精品解析：陕西咸阳市乾县马连大乙私立学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱台的顶点数，再判断各选项中几何体的顶点数即可得结论． 【详解】三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4， 四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，则， 则. 3. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理边角互化及二倍角公式，结合充分条件与必要条件定义讨论即可得. 【详解】由，得 ，即； 由，得 ，则 ，不一定满足； 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（ ） A. . B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，设，则， 故，消去得. 5. 欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，即，， 故，则 ，解得，则. 6. 已知是的重心，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是的重心，所以， 则在上的投影向量为. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，由正弦定理得， 其中 ， 则米. 因为，所以米. 8. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以 ， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量模长概念、垂直关系可判断AB，通过反例可判断CD. 【详解】由，得，则，A正确. 由，得或或不正确. 取，满足，此时不相等，C不正确. 取，满足，此时不相等，D不正确. 10. 如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（ ） A. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C. 该旋转体的表面积为 D. 该旋转体的体积为 【答案】BC 【解析】 【详解】由题知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成，半球体的半径为3，圆锥体的底面半径为3，高为6，母线长为， 则该旋转体的表面积为，体积为. 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式并结合正弦定理判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断B，利用两角差的余弦公式结合辅助角公式判断C，结合题意得到，进而求出角度判断D即可. 【详解】对于A，因为，由，解得， 由两角和的正弦公式得， 由正弦定理得，故A正确； 对于B，由余弦定理，， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 得到，即，解得，故B错误； 对于C，由题意得 ，由，得，则 因为，所以，故有，即C正确； 对于D，由题意得 ，则， 由，得，则 或 ， 解得或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，___________． 【答案】9 【解析】 【详解】由题可知，， 则在原图中， ，则 14. 已知向量满足 ，且 ，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】如图，记， 则，， 可得 则. 取的中点，则 ， 则， 则， 故是以为圆心，2为半径的圆上的动点， . 易得 ，所以. 所以的最大值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算及模长公式计算即可得； （2）借助向量坐标运算、模长公式与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 则； 【小问2详解】 因为，所以， 则. 设与的夹角为， 则. 16. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可得， 则 解得 【小问2详解】 由（1）可得 ， 则 解得 ，即的取值范围为. 17. 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的表面积与容积； （2）若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱表面积、体积公式求解； （2）利用圆台体积公式求解. 【小问1详解】 因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2， 则该容器的表面积为， 容积为. 【小问2详解】 由题可得圆锥体容器的高为2. 设水面的高度为，半径为，则，即， 则 ， 则 ， 整理得， 则，即圆锥体容器中水面的高度为. 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【小问1详解】 因为，所以. 又是的中点，所以， 从而. 【小问2详解】 （方法一）因为是线段上的点， 所以. 又，所以 . 由，得，故的取值范围为. （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 记的交点为，易得， 则， 则， 则，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题可知， 因为，所以 . 又，所以， 则，从而， ， 则， 则. 19. 如图，在平面四边形中， . （1）若，求； （2）判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； （3）若 ，设的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理即可得结果； （2）分别在和中，两次运用余弦定理即可得结果； （3）根据三角形面积公式结合（2）中的结论，将表示为关于的函数，求其函数值域即可. 【小问1详解】 设，则 . 由，得. 在中，. 【小问2详解】 在中， . 在中， ， 则 ， 得， 故 是定值，且该定值为. 【小问3详解】 ， ， 则. 由（2）可知， 则， 则. 设 ，则. 由，得. 令 ，则. 易知函数在内单调递减，则 ， 则， 则， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且，则（ ） A. . B. C. D. 5. 欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的重心，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（ ） A. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C. 该旋转体的表面积为 D. 该旋转体的体积为 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，___________． 14. 已知向量满足 ，且 ，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 17. 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的表面积与容积； （2）若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度. 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 19. 如图，在平面四边形中， . （1）若，求； （2）判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； （3）若 ，设的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $