种，甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况有2种， 即所求概率为：． 21. 广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： （1）方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． （2）请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【答案】（1），， （2）图形见详解，评价准确，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识． （1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 如图， 根据题意有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为： ， 即：包装盒的表面积为： ， 由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等， ∵包装盒底面积为， ∴ ， 整理：， 解得：，（时，，明显不符合题意舍去）， 即：； 【小问2详解】 图形如下： 根据上图有：包装盒的长度为： ， 包装盒的宽度为： ， 根据图形有：此时包装盒的表面积为： ， ∵包装盒底面积为， ∴ ， 整理：， 解得：，（，明显不符合题意舍去）， 即：； 方案1：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 方案2：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的 “长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 即“方案2表面积更小”的评价准确． 22. 【阅读材料】在平面内，取一个定点和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点，若点在射线上，且满足，则称点为点关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点在边上，且，则点是点关于线段的等角对应点． 【基础理解】 （1）如图1，在中，，，点是点关于线段的等角对应点，则线段的长为 ． 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点关于线段的等角对应点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求线段的长． 【拓展延伸】 （4）如图3，已知的半径为，点为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】（1） （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）利用作一个角等于已知角的作图方法作答即可； （3）利用勾股定理求出，根据点是点关于线段的等角对应点，利用角度关系证明，再利用三角形的面积即可求解； （4）根据为的直径，可得，再根据点为点关于线段的等角对应点，有，即有，可判断出点Q在与相切于点C的直线上运动，问题随之得解；当点P与点C重合时，点Q也与点C重合，即点Q的起点也为点C；当点从点运动到弧中点时， 是等腰直角三角形，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点是点关于线段的等角对应点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：作图如下，点D即为所作； 作法：以点B为圆心、合适长度为半径画弧，交、于点E、F，再以C为圆心、长为半径画弧，交于点G，紧接着，再以G点为圆心，长为半径画弧，此弧与圆心为C的那段圆弧交于点H，连接并延长交于点D． 证明：连接，，根据作图中的线段等量关系，即可证明，则有，即满足， 根据题中定义，点关于线段的等角对应点为点． 【小问3详解】 解：∵点关于线段的等角对应点为点， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问4详解】 解：点Q的运动路径是直线，理由如下： 如图， ∵为的直径，的半径为， ∴，， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴， ∴， ∴直径，即与相切于点C， 即：点Q在与相切于点C的直线上运动， ∴点Q的运动路径是直线； 当点P与点C重合时，点Q也与点C重合，即点Q的起点也为点C； 当点从点运动到弧中点时，此时， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 23. 已知二次函数（为常数）的图象过点． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标． （2）已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】（1）， （2）①点坐标为，② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和时，求解． 【小问1详解】 解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时， ， 当时，取得最大值3， ， 又 ， 与同时取得最大值． 点坐标为． ②情况一：当时， ， 当时，取得最小值为 ． ， 当时，取得最大值为 ． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为 ， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期九年级五月单元作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列4个数：0、1、π、，其中最小的数是（ ） A. B. 0 C. π D. 1 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将数轴上的解集用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 4. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 正五边形的每个外角等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 8. 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 9. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 10. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最深，水深为 B. 当时，的值是2或4 C. 3时到8时，海水水位一直在下降 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的立方根是__________． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 4 7 19 10 6 2 根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是____________． 15. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 16. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解答下列各题： （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在中，点、分别在、上，，． （1）求证：； （2）连接，若平分，，，求的长． 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，，．经过，两点的直线的表达式为． （1）求的值和点的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 20. 广西“三月三”期间，某校举办“非遗文化体验”活动，设置了两款抽奖转盘：甲盘是方形壮锦纹样转盘，被分成4等份，分别标注了4种广西特色手工艺品（A：壮锦、B：铜鼓、C：绣球、D：坭兴陶）；乙盘是三角形花山岩画纹样转盘，被分成3等份，分别标注了3种三月三特色活动（P：对歌、Q：抛绣球、R：跳竹竿舞）．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 21. 广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： （1）方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． （2）请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 22. 【阅读材料】在平面内，取一个定点和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点，若点在射线上，且满足，则称点为点关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点在边上，且，则点是点关于线段的等角对应点． 【基础理解】 （1）如图1，在中，，，点是点关于线段的等角对应点，则线段的长为 ． 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点关于线段的等角对应点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求线段的长． 【拓展延伸】 （4）如图3，已知的半径为，点为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 23. 已知二次函数（为常数）的图象过点． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标． （2）已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $