专题02等腰三角形期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记等腰三角形、等边三角形的定义，分清腰、底边、顶角、底角。 2.掌握两大核心性质：等边对等角、三线合一，熟记使用前提。 3.掌握判定方法：定义法、等角对等边。 4.熟练掌握等边三角形的性质与三种判定方法，牢记内角均为 60°。 1.能熟练进行边角计算，掌握等腰三角形分类讨论思想（边长、角度双解问题）。 2.会添加辅助线：作底边高、中线、角平分线，利用三线合一解题。 3.能区分三线合一适用范围，规避易错陷阱。 4.可结合平行线、角平分线、全等三角形，解决综合题型与折叠题型。 1.选择填空：快速求解边长、角度，攻克多解陷阱题，杜绝易错丢分。 2.基础解答：能规范书写证明过程，熟练运用性质与判定定理。 3.中档大题：灵活运用三线合一，秒杀角平分模型、平行线等腰模型。 4.压轴题型：掌握等腰三角形常见几何模型，能解决折叠、动态、综合证明题。 题型01.等边对等角 题型02.三线合一 题型03.等边三角形的性质 题型04.等角对等边证明等腰三角形 题型05.等角对等边证明边相等 题型06.等角对等边求边长 题型07.等腰三角形的性质与判定 题型08.格点图中画等腰三角形 题型09.找出图中的等腰三角形 题型10.直线上等腰三角形找点问题 题型11.图形中等腰三角形找点问题 题型12.反证法证明中的假设 题型13.用反证法证明命题 题型14.等边三角形的判定 题型15.等边三角形的判定与性质 题型16.等腰三角形中的折叠问题 题型17.等腰三角形动点问题 题型18.等腰三角形中的最值问题 题型19.等腰三角形存在性问题 题型20.等腰三角形规律探究题 知识点01:基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点04:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点05:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点06:高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 三线合一误用 在腰上作高、中线、角平分线，强行套用三线合一 该性质只适用于顶角和底边，腰上线段不满足 角度计算漏解 已知内角，未区分顶角、底角，只算一种答案 分两类讨论，且底角必须小于90，结合内角和验证 边长计算漏解 已知边长，未区分腰、底边，直接计算周长 分情况讨论，必须用三角形三边关系检验，舍去无效解 性质与判定混淆 分不清 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的用法 边相等推角相等用性质；角相等推边相等用判定 等边三角形判定失误 看到三角形有60角，直接判定为等边三角形 前提必须是等腰三角形，缺一不可 题型01.等边对等角 1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 2．如图，中，，．则_______． 【答案】25 【分析】由等边对等角可得，，再结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理． 在轴正半轴上截取，连接，证明，可得，由两点之间线段最短可得，当点、、共线时，取得最小值，最小值为，作轴于点，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 4．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 题型02.三线合一 5．如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、的直角三角形的性质． 先证明，得到，再由等腰三角形三线合一的性质得到，最后再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 6．如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 【答案】，的面积为48 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，是的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 8．如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】（1）根据三线合一得出．由作图知：．由可证明； （2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）证明：，为的中线， ． 由作图可得． 在和中， ， ； （2）解：，为的中线， ， ∵， ， 由作图可得， ， ∴， 又， ∴． 题型03.等边三角形的性质 9．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 10．如图，是等边三角形，F是的中点，D在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，的延长线交于H，连接，则以下结论： ①； ②； ③当D在线段上（不与B、C重合）运动，其他条件不变时，是定值； ④当D在线段上（不与B、C）重合，其他条件不变，是定值． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①根据等边三角形的性质和四边形内角和为，可得；②根据等边三角形的性质和中线的定义即可作出判断；③由于无法确定的度数，故的值无法确定；④在上截取，连接，通过证明，可得，即可作出判断． 【详解】解：①，是等边三角形， ，， ， ，故①正确； ②是等边的边的中点， ，即：；故②正确； ③无法确定的度数，不为定值，故③错误； ④在上截取，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ，即：是定值，故④正确； 综上：正确的有①②④． 11．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，证明即可得证． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型04.等角对等边证明等腰三角形 13．已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可． 【详解】解：①作， ∴ ∴是等腰三角形； ②作， ∴， ∴是等腰三角形； ③作， ∴，， ∴， ∴和是等腰三角形； ④在上取， ∴是等腰三角形， ∴这样的点有个． 故答案为：4． 14．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 15．已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：在和中， ． ． ． 16．如图，锐角的两条高、相交于点O，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的平分线上，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，即可证明； （2）连接，证明，得到，即点O在的角平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵锐角的两条高、相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：点O在的平分线上．理由如下： 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 题型05.等角对等边证明边相等. 17．如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，平分，交于，，交于． (1)求的度数； (2)是____三角形． 【答案】(1)的度数为； (2)等腰． 【分析】（）先由三角形的内角和定理可得，又平分，则，再通过得； （）由（）得，又平分，则，所以，故有，从而可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：由（）得， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 19．已知：如图，在中，，，，、交于点． (1)求证：； (2)请判断与的大小关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）解：， 证明如下：， ， ， ， ， ． 题型06.等角对等边求边长 20．如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 22．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，先根据角平分线的定义，得出，结合平行线的性质可知，继而得到，从而得解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 23．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07.等腰三角形的性质与判定 24．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 25．如图，在等腰中，，，点在边上，且，过点作于点，则线段的长为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，求得，求得，再利用三角形面积公式可得，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ，     ， 根据勾股定理可得， ， ， ． 26．如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证明即可求证． 【详解】证明：∵于，于， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 27．已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，，，，故； （2）由（1）得，故，故，故，又，故，，故，从而平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分． 题型08.格点图中画等腰三角形 28．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 29．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，，根据和进行格点探寻即可． 【详解】解：根据题意，，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个， 故答案为：7． 30．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 题型09.找出图中的等腰三角形 31．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 32．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 33．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 题型10.直线上等腰三角形找点问题. 34．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 35．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，则，再分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入得， ∴， 设， ∴， 当，则，∴， 解得：或（舍）， ∴； 当，则，∴, 解得：， ∴； 当，即，∴， 解得：， ∴或， 综上所述：是等腰三角形，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 36．如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与y轴有2个交点，点，故有2个等腰三角形； 当时，作出的垂直平分线，与y轴有1个交点，故有1个等腰三角形； 综上所述，满足条件的点的个数是3个． 37．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点．点的坐标为，点是轴上一动点．    (1)求一次函数表达式和点的坐标； (2)连接，若的面积为10，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)或 (3)存在点，坐标分别是或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对应的，，即可得出答案； （2）由三角形的面积求出，则可求出的长，则可得出答案； （3）分三种情况讨论，①若，②若，③若，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：把代入中， 得，解得：， 所以，一次函数解析式为； 当时，， ， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点是轴上一动点， ∴或； （3）解：设， ①若， ， ，（舍去）， ； ②若， ， 或， 或； ③若， ， ， ． 综合以上可得，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象与性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型11.图形中等腰三角形找点问题 38．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．   . 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 【答案】，，或 【分析】设，根据勾股定理求出的长，再分为腰和为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：设， 点、的坐标分别为，， 当为等腰三角形的腰时， 若，则； 若，即，解得或， 或； 当为底时，，解得， 综上所述，点的坐标为：，，或 40．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定．利用勾股定理求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据等腰三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项A不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项B不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项C不符合题意； 对于点， 设直线的解析式为，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴点不能与，两点构成三角形，则选项D符合题意； 故选：D． 题型12.反证法证明中的假设 41．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设（    ） A．一个三角形中只有一个角是钝角 B．一个三角形中有两个角是钝角 C．一个三角形中三个角都是钝角 D．一个三角形中没有钝角 【答案】B 【详解】解：应先假设“一个三角形中有两个角是钝角”． 42．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 【答案】三角形的三个外角中至多有一个钝角 【分析】本题主要考查了反证法的应用．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，应先假设三角形的三个外角中至多有一个钝角， 故答案为：三角形的三个外角中至多有一个钝角． 43．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 44．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 【答案】证明见解析 【分析】结合题意，假设△ABC中每个内角都小于60°，根据三角形内角和定理的性质分析，即可得到答案． 【详解】假设△ABC中每个内角都小于60°， 则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾， ∴假设错误，即原结论成立， ∴在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 【点睛】本题考查了命题和三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理的性质，从而完成求解． 题型13.用反证法证明命题 45．用反证法证明“在中，，，中不可能有两个角是钝角”时，假设，，中有两个角是钝角，不妨令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（   ）． A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：假设、、中有两个角是钝角， 令，， 则， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故选：B． 46．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴______ ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数． ∴可设，代入，得______．可得______ ∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______．（填上序号） ①；    ②；    ③是偶数；    ④． 【答案】②①④③ 【分析】根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得是偶数，则p为偶数，可设，则，即可证明q也是偶数，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴， ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数， ∴也是偶数． ∴可设，代入，得．可得 ∴是偶数．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：②①④③． 【点睛】本题主要考查了用假设法证明，熟知假设法是解题的关键． 47．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题关键是明确反证法的步骤． 反证法证明命题时，应假设结论的反面成立．结论是，其反面是 与 不平行． 【详解】∵ 反证法需假设结论不成立，结论的反面是与 不平行， ∴ 应假设 与 不平行， 故选 B． 题型14.等边三角形的判定 48．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等边三角形的定义， 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分都为零，进而得到且，求出，即可得到是等边三角形． 【详解】∵，，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 49．如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用证明，进而解答判断①由，进而得到．求得，求出．所以是等边三角形，即可判断②，进而根据全等三角形的性质可得结合等腰三角形的性质，即可判断③和④，即可求解． 【详解】解：， ． ，， ． 是边的中点， ． ，， ． 在和中， ， ， ，故①正确 ∵， ∴， ． ． 是等边三角形．故②正确 ∵ ∴ 又∵ ∴，故③正确， 连接， ∵ ∴ 又∵ ∴垂直平分，故④正确 故选：A． 50．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 51．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型15.等边三角形的判定与性质 52．如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 53．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，求的长； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）结合已知条件证，然后证，即可求证． 【详解】（1）解：是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）证明：， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形． 54．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型16.等腰三角形中的折叠问题 55．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，根据折叠的性质得到，，，设，分别表示出和，再根据是等腰三角形，分3种情况讨论，列出关于的方程，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将向下折叠，使与重合， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，的度数为或或． 56．如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，，利用三角形外角性质得，即可得，最后利用等角对等边得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∵， ∴， ∴． 57．综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． （2） 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． （3）解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 题型17.等腰三角形动点问题 58．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ． 59．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 60．如图，在中，，，，M，N是边上的两动点，点M从点B出发向点C以的速度运动，点N从点C出发向点B以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接，，设运动的时间为． (1)用含t的式子表示出的值． (2)当时，通过计算说明的形状． 【答案】(1) (2)是以为斜边的直角三角形 【分析】（1）过点A作于点D，根据，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，利用勾股定理解答即可； （2）先求出，然后在和中，利用勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点D． ，， ， ， ． ，， 点M始终在上运动． 根据题意得，则， 在中，． （2）解：， ，． 由（1）得，， ，， ． 在中，， 在中，． ，， ， 是以为斜边的直角三角形． 题型18.等腰三角形中的最值问题 61．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证明是的垂直平分线，得到，根据等边三角形的性质得，再结合，，得的最小值是，最后根据勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵在等边中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点P，E分别为上的动点， ∴， 当点与点重合，三点共线时，则有最小值， ∵，， ∴． ∴的最小值为． 62．如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于，过作于，当三点共线，时，最小为，利用求解即可. 【详解】解：过点作于点，交于，过作于， ∵，点是边上的中点， ∴即：是的对称轴， ∴，， ∴， 当三点共线，时，最小为， ∴， ∴， 即：的最小值是. 63．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】先由等边三角形性质、含直角三角形性质，将转化，从而得到，再结合等边三角形性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在等边中，，则平分，是边上的中线， ，， 则等边的边长为， 在中，，，则， ， 即当三点共线，且时，有最小值，为长， 在等边中，，则是边上的中线， ， 在中，，则由勾股定理可得， 则当有最小值时，最小值为． 64．如图，在中，，，，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，将沿着直线翻折，点的对应点为点，在线段上取一点，使，过点作的垂线，交于点，得到，，当，，共线时，可以取得最小值，最小值为，点与点重合时，此时有最小值． 【详解】解：如图所示，将沿着直线翻折，点的对应点为点，在线段上取一点，使，过点作的垂线，交于点． ∵， ∴． ∴． 根据图形翻折的性质可知， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴当，，共线时，可以取得最小值，最小值为． ∵， ∴． ∴当点与点重合时，，此时有最小值． ∴的最小值为． 题型19.等腰三角形存在性问题 65．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 【答案】4或或3 【分析】先求出点坐标，再分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 设， ∵轴， ∴， 当为等腰直角三角形时，分3种情况： ①时，则轴，， ∴，，解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，则与点重合，，解得， ∴； ③当时，则，即点在的中垂线上，， 设的中点为，则，即， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为4或或3. 66．如图，把一副三角板按照图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．，，，，．从图1的位置出发，以的速度沿方向匀速运动，如图2，与相交于点N，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为t秒，当是等腰三角形时，t的值为___． 【答案】或 【分析】先根据已知条件解三角形求出，，，，再根据等腰三角形的性质分两种情况：①；②，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ①若，如图， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ； ②若，如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵，即， ， ， ， ． 综上所述，的值为或. 67．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接，，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)符合要求的Q点坐标为或或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可确定点的坐标； （2）设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，可得，求出，即，根据题意设，则有，利用三角形面积公式列方程，据此求解即可； （3）分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，以上、、、、即是满足要求的Q点，先利用勾股定理求出，采用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数，满足， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线交y轴于点G，如图， 当时，， ∴， ∵轴，， ∴，即， 根据题意设， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，如图， ∴，， ∵，，轴， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵轴， ∴， ∴在中，   ， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，设点点坐标为，且，即， ∴， 解得， ∴， 综上所述：符合要求的Q点坐标为或或或或． 题型20.等腰三角形规律探究题 68．如图，已知：，点在射线ON上，点在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为____． 【答案】64 【分析】首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为，的边长为，以此规律可得，的边长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为，的边长为，的边长为，以此规律可得的边长为． 69．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形及三角形的外角性质可得的边长为（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理可得，，， ∴的边长为，的边长为， ， ∴的边长为（为正整数）， ∴的边长为． 70．如图，点的坐标为，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，按此规律一直跳下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，利用直角三角形的性质得出，，再利用勾股定理求得，然后求得，同理可求得、，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ......， ∴， ∴的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记等腰三角形、等边三角形的定义，分清腰、底边、顶角、底角。 2.掌握两大核心性质：等边对等角、三线合一，熟记使用前提。 3.掌握判定方法：定义法、等角对等边。 4.熟练掌握等边三角形的性质与三种判定方法，牢记内角均为 60°。 1.能熟练进行边角计算，掌握等腰三角形分类讨论思想（边长、角度双解问题）。 2.会添加辅助线：作底边高、中线、角平分线，利用三线合一解题。 3.能区分三线合一适用范围，规避易错陷阱。 4.可结合平行线、角平分线、全等三角形，解决综合题型与折叠题型。 1.选择填空：快速求解边长、角度，攻克多解陷阱题，杜绝易错丢分。 2.基础解答：能规范书写证明过程，熟练运用性质与判定定理。 3.中档大题：灵活运用三线合一，秒杀角平分模型、平行线等腰模型。 4.压轴题型：掌握等腰三角形常见几何模型，能解决折叠、动态、综合证明题。 题型01.等边对等角 题型02.三线合一 题型03.等边三角形的性质 题型04.等角对等边证明等腰三角形 题型05.等角对等边证明边相等 题型06.等角对等边求边长 题型07.等腰三角形的性质与判定 题型08.格点图中画等腰三角形 题型09.找出图中的等腰三角形 题型10.直线上等腰三角形找点问题 题型11.图形中等腰三角形找点问题 题型12.反证法证明中的假设 题型13.用反证法证明命题 题型14.等边三角形的判定 题型15.等边三角形的判定与性质 题型16.等腰三角形中的折叠问题 题型17.等腰三角形动点问题 题型18.等腰三角形中的最值问题 题型19.等腰三角形存在性问题 题型20.等腰三角形规律探究题 知识点01:基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点04:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点05:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点06:高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 三线合一误用 在腰上作高、中线、角平分线，强行套用三线合一 该性质只适用于顶角和底边，腰上线段不满足 角度计算漏解 已知内角，未区分顶角、底角，只算一种答案 分两类讨论，且底角必须小于90，结合内角和验证 边长计算漏解 已知边长，未区分腰、底边，直接计算周长 分情况讨论，必须用三角形三边关系检验，舍去无效解 性质与判定混淆 分不清 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的用法 边相等推角相等用性质；角相等推边相等用判定 等边三角形判定失误 看到三角形有60角，直接判定为等边三角形 前提必须是等腰三角形，缺一不可 题型01.等边对等角 1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，．则_______． 3．如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 4．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 题型02.三线合一 5．如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______． 6．如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 8．如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型03.等边三角形的性质 9．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 10．如图，是等边三角形，F是的中点，D在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，的延长线交于H，连接，则以下结论： ①； ②； ③当D在线段上（不与B、C重合）运动，其他条件不变时，是定值； ④当D在线段上（不与B、C）重合，其他条件不变，是定值． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 12．如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 题型04.等角对等边证明等腰三角形 13．已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 14．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 15．已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 16．如图，锐角的两条高、相交于点O，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 题型05.等角对等边证明边相等. 17．如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 18．如图，在中，，，平分，交于，，交于． (1)求的度数； (2)是____三角形． 19．已知：如图，在中，，，，、交于点． (1)求证：； (2)请判断与的大小关系并证明． 题型06.等角对等边求边长 20．如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 21．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 22．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 23．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 题型07.等腰三角形的性质与判定 24．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 25．如图，在等腰中，，，点在边上，且，过点作于点，则线段的长为（     ） A． B．2 C． D． 26．如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 27．已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 题型08.格点图中画等腰三角形 28．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 29．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 30．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型09.找出图中的等腰三角形 31．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 32．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   33．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 题型10.直线上等腰三角形找点问题. 34．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 35．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为______． 36．如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 37．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点．点的坐标为，点是轴上一动点．    (1)求一次函数表达式和点的坐标； (2)连接，若的面积为10，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11.图形中等腰三角形找点问题 38．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 39．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 40．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型12.反证法证明中的假设 41．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设（    ） A．一个三角形中只有一个角是钝角 B．一个三角形中有两个角是钝角 C．一个三角形中三个角都是钝角 D．一个三角形中没有钝角 42．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 43．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 44．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 题型13.用反证法证明命题 45．用反证法证明“在中，，，中不可能有两个角是钝角”时，假设，，中有两个角是钝角，不妨令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（   ）． A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对 46．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴______ ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数． ∴可设，代入，得______．可得______ ∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______．（填上序号） ①；    ②；    ③是偶数；    ④． 47．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 题型14.等边三角形的判定 48．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 49．如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 50．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 51．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 题型15.等边三角形的判定与性质 52．如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 53．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，求的长； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 54．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 题型16.等腰三角形中的折叠问题 55．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 56．如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 57．综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 题型17.等腰三角形动点问题 58．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 59．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 60．如图，在中，，，，M，N是边上的两动点，点M从点B出发向点C以的速度运动，点N从点C出发向点B以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接，，设运动的时间为． (1)用含t的式子表示出的值． (2)当时，通过计算说明的形状． 题型18.等腰三角形中的最值问题 61．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 62．如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 63．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ） A． B． C．10 D．12 64．如图，在中，，，，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型19.等腰三角形存在性问题 65．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 66．如图，把一副三角板按照图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．，，，，．从图1的位置出发，以的速度沿方向匀速运动，如图2，与相交于点N，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为t秒，当是等腰三角形时，t的值为___． 67．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接，，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型20.等腰三角形规律探究题 68．如图，已知：，点在射线ON上，点在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为____． 69．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 70．如图，点的坐标为，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，按此规律一直跳下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $