精品解析：陕西榆林市第十四中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

榆林市第十四中学期中检测 高一数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 6. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（ ）（参考数据：） A. 88m B. 72m C. 60m D. 54m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 13. 已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 16. 在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． （1）求的值； （2）若是线段的中点，求的值． 17. 如图所示，在中，点满足，点满足，线段与线段交于点． （1）用和表示； （2）求的值． 18. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. （1）已知向量，求； （2）设向量，且，证明：； （3）已知向量，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第十四中学期中检测 高一数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数为代数形式，然后根据其几何意义写出对应点坐标，从而判断所在象限． 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】因为向量，，且，所以， 即，解得. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出另一边所对角的正弦值，再结合大边对大角以及三角形内角的取值范围确定角的大小即可. 【详解】根据正弦定理知， 因为，，， 所以， 又因为，所以，所以． 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 5. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 即，，所以， 所以． 6. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则 的最大值为． 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设， 则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：A． 8. 安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（ ）（参考数据：） A. 88m B. 72m C. 60m D. 54m 【答案】B 【解析】 【分析】设，用表示，然后应用余弦定理求解. 【详解】设，在中，，，则， 在中，，则. 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去负值）， 所以该塔高为72m. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰的三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得 ，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果. 【详解】与共线的单位向量为，且， 所以与共线的单位向量为或. 13. 已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程的根代回方程，结合复数的性质建立关于的方程并求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，， 所以． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出； （2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出. 【小问1详解】 ， 所以． 【小问2详解】 由，得 ， 即， 所以 ，解得，， 故． 16. 在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． （1）求的值； （2）若是线段的中点，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可； (2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可 【小问1详解】 因为，且为锐角，所以， 又因，由余弦定理，． 【小问2详解】 因为是线段的中点，所以， 则， 即，即的值为． 17. 如图所示，在中，点满足，点满足，线段与线段交于点． （1）用和表示； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的加法法则计算可得； （2）结合图形，由向量共线的基本定理计算可得. 【小问1详解】 因为，则． 由，得． 【小问2详解】 因为，，三点共线，设，则， 所以， 由，得，所以， 设，由（1）得，所以， 所以解得，， 所以． 18. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及三角形的面积表示，化简求得的值； （2）利用余弦定理及二次函数性质求得的最大值． 【小问1详解】 由及， 得， 又，所以，所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，且，即． 因为，， 所以， ， 所以， 因为为锐角三角形，所以解得， 所以， 令，则， 所以当时，取得最大值． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. （1）已知向量，求； （2）设向量，且，证明：； （3）已知向量，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解； （2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可； （3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解. 【小问1详解】 设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. 【小问2详解】 设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. 【小问3详解】 由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $