期末复习讲义03 立体几何初步8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义03 立体几何初步 【考点一】基本立体图形 【考点五】平面 【考点二】立体图形的直观图 【考点六】空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点七】空间直线、平面的平行 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点八】空间直线、平面的垂直 一、空间几何体的结构特征 核心分类：多面体（由若干个平面多边形围成）、旋转体（由一个平面图形绕一条定直线旋转形成），重点掌握柱、锥、台、球的结构特征，是后续表面积、体积计算及空间位置关系判断的基础。 1. 多面体的结构特征 棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边（侧棱）互相平行。 分类：按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；按侧棱与底面关系分为直棱柱（侧棱垂直底面）、斜棱柱（侧棱不垂直底面），正棱柱是底面为正多边形的直棱柱。 表示方法：用底面各顶点字母表示，如六棱柱可表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。 棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形（侧面）。 分类：按底面边数分为三棱锥、四棱锥……；正棱锥是底面为正多边形，且顶点在底面的射影为底面中心的棱锥。 关键特征：侧棱交于一点（顶点），侧面均为三角形。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。 分类：按底面边数分为三棱台、四棱台……；正棱台是由正棱锥截得的棱台，上下底面均为正多边形，侧棱延长线交于一点。 关键特征：上下底面互相平行，且对应边互相平行，侧棱延长线交于一点。 2. 旋转体的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 核心元素：旋转轴（轴）、垂直于轴的边旋转形成的圆面（底面）、平行于轴的边旋转形成的曲面（侧面）、侧面上平行于轴的线段（母线）。 表示方法：用表示轴的字母表示，如圆柱O’O。 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。 核心元素：旋转轴（轴）、另一条直角边旋转形成的圆面（底面）、斜边旋转形成的曲面（侧面）、斜边旋转形成的线段（母线）、旋转轴与斜边的交点（顶点）。 表示方法：用表示轴的字母表示，如圆锥SO。 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分（也可看作以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴旋转形成）。 核心特征：上下底面为两个互相平行的圆，侧面为曲面，母线延长线交于一点。 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。 核心元素：半圆的圆心（球心）、半圆的半径（球的半径）、半圆的直径（球的直径）。 表示方法：用球心字母表示，如球O。 3. 易错点警示 棱柱的侧棱必须互相平行，且侧面为平行四边形（斜棱柱侧面为非矩形的平行四边形）； 棱锥的侧面必为三角形，且所有侧面有公共顶点；棱台的上下底面必须平行，否则不是棱台； 球的表面是曲面，不是平面，球面上任意一点到球心的距离都等于半径。 二、空间几何体的三视图与直观图 重点考查：三视图的识别与绘制、斜二测画法画直观图，是立体几何与平面图形转化的核心，高频出现在选填题中。 1. 三视图 定义：正视图：光线从几何体前面向后面正投影得到的图形（反映几何体的高度和长度）； 侧视图：光线从几何体左面向右面正投影得到的图形（反映几何体的高度和宽度）； 俯视图：光线从几何体上面向下面正投影得到的图形（反映几何体的长度和宽度）。 核心原则：“长对正、高平齐、宽相等”（正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，侧视图与俯视图宽度一致）。 常见几何体的三视图： 球：正视图、侧视图、俯视图均为全等的圆； 圆柱：正视图、侧视图为矩形，俯视图为圆； 圆锥：正视图、侧视图为等腰三角形，俯视图为圆及圆心； 长方体：正视图、侧视图、俯视图均为矩形（可能为正方形）。 2. 直观图（斜二测画法） 核心步骤（以平面图形为例）： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O；画直观图时，将x轴、y轴画成对应的x’轴、y’轴，使（或），它们确定的平面表示水平面； 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别平行于x’轴或y’轴； 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的； 若图形涉及z轴（空间图形），z轴方向的线段长度不变，且与x’轴、y’轴垂直。 面积关系：若原平面图形面积为，其直观图面积为，则（高频考点，用于面积换算）。 3. 易错点警示 三视图中，侧视图的宽度与俯视图的宽度一致，易出现“宽不等”的错误； 斜二测画法中，平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴、z轴的线段长度不变，易混淆线段缩放规则； 直观图是“斜投影”，不是“正投影”，与原图形的形状、面积均不相同（除平行于x轴的线段）。 三、空间几何体的表面积与体积 高频必考考点，重点掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式，结合三视图求几何体的表面积、体积是期末解答题重点题型，公式均为微软可编辑格式，可直接复制使用。 1. 表面积公式（含侧面积） 棱柱：侧面积：（直棱柱，侧棱垂直底面）；斜棱柱侧面积需用侧面展开图（平行四边形）面积计算，即（为侧棱与底面的夹角）； 表面积：。 棱锥：侧面积：（正棱锥，斜高为侧面三角形的高）； 表面积：。 棱台：侧面积：（正棱台，斜高为侧面等腰梯形的高）； 表面积：。 圆柱：侧面积：（为底面半径，为高）； 表面积：。 圆锥：侧面积：（为底面半径，为母线长，满足，为圆锥的高）； 表面积：。 圆台：侧面积：（为上底面半径，为下底面半径，为母线长，满足，为圆台的高）； 表面积：。 球：表面积：（为球的半径）。 2. 体积公式 棱柱：（为棱柱的高，直棱柱的高等于侧棱长）； 棱锥：（为棱锥的高，即顶点到底面的垂直距离）； 棱台：（为棱台的高，即上下底面之间的垂直距离）； 圆柱：（为底面半径，为高）； 圆锥：（为底面半径，为高，母线长）； 圆台：（为上底面半径，为下底面半径，为高）； 球：（为球的半径）； 组合体体积：采用“分割法”或“补形法”，将组合体分割为或补成已知体积公式的几何体（如长方体、圆柱、圆锥等），再求和或求差。 3. 高频题型与易错点 高频题型：由三视图求几何体的表面积、体积（先由三视图还原几何体，再确定底面面积、高、母线长等关键量）； 易错点： 混淆“斜高”与“高”：棱锥、棱台的斜高是侧面的高，高是上下底面（或顶点到底面）的垂直距离，二者不相等 圆台、棱台的体积公式中，易遗漏“根号下上下底面面积的乘积”项； 计算球的表面积、体积时，易将“半径”误代为“直径”； 组合体体积计算时，分割或补形不恰当，导致计算复杂或出错。 四、空间点、线、面之间的位置关系 本章核心难点，高频考查线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质，多以解答题形式出现，需牢记公理、定理，掌握逻辑推理思路，结合空间想象能力突破考点，同时涉及空间角的计算，是期末考查的重点内容。 1. 空间基本公理（基础必备） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（用于判断直线在平面内）。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的核心依据）。 推论1：过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（用于判断两个平面相交、确定交线）。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性，用于线线平行的判定）。 2. 空间中直线与直线的位置关系 分类：共面直线（平行、相交）、异面直线（不同在任何一个平面内，既不平行也不相交）。 异面直线的判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 异面直线所成角（高频考点） 定义：过空间一点，作分别平行于两条异面直线的相交直线所成的锐角或直角，叫异面直线所成角，体现“空间问题平面化”的思想。 范围：。 求法：①定义法（平移法）：平移一条或两条直线，转化为相交直线所成角，再解三角形求角；②向量法：转化为两异面直线的方向向量的夹角或其补角。 易错点：异面直线所成角一定是锐角或直角，计算后需判断，若为钝角则取其补角。 3. 空间中直线与平面的位置关系 分类：直线在平面内（有无数个公共点）、直线与平面平行（无公共点）、直线与平面相交（有且只有一个公共点）。 线面平行（高频考点） 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记：线线平行→线面平行）。 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记：线面平行→线线平行）。 线面垂直（高频考点） 定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直（简记：线线垂直→线面垂直）。 性质定理：①如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线平行。 直线与平面所成角（高频考点） 定义：当直线是平面的斜线（相交但不垂直）时，斜线与其在平面的射影的夹角，叫直线与平面所成角；规定：直线在平面内或与平面平行时，所成角为；直线与平面垂直时，所成角为。 范围：。 求法：①定义法：通过面的垂线确定斜线射影，转化为斜线与射影的夹角，再解三角形求角；②法向量法：转化为平面的法向量与斜线方向向量所成角的余角或补角的余角，公式为（为平面法向量，为斜线方向向量）。 4. 空间中平面与平面的位置关系 分类：两个平面平行（无公共点）、两个平面相交（有一条公共直线）。 面面平行（高频考点） 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记：线面平行→面面平行）。 性质定理：①如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行。 面面垂直（高频考点） 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（平面角为），那么这两个平面互相垂直。 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（简记：线面垂直→面面垂直）。 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（简记：面面垂直→线面垂直）。 二面角（高频考点） 定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面；垂直于棱的平面与两个面相交所得两条射线的夹角，叫二面角的平面角，二面角的大小由平面角度量。 范围：。 求法（按频率排序）：①三垂线法：用三垂线定理或逆定理，得到垂直于棱的两条直线，确定平面角后解三角形；②垂面法：在棱上取特殊点，作棱的垂面，得到平面角；③射影面积法：设平面角为，则（为一个面内图形面积，为其在另一个面内的射影面积）；④向量法：转化为两个面的法向量所成角或其补角，公式为（为两个平面的法向量）。 5. 易错点警示 线面平行判定中，忽略“直线在平面外”的条件，导致判断错误； 线面垂直判定中，需两条“相交直线”都垂直于已知直线，缺一不可； 面面垂直性质中，直线必须“在一个平面内”且“垂直于交线”，才能垂直于另一个平面； 空间角计算时，混淆各角的范围，尤其是异面直线所成角、线面角、二面角的范围区分； 利用向量法求空间角时，忘记判断夹角与所求角的关系（互补或互余）。 【考点一】基本立体图形 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 2．（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 4.（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 5．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 6.（23-24高一上·江西鹰潭·期末）正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为______. 7．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 8．（24-25高一下·吉林长春·期末）一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 【考点二】立体图形的直观图 9.（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 10．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（24-25高一下·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 12.（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 13．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为__________． 14.（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 15.（24-25高一下·内蒙古包头·期末）正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 16．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 17.（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 18.（24-25高一下·河北衡水·期末）有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 19．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 20.（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 21.（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为，，，则（    ） A．几何体侧面积为 B．几何体与几何体的体积之比为5：3 C．几何体与几何体的外接球半径之比为5：3 D．过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为12 24．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 25.（24-25高一下·四川泸州·期末）已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 26.（24-25高一下·湖北黄石·期末）在正棱锥中，O为底面正n边形的中心，B为棱的中点.设正n棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面夹角为，底面正n边形边长为x. (1)当，时，若，求正三棱锥的体积. (2)当时，若且，求正四棱锥外接球的体积. (3)记，，试确定M和N的大小关系，并证明. 27．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【考点五】平面 28.（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 29．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 30.（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 31.（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 32．（24-25高一下·山东青岛·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足______.（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【考点六】空间点、直线、平面之间的位置关系 33.（24-25高一下·广西柳州·期末）已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是45°，则直线、所成的角是（  ） A．30° B．45° C．60° D．75° 34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 35．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）下列命题正确的为（   ） A．若在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 B．已知a，b，c为三条直线，若，，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．已知a、b、c为三条直线，若a、b异面，b，c异面，则a，c异面 36.（多选）（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37．（多选）（24-25高一下·四川眉山·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 38.（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 39．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 【考点七】空间直线、平面的平行 40.（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 41．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 42．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 43.（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 44．（多选）（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点为底面上任意一点（包括边界），若直线与平面无公共点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．动点的轨迹长度为 C．与所成角的最大值为 D．三棱锥的体积为定值 45.（24-25高一下·甘肃兰州·期末）棱长为2的正方体中，为棱CD的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为_____________. 46．（24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 47．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    48.（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 49．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【考点八】空间直线、平面的垂直 50.（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 51．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 52．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 53．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 54.（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线与交于点是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面．则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角为 B．平面平面 C．与可能垂直 D．与可能平行 55．（多选）（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 56.（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 57．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为______． 58．（24-25高一下·广西北海·期末）在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 59.（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 60．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义03 立体几何初步 【考点一】基本立体图形 【考点五】平面 【考点二】立体图形的直观图 【考点六】空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点七】空间直线、平面的平行 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点八】空间直线、平面的垂直 一、空间几何体的结构特征 核心分类：多面体（由若干个平面多边形围成）、旋转体（由一个平面图形绕一条定直线旋转形成），重点掌握柱、锥、台、球的结构特征，是后续表面积、体积计算及空间位置关系判断的基础。 1. 多面体的结构特征 棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边（侧棱）互相平行。 分类：按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；按侧棱与底面关系分为直棱柱（侧棱垂直底面）、斜棱柱（侧棱不垂直底面），正棱柱是底面为正多边形的直棱柱。 表示方法：用底面各顶点字母表示，如六棱柱可表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。 棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形（侧面）。 分类：按底面边数分为三棱锥、四棱锥……；正棱锥是底面为正多边形，且顶点在底面的射影为底面中心的棱锥。 关键特征：侧棱交于一点（顶点），侧面均为三角形。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。 分类：按底面边数分为三棱台、四棱台……；正棱台是由正棱锥截得的棱台，上下底面均为正多边形，侧棱延长线交于一点。 关键特征：上下底面互相平行，且对应边互相平行，侧棱延长线交于一点。 2. 旋转体的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 核心元素：旋转轴（轴）、垂直于轴的边旋转形成的圆面（底面）、平行于轴的边旋转形成的曲面（侧面）、侧面上平行于轴的线段（母线）。 表示方法：用表示轴的字母表示，如圆柱O’O。 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。 核心元素：旋转轴（轴）、另一条直角边旋转形成的圆面（底面）、斜边旋转形成的曲面（侧面）、斜边旋转形成的线段（母线）、旋转轴与斜边的交点（顶点）。 表示方法：用表示轴的字母表示，如圆锥SO。 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分（也可看作以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴旋转形成）。 核心特征：上下底面为两个互相平行的圆，侧面为曲面，母线延长线交于一点。 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。 核心元素：半圆的圆心（球心）、半圆的半径（球的半径）、半圆的直径（球的直径）。 表示方法：用球心字母表示，如球O。 3. 易错点警示 棱柱的侧棱必须互相平行，且侧面为平行四边形（斜棱柱侧面为非矩形的平行四边形）； 棱锥的侧面必为三角形，且所有侧面有公共顶点；棱台的上下底面必须平行，否则不是棱台； 球的表面是曲面，不是平面，球面上任意一点到球心的距离都等于半径。 二、空间几何体的三视图与直观图 重点考查：三视图的识别与绘制、斜二测画法画直观图，是立体几何与平面图形转化的核心，高频出现在选填题中。 1. 三视图 定义：正视图：光线从几何体前面向后面正投影得到的图形（反映几何体的高度和长度）； 侧视图：光线从几何体左面向右面正投影得到的图形（反映几何体的高度和宽度）； 俯视图：光线从几何体上面向下面正投影得到的图形（反映几何体的长度和宽度）。 核心原则：“长对正、高平齐、宽相等”（正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，侧视图与俯视图宽度一致）。 常见几何体的三视图： 球：正视图、侧视图、俯视图均为全等的圆； 圆柱：正视图、侧视图为矩形，俯视图为圆； 圆锥：正视图、侧视图为等腰三角形，俯视图为圆及圆心； 长方体：正视图、侧视图、俯视图均为矩形（可能为正方形）。 2. 直观图（斜二测画法） 核心步骤（以平面图形为例）： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O；画直观图时，将x轴、y轴画成对应的x’轴、y’轴，使（或），它们确定的平面表示水平面； 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别平行于x’轴或y’轴； 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的； 若图形涉及z轴（空间图形），z轴方向的线段长度不变，且与x’轴、y’轴垂直。 面积关系：若原平面图形面积为，其直观图面积为，则（高频考点，用于面积换算）。 3. 易错点警示 三视图中，侧视图的宽度与俯视图的宽度一致，易出现“宽不等”的错误； 斜二测画法中，平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴、z轴的线段长度不变，易混淆线段缩放规则； 直观图是“斜投影”，不是“正投影”，与原图形的形状、面积均不相同（除平行于x轴的线段）。 三、空间几何体的表面积与体积 高频必考考点，重点掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式，结合三视图求几何体的表面积、体积是期末解答题重点题型，公式均为微软可编辑格式，可直接复制使用。 1. 表面积公式（含侧面积） 棱柱：侧面积：（直棱柱，侧棱垂直底面）；斜棱柱侧面积需用侧面展开图（平行四边形）面积计算，即（为侧棱与底面的夹角）； 表面积：。 棱锥：侧面积：（正棱锥，斜高为侧面三角形的高）； 表面积：。 棱台：侧面积：（正棱台，斜高为侧面等腰梯形的高）； 表面积：。 圆柱：侧面积：（为底面半径，为高）； 表面积：。 圆锥：侧面积：（为底面半径，为母线长，满足，为圆锥的高）； 表面积：。 圆台：侧面积：（为上底面半径，为下底面半径，为母线长，满足，为圆台的高）； 表面积：。 球：表面积：（为球的半径）。 2. 体积公式 棱柱：（为棱柱的高，直棱柱的高等于侧棱长）； 棱锥：（为棱锥的高，即顶点到底面的垂直距离）； 棱台：（为棱台的高，即上下底面之间的垂直距离）； 圆柱：（为底面半径，为高）； 圆锥：（为底面半径，为高，母线长）； 圆台：（为上底面半径，为下底面半径，为高）； 球：（为球的半径）； 组合体体积：采用“分割法”或“补形法”，将组合体分割为或补成已知体积公式的几何体（如长方体、圆柱、圆锥等），再求和或求差。 3. 高频题型与易错点 高频题型：由三视图求几何体的表面积、体积（先由三视图还原几何体，再确定底面面积、高、母线长等关键量）； 易错点： 混淆“斜高”与“高”：棱锥、棱台的斜高是侧面的高，高是上下底面（或顶点到底面）的垂直距离，二者不相等 圆台、棱台的体积公式中，易遗漏“根号下上下底面面积的乘积”项； 计算球的表面积、体积时，易将“半径”误代为“直径”； 组合体体积计算时，分割或补形不恰当，导致计算复杂或出错。 四、空间点、线、面之间的位置关系 本章核心难点，高频考查线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质，多以解答题形式出现，需牢记公理、定理，掌握逻辑推理思路，结合空间想象能力突破考点，同时涉及空间角的计算，是期末考查的重点内容。 1. 空间基本公理（基础必备） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（用于判断直线在平面内）。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的核心依据）。 推论1：过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（用于判断两个平面相交、确定交线）。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性，用于线线平行的判定）。 2. 空间中直线与直线的位置关系 分类：共面直线（平行、相交）、异面直线（不同在任何一个平面内，既不平行也不相交）。 异面直线的判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 异面直线所成角（高频考点） 定义：过空间一点，作分别平行于两条异面直线的相交直线所成的锐角或直角，叫异面直线所成角，体现“空间问题平面化”的思想。 范围：。 求法：①定义法（平移法）：平移一条或两条直线，转化为相交直线所成角，再解三角形求角；②向量法：转化为两异面直线的方向向量的夹角或其补角。 易错点：异面直线所成角一定是锐角或直角，计算后需判断，若为钝角则取其补角。 3. 空间中直线与平面的位置关系 分类：直线在平面内（有无数个公共点）、直线与平面平行（无公共点）、直线与平面相交（有且只有一个公共点）。 线面平行（高频考点） 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记：线线平行→线面平行）。 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记：线面平行→线线平行）。 线面垂直（高频考点） 定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直（简记：线线垂直→线面垂直）。 性质定理：①如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线平行。 直线与平面所成角（高频考点） 定义：当直线是平面的斜线（相交但不垂直）时，斜线与其在平面的射影的夹角，叫直线与平面所成角；规定：直线在平面内或与平面平行时，所成角为；直线与平面垂直时，所成角为。 范围：。 求法：①定义法：通过面的垂线确定斜线射影，转化为斜线与射影的夹角，再解三角形求角；②法向量法：转化为平面的法向量与斜线方向向量所成角的余角或补角的余角，公式为（为平面法向量，为斜线方向向量）。 4. 空间中平面与平面的位置关系 分类：两个平面平行（无公共点）、两个平面相交（有一条公共直线）。 面面平行（高频考点） 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记：线面平行→面面平行）。 性质定理：①如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行。 面面垂直（高频考点） 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（平面角为），那么这两个平面互相垂直。 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（简记：线面垂直→面面垂直）。 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（简记：面面垂直→线面垂直）。 二面角（高频考点） 定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面；垂直于棱的平面与两个面相交所得两条射线的夹角，叫二面角的平面角，二面角的大小由平面角度量。 范围：。 求法（按频率排序）：①三垂线法：用三垂线定理或逆定理，得到垂直于棱的两条直线，确定平面角后解三角形；②垂面法：在棱上取特殊点，作棱的垂面，得到平面角；③射影面积法：设平面角为，则（为一个面内图形面积，为其在另一个面内的射影面积）；④向量法：转化为两个面的法向量所成角或其补角，公式为（为两个平面的法向量）。 5. 易错点警示 线面平行判定中，忽略“直线在平面外”的条件，导致判断错误； 线面垂直判定中，需两条“相交直线”都垂直于已知直线，缺一不可； 面面垂直性质中，直线必须“在一个平面内”且“垂直于交线”，才能垂直于另一个平面； 空间角计算时，混淆各角的范围，尤其是异面直线所成角、线面角、二面角的范围区分； 利用向量法求空间角时，忘记判断夹角与所求角的关系（互补或互余）。 【考点一】基本立体图形 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，问题得以解决. 【详解】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个. 故选：C. 2．（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 4.（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【分析】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【详解】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 5．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【分析】根据正四面体的性质进行计算，可判定A；结合球的性质研究得到曲线为正的以中心中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，进而判定BCD. 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则， 点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 连接,由圆的性质可得线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 6.（23-24高一上·江西鹰潭·期末）正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】作出图形，连接，，由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短，从而确定的位置，延长至，使得，连接，当，，三点共线时，最小，结合勾股定理，即可求解. 【详解】如图，连接，，    则由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短， 此时为中点，面， 如图延长至，使得，连接， 则面，且， 所以，，面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为： 7．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】确定截面最小和截面最大时的位置，即可求出截面圆面积的范围. 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    8．（24-25高一下·吉林长春·期末）一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】铁球与正方体共点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，设球半径为， 则另一个铁球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心在这条体对角线上， 要球半径最大，两个半径相等的铁球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值为 又球心到与球相切的三个面的距离为，因此，解得， 所以铁球半径的最大值为为. 故答案为： 【考点二】立体图形的直观图 9.（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 10．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，结合斜二测画法，得出的形状，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 11．（24-25高一下·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意得到，然后还原原图形计算即可. 【详解】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B 12.（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【分析】利用斜二测画法还原直观图可得原平面图形，计算周长即可. 【详解】由题可知，，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形，为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解． 【详解】根据题意，直观图中，轴，轴，且， 由斜二测画法，将直观图还原为原图， 如图所示， 则是直角三角形，其中，， 故的面积为． 故答案为：4． 14.（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 【考点三】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 15.（24-25高一下·内蒙古包头·期末）正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 【答案】A 【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积得余下体积，得解. 【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为， 则，所以剩余部分的体积为， 所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为. 故选：A. 16．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 17.（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 18.（24-25高一下·河北衡水·期末）有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 【答案】 【分析】由截面是边长为2正方形，可得正四面体的棱长为4，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图正四面体，截面正方形由4条边的中点构成， 由于正四面体的对称性，这4个中点共面且形成正方形， 即四边形是边长为2的正方形， 所以正四面体的棱长为4. 又因为正四面体每个面都是等边三角形， 所以. 故答案为：. 19．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 【答案】/ 【分析】先将以为轴旋转到与共面，得到，结合，利用余弦定理求解得出，最后应用圆锥体积公式计算求解. 【详解】由，所以，又因为，且，所以， 所以，所以是等边三角形， 将以为轴旋转到与共面，得到，， 如图： 则，设 因为， 。 则，所以，所以， 圆锥的体积等于. 故答案为：. 20.（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理可求得该圆锥的高； （2）求出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，高为，底面半径为， 则该圆锥的侧面积为，解得， 故该圆锥的高为； （2）如图是圆台的轴截面，圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，设圆台的高为， 则，解得， 故该圆台的体积为. 【考点四】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 21.（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 22．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 23.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为，，，则（    ） A．几何体侧面积为 B．几何体与几何体的体积之比为5：3 C．几何体与几何体的外接球半径之比为5：3 D．过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为12 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式、体积公式求解判断AB；借助圆锥轴截面求出其外接球半径判断C；求出过顶点的圆锥截面面积最大值判断D. 【详解】在中，，即是直角三角形，且， 对于A，是底面圆半径为4，母线长为5的圆锥，侧面积为，A正确； 对于B，是底面圆半径为3，高为4的圆锥，体积为， 是底面圆半径为，直线为轴的共底面的两个圆锥组合而成， 体积为，，B错误； 对于C，轴截面等腰三角形底角正弦为，其外接球半径为， 的外接球半径，因此，C正确； 对于D，轴截面等腰三角形顶角等于是钝角， 过几何体顶点的平面截所得的截面等腰三角形顶角为， 该截面面积， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 24．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 25.（24-25高一下·四川泸州·期末）已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 【答案】 【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱侧面积解析式，利用基本不等式求解最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为， 由题知，解得，由圆柱的轴截面性质知， 所以该圆柱的侧面积为， 当且仅当时等号成立，即该圆柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 26.（24-25高一下·湖北黄石·期末）在正棱锥中，O为底面正n边形的中心，B为棱的中点.设正n棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面夹角为，底面正n边形边长为x. (1)当，时，若，求正三棱锥的体积. (2)当时，若且，求正四棱锥外接球的体积. (3)记，，试确定M和N的大小关系，并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）当时，，得到，求得，得到几何体为正四面体，结合题意公式，即可求解；. （2）当时，得到，，由，求得，结合，求得，求得正四棱锥外接球的半径为，进而求得外接球的体积； （3）设正n棱锥的侧棱长为l，得到，得到，求得，再由是侧面与底面所成的角，进而得到与相等，即可得证. 【详解】（1）解：当时，几何体为正三棱锥，依题意得，， 由，可得，所以， 所以侧面为正三角形，可得几何体为正四面体，所以其体积为. （2）解：当时，几何体为正四棱锥，可得，. 由，可得，所以，可得， 又由，可得，解得， 设正四棱锥外接球的半径为R，则，解得， 所以正四棱锥外接球的体积为. （3）解：由条件知，， 设正n棱锥的侧棱长为l， 则 ， 则（其中O为正n边形的中心，各在逆时针旋转后仍为这些向量的排列，故它们的和向量逆时针旋转后仍为，所以只能为零向量）. 于是，① 又由是侧棱与底面所成的角，且，， 可得是侧面与底面所成的角，所以，， 从而由①，可得与相等，所以. 27．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件知设球心为的中点，结合题设条件求出，再利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解； （2）设，根据条件得到，进而求出，再利用圆柱和圆锥的表面积公式，即可求解； （3）设，根据条件得圆柱的侧面积为，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径）， 又球半径为，，则， 所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则几何体的体积.      （2）因为，不妨设， 由题知，得到， 则，又，则， 所以圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为， 所以几何体的表面积为. （3）设，则， 则圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大. 【考点五】平面 28.（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 29．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 30.（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    31.（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 【答案】6 【分析】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交，即为点E，首先证明是的中点，推出，即可利用三角形相似推出，得解. 【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E， 因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面， 因为M是的中点，且，所以，， 所以是△的中位线，则是的中点， 又因为N为的中点，所以， 易知，则，所以. 故答案为：6 32．（24-25高一下·山东青岛·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足______.（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【答案】②③ 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线、直线都相交，①错误，②③正确. 故答案为：②③ 【考点六】空间点、直线、平面之间的位置关系 33.（24-25高一下·广西柳州·期末）已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是45°，则直线、所成的角是（  ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】根据题意画出几何示意图，利用直线与平面的位置关系找出直线,所成的角即可求出其大小. 【详解】设直线交平面于点，在直线上任取一点，过点作平面的垂线，垂足为，连接，则， 再过点作直线，使得直线与直线夹角为45°，过点作，垂足为，连接，则，如图所示：    易知平面，直线平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 又因为平面，所以，可得， 设，则，, 所以在中，， 因此. 故选：C 34．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】若，分析出有或相交或异面三种情况，即可判断A；若，过做平面，设，根据线面平行的性质定理得到，进而得到，再根据面面垂直的判定定理得到，即可判断B；若，，分析出有或与相交或三种情况，即可判断C；若，分和两种情况讨论的位置关系即可判断D. 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 35．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）下列命题正确的为（   ） A．若在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 B．已知a，b，c为三条直线，若，，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．已知a、b、c为三条直线，若a、b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】A 【分析】举例说明判断BCD；利用平面的基本事实推理判断A. 【详解】对于A，如图，设平面平面，由，得平面， 则，同理，所以三点共线，A正确； 对于B，，则可能平行、相交或异面，B错误； 对于C，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，该三棱锥不一定是正三棱锥， 如图：为等腰直角三角形，，为等边三角形， ，此时三棱锥不是正三棱锥，C错误； 对于D，直线是异面直线，是异面直线，则可能平行、相交或异面，D错误. 故选：A 36.（多选）（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系逐选项判断即可 【详解】对于A，若，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两直线平行，所以，故A正确； 对于B，若，则与可能平行，也可能相交或异面，故B错误； 对于C，若，由线面垂直的位置关系得，故C正确； 对于D，若，则可能平行，也可能相交，故D错误， 故选：AC. 37．（多选）（24-25高一下·四川眉山·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 38.（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】/ 【分析】取中点为F，连接EF，则为异面直线与所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可得答案. 【详解】如图取中点为F，连接EF，易得， 则，则为异面直线与所成角或其补角. 因平面，几何体为四棱柱，. 则，，. ，，. 因，，则，又易得， 则. 从而. 故答案为： 39．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取棱AB的中点H，连接，可得是异面直线与EF所成的角或其补角，作，由正四棱台的侧面积为，可得，据此可得，然后由结合余弦定理可得答案. 【详解】取棱AB的中点H，连接， 易证四边形为平行四边形，则， 因为E，F分别是棱的中点，所以， 则是异面直线与EF所成的角或其补角．作，垂足为G，则， 因为正四棱台的侧面积为，所以， 所以，则， 因为，所以，即所求值为． 故答案为： 【考点七】空间直线、平面的平行 40.（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 41．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 42．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，平面PEF，平面PEF，得到平面平面，然后得出最后得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 43.（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 【答案】BC 【分析】根据异面直线的夹角、线面平行、勾股定理、对称性等知识对选项逐一计算判断. 【详解】对于选项A： 作交于，因为，所以. 所以直线与所成角为直线与所成角. 因为，设， 则，解得. 根据勾股定理. 因为平面，，所以平面， 又平面，所以. 所以，化简得， 解得，因，所以， 所以在上不存在点使得直线与所成角为，所以A错误； 对于选项B： 取的中点分别为，根据中位线定理得， 因为平面，而不在平面内， 所以平面. 所以点的轨迹为，其长度为，所以B正确； 对于选项C： 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理. 所以点的轨迹为以为原点以为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，所以C正确； 对于选项D： 延长至使得，连接. 那么是的最短路径. 根据勾股定理可得， 所以在侧面上不存在点满足，所以D错误. 故选：BC. 44．（多选）（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点为底面上任意一点（包括边界），若直线与平面无公共点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．动点的轨迹长度为 C．与所成角的最大值为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】对于A，直线与平面无公共点，则平面；对于B，由条件可得平面，平面，从而平面平面，则平面，进而可知点的轨迹为线段，求可判断B；对于C，当点与点或点重合时，与所成角最大，求解可判断C；对于D，平面，可知点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值. 【详解】对于A，直线与平面无公共点，平面，选项A正确； 对于B，如图，连接，，， ，平面，平面，平面， ，， 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又∵平面，平面， 又点为底面上任意一点（包括边界）， 点必在平面与平面的交线上，即点的轨迹为线段， 易求线段，故选项B正确； 对于C，由B选项知，点的轨迹为线段， 当点与点或点重合时，与所成角最大，最大角为，所以C选项不正确； 对于D，，平面，平面， 平面，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，选项D正确， 故选：ABD． 45.（24-25高一下·甘肃兰州·期末）棱长为2的正方体中，为棱CD的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为_____________. 【答案】 【分析】取棱的中点，先根据正方体的性质、面面平行的判定定理及点线面位置关系可得平面即为平面；再根据三角形中位线的性质得出六边形的边长，进而可求出截面图形的周长. 【详解】如图，点，，，，分别为棱，，，，的中点， 连接，，，，，，. 由正方体及三角形中位线性质可得：，，. 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面， 则平面即为平面. 由可得：，，，四点共面. 又因为，平面， 所以平面， 同理可得：平面，即平面即为平面. 由三角形中位线性质可得：该六边形每条边的长度等于正方体面对角线的一半，即每条边长度为， 故平面在正方体表面上截得的图形的周长为. 故答案为：. 46．（24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 【答案】/ 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹组成的图形为，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹组成的图形为， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为， 所以面积为， 故答案为：. 47．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    【答案】 【分析】在取点，使得，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，得到在线段上，根据为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图所示，分别在取点，使得， 连接，可得， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且，可得为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且为正方形内一动点，所以在线段上， 在中，可得， 在中，可得，且， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 在中，可得， 所以的最短距离为，最长距离为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：.    48.（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 49．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【考点八】空间直线、平面的垂直 50.（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，，，，若相交时，可得， 若不相交时，可能相交，故A错误； 对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 51．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用，可求点到平面的距离. 【详解】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 解得. 故选：A. 52．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【详解】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B    53．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 54.（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线与交于点是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面．则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角为 B．平面平面 C．与可能垂直 D．与可能平行 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理计算异面直线夹角，面面垂直的判定定理，面面垂直推得线线垂直，线线平行判定判断各个选项. 【详解】对于A，因为是的中位线，所以， 则为异面直线与的夹角， 由题意可知，在中，， 故， 所以异面直线与的夹角为，A正确； 对于B，在菱形中有, 在等腰三角形中，又因为是平面内的两条相交直线， 所以平面，又因为平面， 则平面平面，B正确； 对于C，由B选项可知平面，平面，故， 平面与平面的交线为EF， 当平面与平面垂直时可得平面， 平面，故，C正确； 对于D，根据题意可知，易发现相交，且平面， 所以与不可能平行，D错误； 故选：ABC. 【点睛】平面图形的旋转为载体，证明线线、面面垂直一般用判定定理或性质定理进行证明； 空间线线、线面的位置关系及异面直线及其所成的角可用定义法或空间向量法； 55．（多选）（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，由答案不完备即可判断；对于B，由线面垂直的性质判断即可；对于C，由线面平行的判定定理判断即可；对于D，由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，又，，故B正确； 对于C，由线面平行的判定定理可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC. 56.（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】2 【分析】根据题意，三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，再取的中点为，证得，在直角中，求得，再在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，即可求解. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面， 取的中点，连接，因为且， 可得且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 可得，则，所以，且， 在直角中，可得， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则. 故答案为：2 57．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为______． 【答案】 【分析】根据正方体的几何性质可得即为所求的二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】取的中点为，连接, 由于正方体中,, 故，， 故即为所求的二面角的平面角， 由于平面，平面，故， 因此, 故答案为： 58．（24-25高一下·广西北海·期末）在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 59.（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 60．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $