专题04 立体几何初步（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题04 立体几何初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01空间几何体的结构特征 题型02斜二测画法及其计算 题型03几何体展开图的最短路径问题 题型04简单几何体的表面积与体积 题型05共点、共线、共面问题证明 题型06线面位置关系的命题判断 题型07空间平行垂直关系的证明 题型08异面直线所成角的求解 题型10直线与平面所成角的求解 题型10平面与平面所成角的求解 题型11空间距离的求解 题型12几何体的外接球与内切球 题型13几何体中的动点探索问题 题型14空间几何体中的截面问题 题型15空间几何体翻折问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 基本立体图形 1、能准确识别各类空间几何体的结构特征，区分易混淆几何体； 2、能根据结构特征判断几何体的类型，描述几何体的构成要素； 3、能利用结构特征解决简单的几何体识别、分类问题 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆棱台与棱锥的结构特征（忽略“棱台两底面平行且对应边成比例”）、误将圆台的母线当作高 立体图形的直观图 1、掌握斜二测画法的核心规则，能运用斜二测画法画出简单立体图形的直观图； 2、能根据直观图，还原立体图形的原始形状及尺寸关系； 3、能区分直观图与原图形的形状、大小差异，准确判断直观图对应的原图形特征 基础必考点，贴合新课标及课本要求，多以小题形式考查，难度较低； 易错点：斜二测画法应用失误（忽略“平行于y轴的线段长度变为原来的一半”）、混淆直观图与原图形的面积比例关系、画直观图时忽略几何体的结构特征 简单几何体的表面积与体积 1、熟记各类空间几何体的表面积、体积公式，能准确区分侧面积与表面积； 2、能结合几何体的结构特征，代入公式计算表面积、体积（含组合体）； 3、能解决与表面积、体积相关的实际问题 高频考点，小题、大题均可能考查，小题侧重公式直接应用，大题多结合几何体组合、截面问题考查； 易错点：公式记忆混淆、计算组合体体积时漏算或多算部分几何体、忽略单位统一 空间点、线、面之间的位置关系 1、掌握课本中空间点、直线、平面之间的位置关系，能准确判断； 2、能结合课本图形，用规范的符号语言表示空间位置关系； 3、能区分异面直线与相交、平行直线，结合课本定义判断异面直线所成角的范围 基础必考点，贴合课本知识点考查，多以小题形式考查，侧重位置关系的判断与符号表示； 命题趋势：常结合课本中长方体、正方体模型，考查线线、线面位置关系； 易错点：误将异面直线当作相交直线，符号语言表示不规范，忽略课本中异面直线的定义 空间直线、平面的平行 1、熟记课本中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、能结合课本例题的证明思路，运用定理规范书写线面平行、面面平行的证明步骤； 3、能利用平行关系，解决课本习题中简单的线线平行推导问题 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（多作为证明题的一部分），小题也会考查判定定理的应用； 命题趋势：多结合课本中棱柱、长方体模型，考查定理的综合应用，常与线面垂直结合命题； 易错点：忽略课本中线面平行判定中“直线在平面外”的条件，性质定理应用不规范 空间直线、平面的垂直 1、熟记线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、运用定理规范书写线面垂直、面面垂直的证明步骤； 3、能利用垂直关系，解决线线垂直、线面垂直的推导问题，求简单的线面角 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（重点考查证明与计算），小题侧重判定与性质的简单应用； 命题趋势：是期中大题的核心考查内容，常结合表面积、体积计算综合考查，贴合课本习题难度，难度中等偏上； 易错点：遗漏课本中面面垂直判定“一个平面过另一个平面的垂线”的条件，线面角的定义理解错误 知识点01 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点02 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 1、4个基本事实 （1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】基本事实2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点04 空间直线、平面的平行 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点05 空间直线、平面的垂直 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 题型一 空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）：①棱柱：看 “两底面平行、侧棱平行且相等”；②棱锥：看“一个底面为多边形、侧面是有公共顶点的三角形”；③棱台：看“两底面平行、侧棱延长线交于一点” ． 2、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）：①圆柱：矩形绕一边旋转；②圆锥：直角三角形绕直角边旋转；③圆台：直角梯形绕垂直底边的腰旋转；④球：半圆绕直径旋转，核心看旋转轴和旋转图形． 3、易混淆辨析：对比棱柱与棱台、圆柱与圆台，重点看 “底面是否平行”“侧棱/母线是否平行” ． 【典例1】（24-25高一下·陕西西安·期末）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【变式1-1】（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（24-25高一下·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（    ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 题型二 斜二测画法及其计算 解｜题｜技｜巧 1、直观图绘制：针对三角形、矩形、平行四边形，按步骤建系、变长度、连线，确保角度和长度符合规则． 2、原图形还原：由直观图反向推导，平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度加倍，还原直角坐标系，计算原图形尺寸． 3、面积换算：原图形面积=直观图面积×2√2（期中高频考点，直接记换算关系，避免推导失误）． 【典例2】（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______. 【变式2-2】（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 题型三 几何体展开图的最短路径问题 解｜题｜技｜巧 1、核心思路：将立体侧面展开为平面图形，转化为“两点之间线段最短”求解． 2、关键步骤：①辨侧面类型（棱柱/圆锥），沿侧棱/母线展开；②确定两点在展开图中的对应位置；③连接两点，用勾股定理求线段长度（即最短路径）． 【典例3】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 【变式3-1】（24-25高一下·北京海淀·期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【变式3-2】（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 解｜题｜技｜巧 1、单一几何体：辨类型→找参数→套公式 先确定柱/锥/台/球，明确底面边长、半径、高、母线长（统一单位），区分侧面积与全面积，代入公式计算。 易错提醒：别把圆锥母线当高，台体别漏记上下底参数． 2、简单组合体：分割或补形 （1）分割法：拆成2-3个基本几何体，分别算表面积/体积，表面积扣掉重合面(避免重复)，体积直接相加。 （2）补形法：把不规则图形补成长方体/棱柱，用“整体减部分”快速计算． 【典例4】（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【变式4-2】（24-25高一下·陕西西安·期末）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm． 【变式4-3】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 题型五 共点、共线、共面问题证明 解｜题｜技｜巧 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【典例5】（24-25高一下·广西来宾·期中） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【变式5-1】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【变式5-2】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【变式5-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 题型六 线面位置关系的命题判断 解｜题｜技｜巧 1、命题陷阱：警惕“一条直线平行于平面内一条直线”就判定线面平行（忽略“直线在平面外”条件）； 2、反例应用：判断假命题时，优先用常见反例（如正方体中侧棱与侧面的位置关系），快速推翻命题； 3、定理应用：严格遵循课本判定定理，不遗漏核心条件（如线面垂直需 “两条相交直线”）． 【典例6】（24-25高一下·重庆·期末）（多选）若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式6-2】（24-25高一下·云南临沧·期末）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式6-3】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型七 空间平行垂直关系的证明 解｜题｜技｜巧 1、平行关系证明： （1）线面平行证明（必考）：方法1（中位线法）：找平面内与已知直线平行的中位线，证明线线平行，再结合“平面外一条直线平行于平面内一条直线”，判定线面平行；方法2（平行四边形法）：构造平行四边形，证明对边平行，进而推导线面平行． （2）面面平行证明（高频）：先证明一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面，再根据“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则两面平行”，完成证明． 2、垂直关系证明： （1）线面垂直证明（必考）：方法 1（判定定理法）：证明一条直线垂直于平面内两条相交直线，即可判定线面垂直；方法2（面面垂直性质法）：若两个平面垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面． （2）面面垂直证明（高频）：先证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，再根据 “一个平面过另一个平面的一条垂线，则两面垂直”，完成证明． （3）线线垂直证明（基础）：要么由线面垂直推导（线面垂直则线垂直于平面内所有直线），要么用勾股定理逆用、等腰三角形三线合一直接证明． 【典例7】（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式7-1】（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式7-2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面；(2). 【变式7-3】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 题型八 异面直线所成角的求解 解｜题｜技｜巧 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角． 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 【典例8】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·河北邢台·期末）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型九 直线与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解． 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 【典例9】（24-25高一下·天津和平·期末）在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为________；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为________. 【变式9-3】（24-25高一下·安徽滁州·期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 题型十 平面与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角 （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例10】（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【变式10-1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 【变式10-2】（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 【变式10-3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为___________. 题型十一 空间距离的求解 解｜题｜技｜巧 1、点到直线的距离（基础）：找过该点作直线的垂线，垂足与该点的线段长度；可构造直角三角形，用勾股定理直接计算（优先结合正方体、长方体模型）． 2、点到平面的距离（必考）：方法1（直接法）：过点作平面的垂线，求垂线段长度；方法2（等体积法，期中高频）：利用三棱锥体积不变，V=1/3×底面积×高，转化为求高（即点到平面的距离），简化运算． 3、线到平面的距离（高频）：前提是线面平行，转化为“直线上任意一点到平面的距离”，按点到平面的距离求解即可． 【典例11】（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式11-1】（24-25高一下·贵州黔南·阶段检测）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【变式11-3】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 题型十二 几何体的外接球与内切球 解｜题｜技｜巧 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径． 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的． 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解． 【典例12】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【变式12-1】（24-25高一下·海南·期末）已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 【变式12-2】（24-25高一下·浙江温州·期末）有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 【变式12-3】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 题型十三 几何体中的动点探索问题 解｜题｜技｜巧 1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么． ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么． 2、对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设． 【典例13】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【变式13-1】（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【变式13-2】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）几何体是从边长为2的正方体中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点在线段上．    (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)证明：存在点，使得平面，并求的值． 【变式13-3】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 题型十四 空间几何体中的截面问题 解｜题｜技｜巧 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 【典例14】（24-25高一下·安徽·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为__________. 【变式14-1】（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ） A． B．18 C． D．36 【变式14-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D．2 题型十五 空间几何体翻折问题综合 解｜题｜技｜巧 1、翻折后平行/垂直关系证明：优先利用翻折不变量（如相等线段、全等三角形），先证明线线平行/垂直，再推导线面、面面平行/垂直，重点关注翻折后交线的作用． 2、翻折后距离/角度计算：以不变量为突破口，构造直角三角形（如过点作垂线），或用等体积法求点到平面的距离；角度计算优先找翻折后不变的角，或通过余弦定理、勾股定理求解． 3、常见翻折模型（期中高频）：三角形翻折、四边形翻折（重点是矩形、等腰梯形翻折），聚焦翻折轴，明确翻折后各点、线、面的位置变化． 【典例15】（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【变式15-1】（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【变式15-2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【变式15-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（    ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 5．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，已知正四棱柱中，，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（改）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（    ）    A．和； B．和； C．和； D．和． 3．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01空间几何体的结构特征 题型02斜二测画法及其计算 题型03几何体展开图的最短路径问题 题型04简单几何体的表面积与体积 题型05共点、共线、共面问题证明 题型06线面位置关系的命题判断 题型07空间平行垂直关系的证明 题型08异面直线所成角的求解 题型10直线与平面所成角的求解 题型10平面与平面所成角的求解 题型11空间距离的求解 题型12几何体的外接球与内切球 题型13几何体中的动点探索问题 题型14空间几何体中的截面问题 题型15空间几何体翻折问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 基本立体图形 1、能准确识别各类空间几何体的结构特征，区分易混淆几何体； 2、能根据结构特征判断几何体的类型，描述几何体的构成要素； 3、能利用结构特征解决简单的几何体识别、分类问题 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆棱台与棱锥的结构特征（忽略“棱台两底面平行且对应边成比例”）、误将圆台的母线当作高 立体图形的直观图 1、掌握斜二测画法的核心规则，能运用斜二测画法画出简单立体图形的直观图； 2、能根据直观图，还原立体图形的原始形状及尺寸关系； 3、能区分直观图与原图形的形状、大小差异，准确判断直观图对应的原图形特征 基础必考点，贴合新课标及课本要求，多以小题形式考查，难度较低； 易错点：斜二测画法应用失误（忽略“平行于y轴的线段长度变为原来的一半”）、混淆直观图与原图形的面积比例关系、画直观图时忽略几何体的结构特征 简单几何体的表面积与体积 1、熟记各类空间几何体的表面积、体积公式，能准确区分侧面积与表面积； 2、能结合几何体的结构特征，代入公式计算表面积、体积（含组合体）； 3、能解决与表面积、体积相关的实际问题 高频考点，小题、大题均可能考查，小题侧重公式直接应用，大题多结合几何体组合、截面问题考查； 易错点：公式记忆混淆、计算组合体体积时漏算或多算部分几何体、忽略单位统一 空间点、线、面之间的位置关系 1、掌握课本中空间点、直线、平面之间的位置关系，能准确判断； 2、能结合课本图形，用规范的符号语言表示空间位置关系； 3、能区分异面直线与相交、平行直线，结合课本定义判断异面直线所成角的范围 基础必考点，贴合课本知识点考查，多以小题形式考查，侧重位置关系的判断与符号表示； 命题趋势：常结合课本中长方体、正方体模型，考查线线、线面位置关系； 易错点：误将异面直线当作相交直线，符号语言表示不规范，忽略课本中异面直线的定义 空间直线、平面的平行 1、熟记课本中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、能结合课本例题的证明思路，运用定理规范书写线面平行、面面平行的证明步骤； 3、能利用平行关系，解决课本习题中简单的线线平行推导问题 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（多作为证明题的一部分），小题也会考查判定定理的应用； 命题趋势：多结合课本中棱柱、长方体模型，考查定理的综合应用，常与线面垂直结合命题； 易错点：忽略课本中线面平行判定中“直线在平面外”的条件，性质定理应用不规范 空间直线、平面的垂直 1、熟记线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、运用定理规范书写线面垂直、面面垂直的证明步骤； 3、能利用垂直关系，解决线线垂直、线面垂直的推导问题，求简单的线面角 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（重点考查证明与计算），小题侧重判定与性质的简单应用； 命题趋势：是期中大题的核心考查内容，常结合表面积、体积计算综合考查，贴合课本习题难度，难度中等偏上； 易错点：遗漏课本中面面垂直判定“一个平面过另一个平面的垂线”的条件，线面角的定义理解错误 知识点01 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点02 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 1、4个基本事实 （1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】基本事实2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点04 空间直线、平面的平行 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点05 空间直线、平面的垂直 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 题型一 空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）：①棱柱：看 “两底面平行、侧棱平行且相等”；②棱锥：看“一个底面为多边形、侧面是有公共顶点的三角形”；③棱台：看“两底面平行、侧棱延长线交于一点” ． 2、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）：①圆柱：矩形绕一边旋转；②圆锥：直角三角形绕直角边旋转；③圆台：直角梯形绕垂直底边的腰旋转；④球：半圆绕直径旋转，核心看旋转轴和旋转图形． 3、易混淆辨析：对比棱柱与棱台、圆柱与圆台，重点看 “底面是否平行”“侧棱/母线是否平行” ． 【典例1】（24-25高一下·陕西西安·期末）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【解析】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等， 且侧面都是平行四边形，所以D正确.故选：ABC. 【变式1-1】（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为.故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周， 则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故①错误； 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形， 四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误； 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误； 故命题①②③都是假命题.故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（    ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【解析】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误.故选：A. 题型二 斜二测画法及其计算 解｜题｜技｜巧 1、直观图绘制：针对三角形、矩形、平行四边形，按步骤建系、变长度、连线，确保角度和长度符合规则． 2、原图形还原：由直观图反向推导，平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度加倍，还原直角坐标系，计算原图形尺寸． 3、面积换算：原图形面积=直观图面积×2√2（期中高频考点，直接记换算关系，避免推导失误）． 【典例2】（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 【变式2-1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______. 【答案】 【解析】过点C'作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，， ， 由正弦定理， 即，可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 【变式2-2】（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 【答案】 【解析】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则， 所以平面图形的周长为. 题型三 几何体展开图的最短路径问题 解｜题｜技｜巧 1、核心思路：将立体侧面展开为平面图形，转化为“两点之间线段最短”求解． 2、关键步骤：①辨侧面类型（棱柱/圆锥），沿侧棱/母线展开；②确定两点在展开图中的对应位置；③连接两点，用勾股定理求线段长度（即最短路径）． 【典例3】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 【答案】 【解析】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 【变式3-1】（24-25高一下·北京海淀·期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，.故选；C 【变式3-2】（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为.故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径.故选：D. 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 解｜题｜技｜巧 1、单一几何体：辨类型→找参数→套公式 先确定柱/锥/台/球，明确底面边长、半径、高、母线长（统一单位），区分侧面积与全面积，代入公式计算。 易错提醒：别把圆锥母线当高，台体别漏记上下底参数． 2、简单组合体：分割或补形 （1）分割法：拆成2-3个基本几何体，分别算表面积/体积，表面积扣掉重合面(避免重复)，体积直接相加。 （2）补形法：把不规则图形补成长方体/棱柱，用“整体减部分”快速计算． 【典例4】（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直角中，斜边，直角边，得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：，故选：A 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 【变式4-2】（24-25高一下·陕西西安·期末）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm． 【答案】29.6 【解析】设水面的半径为，水深为， 因为上口半径为，底面半径， 则，故， 雨水的体积为， 又,故, 【变式4-3】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，设棱台高为， 则，解得， 根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积.故选：B. 题型五 共点、共线、共面问题证明 解｜题｜技｜巧 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【典例5】（24-25高一下·广西来宾·期中） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 又因为，所以.所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 【变式5-1】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【解析】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O， 因为F为的中点，所以且，则； 同理直线与也相交，设交点为， 则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以. 又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 【变式5-2】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【答案】(1)证明及作图见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图①，连接，，， 因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以，故， 所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2）如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面， 同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 【变式5-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在，证明见解析；(2) 【解析】（1）存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下： 取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2）∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且， ∴， 则三棱锥的体积为. 题型六 线面位置关系的命题判断 解｜题｜技｜巧 1、命题陷阱：警惕“一条直线平行于平面内一条直线”就判定线面平行（忽略“直线在平面外”条件）； 2、反例应用：判断假命题时，优先用常见反例（如正方体中侧棱与侧面的位置关系），快速推翻命题； 3、定理应用：严格遵循课本判定定理，不遗漏核心条件（如线面垂直需 “两条相交直线”）． 【典例6】（24-25高一下·重庆·期末）（多选）若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若，则由线面平行的性质得，故A正确； 对于B，若，则与平行或相交或，故B错误； 对于C，若，则，又，则，故C正确； 对于D，若，则与相交或平行，故D错误. 故选：AC. 【变式6-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】A：，，则平行或异面，错； B：，，则或，错； C：，，则可能平行、相交、异面，错； D：，则平面中必存在一条直线， 而，则，，，故，对.故选：D 【变式6-2】（24-25高一下·云南临沧·期末）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以. 对于D，若，，，则与相交，故D错误．故选：C． 【变式6-3】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则或或，故C错误； 对于D，由线面平行的性质定理可知 D正确.故选：D 题型七 空间平行垂直关系的证明 解｜题｜技｜巧 1、平行关系证明： （1）线面平行证明（必考）：方法1（中位线法）：找平面内与已知直线平行的中位线，证明线线平行，再结合“平面外一条直线平行于平面内一条直线”，判定线面平行；方法2（平行四边形法）：构造平行四边形，证明对边平行，进而推导线面平行． （2）面面平行证明（高频）：先证明一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面，再根据“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则两面平行”，完成证明． 2、垂直关系证明： （1）线面垂直证明（必考）：方法 1（判定定理法）：证明一条直线垂直于平面内两条相交直线，即可判定线面垂直；方法2（面面垂直性质法）：若两个平面垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面． （2）面面垂直证明（高频）：先证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，再根据 “一个平面过另一个平面的一条垂线，则两面垂直”，完成证明． （3）线线垂直证明（基础）：要么由线面垂直推导（线面垂直则线垂直于平面内所有直线），要么用勾股定理逆用、等腰三角形三线合一直接证明． 【典例7】（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 【变式7-1】（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 【变式7-2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面；(2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【变式7-3】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 题型八 异面直线所成角的求解 解｜题｜技｜巧 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角． 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 【典例8】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且， 所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角）， 若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即.故选：A 【变式8-1】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为.故选：C. 【变式8-2】（24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线， 该四棱柱的所有棱长都为2，，则，， 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，， 所以选项ABD均有可能，C不可能.故选：C 【变式8-3】（24-25高一下·河北邢台·期末）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，，因为是的中点，所以∥， 则异面直线与所成角. 直三棱柱中，侧面是正方形，3，， ∴，. 在中，在中， 在中，. 在中，. ∴在中，.故选：B. 题型九 直线与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解． 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 【典例9】（24-25高一下·天津和平·期末）在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作，交于， 因为长方体中，平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面， 则即为直线与平面所成角， 由题意可知，由解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以，故选：D. 【变式9-2】（24-25高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为________；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】连接， 因为E、F分别为BC，的中点，则∥， 可知直线与EF所成角为（或其补角）， 又因为，可知为等边三角形， 可得，所以直线与EF所成角的大小为； 设正方体的边长为2，点C到平面DEF的距离为， 因为， 则的面积， 又因为，即，解得， 所以直线CD与平面DEF所成角的正弦值为. 故答案为：；. 【变式9-3】（24-25高一下·安徽滁州·期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 如图添加辅助线，由于，所以分别为的中点， 又因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又因为，且，所以且， 即四边形是平行四边形，又因为， 所以四边形是菱形，即， 又因为，，所以， 即可得， 即四面体是正四面体，取为的中点， 所以可得 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 即直线与平面所成角为， 设正四面体的棱长为， 则. 题型十 平面与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角 （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例10】（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【答案】 【解析】由四面体为鳖臑，且，得， 取的中点，过点作交于点，连接， 则，是二面角的平面角， 设，则，，，， 从而，，又， 在中，， 在中，，所以. 【变式10-1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 【答案】 【解析】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，， 由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 则， 因为，所以，即二面角的大小为. 【变式10-2】（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 【答案】 【解析】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为. 【变式10-3】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为___________. 【答案】/ 【解析】在正四棱台中，， 令上下底面中心分别为、，连接，则棱台的高为， 取的中点，的中点，连接， 过点作⊥于点，则， 如图所示，侧面与下底面所成二面角的平面角是， 由， 解得，故，， 由勾股定理得， 其正弦值， 即四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 题型十一 空间距离的求解 解｜题｜技｜巧 1、点到直线的距离（基础）：找过该点作直线的垂线，垂足与该点的线段长度；可构造直角三角形，用勾股定理直接计算（优先结合正方体、长方体模型）． 2、点到平面的距离（必考）：方法1（直接法）：过点作平面的垂线，求垂线段长度；方法2（等体积法，期中高频）：利用三棱锥体积不变，V=1/3×底面积×高，转化为求高（即点到平面的距离），简化运算． 3、线到平面的距离（高频）：前提是线面平行，转化为“直线上任意一点到平面的距离”，按点到平面的距离求解即可． 【典例11】（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图： 连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为．故选：A． 【变式11-1】（24-25高一下·贵州黔南·阶段检测）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由， 有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为.故选：B. 【变式11-2】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得， 所以，解得.故选：A. 【变式11-3】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 题型十二 几何体的外接球与内切球 解｜题｜技｜巧 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径． 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的． 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解． 【典例12】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【解析】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 【变式12-1】（24-25高一下·海南·期末）已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】如图所示： 设为等边三角形的中心，连接，则平面， 且正三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球的半径为，连接，， ∵为等边三角形且其面积为， ∴，∴，∴， 又∵，∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， ∴球的表面积为. 【变式12-2】（24-25高一下·浙江温州·期末）有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 【答案】 【解析】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，， 因为，所以，解得. 【变式12-3】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【答案】 【解析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 题型十三 几何体中的动点探索问题 解｜题｜技｜巧 1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么． ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么． 2、对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设． 【典例13】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，满足即可，理由见解析 【解析】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则， 因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【变式13-1】（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)为中点.证明见解析 【解析】（1）由题意，因为平面，又由平面，所以， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以平面平面PAC； （2）由（1）平面，因为， 所以平面，而平面，所以； （3）当为中点时，平面，理由如下， 如图，取中点，连接， 证明：为中点，为的中点，故， 平面，且平面，故平面. 【变式13-2】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）几何体是从边长为2的正方体中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点在线段上．    (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)证明：存在点，使得平面，并求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析， 【解析】（1）设，连接，    因为正方形，所以为中点，又矩形中，为的中点， 所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）在平面中，过作于，连接，    因为几何体是从边长为2的正方体中截取所得， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； （3）连接交于点，因为是正方形，所以，      且，所以平面，平面，所以， 当时，，平面， 所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以． 【变式13-3】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面；(2)证明见解析；(3)存在， 【解析】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 题型十四 空间几何体中的截面问题 解｜题｜技｜巧 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 【典例14】（24-25高一下·安徽·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】设圆锥母线长为，依题意，，解得， 设圆锥轴截面等腰三角形顶角为，则，， 设过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面等腰三角形顶角为， 该截面三角形面积，当且仅当时取等号， 所以所求最大值为. 【变式14-1】（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ） A． B．18 C． D．36 【答案】B 【解析】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为.故选：B. 【变式14-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为故选：A 【变式14-3】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】作出截面如图所示： 因为截面平行于直线，， 由线面平行的性质定理可得， 所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为.故选：A 题型十五 空间几何体翻折问题综合 解｜题｜技｜巧 1、翻折后平行/垂直关系证明：优先利用翻折不变量（如相等线段、全等三角形），先证明线线平行/垂直，再推导线面、面面平行/垂直，重点关注翻折后交线的作用． 2、翻折后距离/角度计算：以不变量为突破口，构造直角三角形（如过点作垂线），或用等体积法求点到平面的距离；角度计算优先找翻折后不变的角，或通过余弦定理、勾股定理求解． 3、常见翻折模型（期中高频）：三角形翻折、四边形翻折（重点是矩形、等腰梯形翻折），聚焦翻折轴，明确翻折后各点、线、面的位置变化． 【典例15】（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【答案】(1)5；(2) 【解析】（1）连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. （2）过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 【变式15-1】（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接. 由（2）知，， 又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 【变式15-2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题可得，平面，平面， 所以平面. （2）由题知：，，分别是，的中点， 所以，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）取中点，连接， 由题，所以为等边三角形，所以，且， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 如图，过作，且，过作，垂足为，连接， 所以，故四边形为矩形， 所以， 又，所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为平面，所以， 所以， 所以平面，故即为与平面所成角， 则 所以. 故与平面所成角的余弦值为. 【变式15-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（    ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【解析】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形．故选：C 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以.故选：A. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 【答案】 【解析】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【解析】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 5．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 如图，连接，在中，，； 因，平面，平面，则平面， 因E为BC边上一点，故四棱锥的体积即四棱锥的体积， 而， 即四棱锥的体积为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为.故选：D. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，已知正四棱柱中，，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意及图可得四边形为正方形，则， 又因为面，且面，则， 又因为，面，所以面， 所以即为直线与平面所成的角为， 由，可设，则， 所以， 所以； 由题及图可知，则即为直线与直线所成的角为， 在中，，则为等腰三角形， 所以， 所以，故B项正确.故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（改）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 因为，所以， 所以. 在中，， 根据余弦定理， 所以有，所以， 又平面. 所以平面. （2）因为，根据勾股定理. 在中，， 根据余弦定理. 所以. 所以，. 设到平面的距离为， 根据等体积法得，解得. 所以到平面的距离为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为.故选：B. 2．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（    ）    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确.故选：D 3．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即， ， 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $