精品解析：2025年山东省济南市商河县中考二模数学试题

2025年九年级学业水平第二次模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 济滨高铁是连接济南和滨州的一条重要铁路，全长约145000米，设计时速350千米/小时，预计2026年9月底具备通车条件．数字145000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 4. “爱护环境，从我做起！”下列环保标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 小明准备在年春节期间去看电影，他想在《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A B. 4 C. D. 5 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的伴融合点，例如：，，当点满足，时，则点是点，的伴融合点．如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点，的伴融合点．那么，所有的点中最高点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知，则代数式的值为_____． 12. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 13. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为___________． 15. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，求证：CE=DF． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 20. 如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的各25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息． a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图（不完整）如图． b．在九（1）班模型设计分数中，分布在这一组的数据为：86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89 c．九（1）班、九（2）班模型设计分数的平均数、众数、中位数如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 九（1）班 86 九（2）班 87 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全九（1）班模型设计分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为 ，的值为 ； （3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高． 22. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 24. 综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求度数； （3）如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 25. 已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则 ； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于，则 ； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若于G，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级学业水平第二次模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据实数的大小比较方法，比较出这几个数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：， 故选：A． 2. 济滨高铁是连接济南和滨州的一条重要铁路，全长约145000米，设计时速350千米/小时，预计2026年9月底具备通车条件．数字145000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选B． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 4. “爱护环境，从我做起！”下列环保标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式法则逐个计算可得结论． 【详解】解：A．，故选项A计算错误； B．，故选项B计算错误； C．，故选项C计算正确； D．，故选项D计算错误． 故选：C． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 故选：B． 8. 小明准备在年春节期间去看电影，他想在《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 根据列树状图得出共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，即抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》结果数为种，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》《熊出没：重启未来》这四部电影分别用，，，表示，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，即抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》结果数为种， ∴小明抽中《哪吒之魔童闹海》和《唐探》的概率是， 故选：． 9. 如图矩形中，，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、矩形的性质等知识，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．连接，根据对称的性质和垂直平分线的性质求出，从而推出，然后设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，则可解决问题． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 如图，连接， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 由作图可知，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，即． 故选：C． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的伴融合点，例如：，，当点满足，时，则点是点，的伴融合点．如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点，的伴融合点．那么，所有的点中最高点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质，设，，由点是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意设，， ∵点是点Q，P的伴Q融合点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴最高点， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 12. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握概率公式．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，可得摸到蓝球的概率为， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此的值最可能是． 故答案为：． 13. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 15. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 详解】解∶ 正方形 取的中点，连接，且交于点 为的中点 ， 四边形为平行四边形 四边形是正方形 关于对称 ，即与重合时，最小，最小值为的长 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别求出两个不等式的解集，即可求得两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 18. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，求证：CE=DF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】欲证明CE=DF，则可依据AAS证明△BEC≌△CFD得到． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，BA∥CD， ∵CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F， ∴∠CEB=∠CFD=90°， ∵BA//CD，， ∴∠B=∠DCF， 在△BEC和△CFD中， ， ∴△BEC≌△CFD（AAS）， ∴CE=DF． 【点睛】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．熟记菱形的各种性质是证题的关键． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 【答案】（1）3m （2）塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 20. 如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用∠得到，即可得出结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接、，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，∵，，， ∴， 解得， 即的半径为3． 21. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的各25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息． a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图（不完整）如图． b．在九（1）班模型设计分数中，分布在这一组的数据为：86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89 c．九（1）班、九（2）班模型设计分数的平均数、众数、中位数如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 九（1）班 86 九（2）班 87 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全九（1）班模型设计分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为 ，的值为 ； （3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高． 【答案】（1）见解析 （2）86；87 （3）九（1）班最终成绩更高 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数和加权平均数，正确读懂统计图并熟知中位数，众数和加权平均数的定义是解题的关键． （1）求出九（1）班这一组的频数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用对应项目的得分乘以其权重求出两个项目的得分，再求和求出总分，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，九（1）班这一组的频数为12， ∴九（1）班这一组的频数为， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：∵九（1）班数据中得分为86分有5人，人数最多， ∴九（1）班数据的众数为86分，即， ， 把九（1）班25人的得分按照从低到高排列处在第13名的得分为87分， ∴九（1）班数据的中位数为87分，即； 故答案为：86；87； 【小问3详解】 解：九（1）班的成绩为（分）， 九（2）班的成绩为（分）， ∵， ∴九（1）班最终成绩更高． 22. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 【答案】（1）A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用． （1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案． 【小问1详解】 解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递； 【小问2详解】 解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据的面积与的面积相等，得到D点的坐标． （1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题； （3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，依据，即可得出的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 小问3详解】 解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接，， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为10， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线l2的函数表达式为． 24. 综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求的度数； （3）如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可； （2）先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （3）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴， 在中，当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 25. 已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则 ； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于，则 ； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若于G，请直接写出的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得解； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得解； （3）在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证． （4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，在的延长线上取点，使，         则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （4）过点C作于点M，作于点N，设， ， 四边形为矩形， ∴，， ∴， 为公共边， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即， 解得（舍），或， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$