精品解析：江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期5月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得最小正周期为，逐项求出或利用图像求出函数的周期，即可得出结论. 【详解】周期为，选项A不正确； 周期为，选项B不正确； 做出图像，不是周期函数，选项C不正确； 周期为，正确. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数的周期，要注意带有绝对值函数的图像变化，属于基础题. 2. 下列式子中，不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：； B：； C：； D：； 故选：B 3. 函数的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由函数 由可得 经检验，只有符合上式，故只有A符合题意. 4. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 设，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以. 故选：C. 5. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 6. 已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，再由直线方程得，这样由向量的运算得出点坐标，把点坐标代入抛物线方程可求得值，得抛物线的标准方程、焦点坐标． 【详解】设，，，由 得，易知， 所以．， 由可得， 则， 将其代入抛物线的方程得， 因为，解得， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为． 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标为，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理，结合向量的线性运算，用参数表示出点坐标，代入抛物线方程后可求得参数值，得结论． 7. 已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数的图象，然后令，讨论的范围，得到与的图象交点的个数，再结合交点的值讨论的解得个数，即可求出方程的根的不可能的个数． 【详解】画出函数的图象如图， 令， 当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，，且， 当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解， 当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个； 当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且， 当时，该方程有两解，时，该方程也有两解， 当时，方程的根的个数为4个； 综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个． 故选：A 【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，以及符号函数的性质，同时考查了作图的能力，分析问题的能力和转化的思想以及分类讨论的思想．属于中档题． 8. 已知点是的外心，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知，，且，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：由于，即2和3都为第二象限角，即可判断；选项B：根据正切函数的定义域即可判断；选项C：根据复合函数的单调性的定义，结合对数函数及二次函数的单调性，即可判断；选项D：根据基本不等式即可判断. 【详解】选项A：由于，故，， 故，故A错误； 选项B：由，得，故B正确； 选项C：由，得， 且此时的单调减区间为，又为单调递减函数， 故的单调增区间为，故C错误； 选项D：由，，且， 得， 当且仅当，即，结合，得时， 不等式取等号，故的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由图象可得，最小正周期，∴， 将点代入得，，∴， ∵，∴，故，选项A错误. B.，由得， 由在上单调递增得，，解得， ∴的取值范围为，选项B正确. C.由得，，即， ∴，故不等式的解集为，选项C正确. D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数图象对称中心的纵坐标为2，选项D错误. 故选：BC. 11. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（ ） A. 直线AB过定点(－1，2) B. MN的最小值为 C. ∠MPN为锐角 D. 最小值为－1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由写出切线方程，将代入可得直线方程，整理可得恒过定点；对B：联立直线与抛物线方程得，，求出M，N的横坐标，求的最小值即可；对C：将化为判断正负即可；对D： 将视为关于的函数求最小值； 【详解】 设， 由得，所以处切线斜率 ， 所以切线的方程为：， 将代入得， 整理得切线的方程为：，同理切线的方程为：， 将代入切线，方程得， ， 所以直线，即， 将代入得， 所以直线AB过定点(－1,2)，故A正确； 将直线的方程代入 得， 由直线AB过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点， 所以， 在直线的方程中令得的横坐标，故， 同理的横坐标，， 所以， 当时取最小值为，故B正确； ， 当时，为钝角，故C错误； ， 当即时，最小值为－1，故D正确； 故选：ABD 【点睛】结论点睛：定义:已知曲线,则称点和直线是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线. 已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是: ①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线; ②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦; ③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. ，，若，且，求 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算及正切函数求值即可求解. 【详解】由可得，即， 又，所以. 故答案为：. 13. 已知在中，角的对边为，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理得到，进一步利用三角恒等变换，根据关系式整理出结果. 【详解】在中, 角的对边为，若， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 14. 已知平面向量，，若，，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得，再根据数量积的运算律求解向量的模即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用诱导公式将所求代数式化为的三角函数值的代数式，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用诱导公式将代数式化为锐角的三角函数值，化简计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简计算，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知向量满足，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再，与的夹角为，利用向量的数量积公式求出结果； （2）由向量与垂直，知，由此利用平面向量的数量积求出结果. 【小问1详解】 因为向量满足，与的夹角为， ， 所以＝， 【小问2详解】 因为向量与垂直， 所以(， 所以， 所以， 解得：. 17. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形的内角和与两角和与差的三角函数公式化简可求角. （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 因为为三角形内角，所以，所以， 得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 ∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴， 故的面积的取值范围为． 18. 如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用表示； （2）设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则和平面向量基本定理，用基底表示出向量即可； （2）根据向量共线时系数的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【小问1详解】 由题意可知. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为三点共线，所以， 则， 可知，当且仅当时，即时取等号， 所以 19. 对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. （1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值； （2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； （3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解； （2）易知对称轴为，分、讨论即可； （3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”. 所以，，其值域为. 则，又，解得. 【小问2详解】 函数，对称轴为. 设的 “倍值区间” 为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得： ，，. 所以，所以， 即， 同理可得， 所以方程在上有两个不等的实跟， 所以，解得； 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的大于等于的根. 令，则， 解得或， 解得，解得，此时无解. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得: ，，， 代入得， ，，无解. 若，在上单调递增， 则，所以， 当，，则“倍值区间”的端点必须均为负数，此时“倍值区间”唯一，符合题意； 所以，且，则，得且. 又，， 消去得（无解），或者，解得或（舍去）； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期5月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 4. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，在上的投影的数量为，则（ ） A. 6 B. C. D. 6. 已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则方程的根的个数不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知点是的外心，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知，，且，则的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 11. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（ ） A. 直线AB过定点(－1，2) B. MN的最小值为 C. ∠MPN为锐角 D. 最小值为－1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. ，，若，且，求 _____. 13. 已知在中，角的对边为，若，则_____. 14. 已知平面向量，，若，，且，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算：（1）； （2）. 16. 已知向量满足，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数t的值． 17. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 18. 如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用表示； （2）设，，求的最小值． 19. 对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. （1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值； （2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； （3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $