精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一下学期6月阶段性检测数学试卷

丰城九中2025-2026学年下学期高一年级6月阶段性数学检测 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 六棱锥 B. 五棱柱 C. 四棱台 D. 圆台 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 4. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 5. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 直线与平面一定有公共点 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 平面内不存在与直线平行的直线 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 4 8. 如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 11. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“___________” 13. 已知函数．若对任意实数都有，则的最小值为___________． 14. 若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 17. 已知，且，向量． （1）若，求实数的值． （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 已知函数的周期是 （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年下学期高一年级6月阶段性数学检测 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 六棱锥 B. 五棱柱 C. 四棱台 D. 圆台 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算每个选项中几何体的总面数，筛选出总面数为6的几何体. 【详解】对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误； 对于B：棱柱总面数 = 侧面数 + 2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误； 对于C：棱台总面数 = 侧面数 + 2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确； 对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以z的共轭复数为． 3. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 4. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 5. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 直线与平面一定有公共点 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 平面内不存在与直线平行的直线 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线不平行于平面，则直线在平面内或直线与平面相交； 对于A：若直线在平面内，则平面内的所有直线都与直线共面，故A错误； 对于B：无论直线在平面内或直线与平面相交，直线与平面一定有公共点，故B正确； 对于C：若直线在平面内，则平面内存在直线与直线平行，故C错误； 对于D：若直线在平面内，则平面内存在直线与直线平行，故D错误． 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过引轴，由正弦定理可得答案. 【详解】如图所示，过引轴，交轴于点，则长度的两倍即为所求， 在中，，即， 解得，即原图形与间的距离为. 故选：C． 8. 如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】因为是BC中点， ， 因为M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，， ，所以，故D正确． 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的， 因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误； 对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确； 对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确； 对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误. 11. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合二倍角余弦公式推理判断AD；利用正弦函数单调性推理判断B；利用正弦定理，结合三角形解的情况求出范围判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，在锐角△ABC中，，而正弦函数在上单调递增， 因此，即，B正确； 对于C，由及正弦定理，得，而△ABC只有一解， 因此或且，解得或，C错误； 对于D，由，得，而， 则，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“___________” 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 13. 已知函数．若对任意实数都有，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是最小值、是最大值，先求出的周期，余弦函数最值相邻两点最小间距为半个周期，即可算出最小值为1. 【详解】已知函数，对任意实数都有. 由此可知为函数的最小值，为函数的最大值. 该余弦函数的角频率，根据周期公式可得周期. 余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，即，因此的最小值为. 14. 若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先计算圆锥的轴截面的顶角，进而可判断圆锥的两条母线夹角，再由三角形的面积公式及三角函数性质可得. 【详解】已知圆锥轴截面是底角为的等腰三角形，因此轴截面的顶角为： 圆锥母线长. 设任意两条母线的夹角为（），截面为等腰三角形，腰长均为母线长， 因此截面面积为 因为，当且仅当时等号成立. 因此过圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对原式化简，结合求解即可； （2）利用二倍角公式对原式化简，结合和同角三角函数基本关系式求解和，进而求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 又，所以，则， 故． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 17. 已知，且，向量． （1）若，求实数的值． （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，利用列出关于的方程，解方程求出； （2）由与的夹角为锐角，得出，解不等式求的范围，根据与共线，构造方程求出，排除共线的情况，最终得出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 解得， 已知，则 ， 解得． 【小问2详解】 与的夹角为锐角，则， 解得， 若与共线，则，解得或， 其中不在区间内，只需排除， 故实数的取值范围为． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 19. 已知函数的周期是 （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为， 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换化简函数，结合周期公式求出，进而得到函数解析式； （2）将不等式转化为正弦型不等式，利用正弦函数的单调性求解； （3）通过换元法将的范围转化为的范围，结合正弦函数的图像与性质确定的取值范围和的值. 【小问1详解】 ， 又， . 已知函数周期，且，故，解得. 因此. 【小问2详解】 解不等式，即. 根据正弦函数的图像性质，的解为. 令，代入得： ，解得 故不等式的解集为. 【小问3详解】 令，当时，，方程等价于. 结合在上的图像： 当时，直线与有两个不同的交点，对应两个不同的； 当时，仅有一个交点；当或时，交点数不足2. 因此的取值范围为. 由正弦函数的对称性，若，则，即，整理得，故. 【点睛】方法归纳：本题的核心是将复杂的三角函数式化简为正弦型函数，再结合三角函数的周期性、单调性与图像性质求解问题，常用的技巧有三角恒等变换、换元法与数形结合法. 易错归纳：1. 三角恒等变换中公式记忆错误，如两角和的正弦公式与余弦公式混淆； 2. 解三角不等式时，对正弦函数的区间判断失误； 3. 换元后未准确确定新变量的取值范围，导致的范围求解错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $