上海市复旦大学附属中学2026届高考临考冲刺限时练习数学试题

**基本信息** 复旦附中2026届高考冲刺数学卷，以创新情境与分层设计为特色，覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题融合新定义与实际应用，适配高考综合能力考察需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合、二项式定理、椭圆与双曲线、线性回归、数列|第4题线性回归结合残差分析，考察数据意识；第11题球面距离关联球体积与表面积，体现空间观念| |选择题|4题18分|圆的对称、复数比较、函数零点、双曲线性质|第16题双曲线与等差等比数列综合，考察逻辑推理；第15题函数零点个数需周期性分析，体现数学思维| |解答题|5题78分|立体几何证明与距离、概率统计应用、函数新定义、抛物线综合|第18题口罩质量频率分布直方图，结合分层抽样与分布列，体现应用意识；第21题“极值差比函数”新定义，考察创新意识与抽象能力|

Sheet1 2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习 题号 题目满分 知识点 能力水平 得分率 1 4 集合 解分式不等式 绝对值三角不等式 识记 2 4 二项式定理 识记 3 4 椭圆与双曲线的焦点 标准方程 识记 4 4 线性回归方程 残差 识记 5 4 导数 识记 6 4 事件的独立性 条件概率 识记 7 5 累乘法 错位相减法 数列求和 理解 8 5 对数函数 绝对值型函数，不等式 函数的单调性 理解 9 5 排列组合 计数原理 函数的定义 应用 10 5 正态分布 赋值法求二项展开式的系数和 导数 应用 11 5 立体几何 球的体积表面积公式 空间向量 应用 12 5 正余弦定理 降幂升角公式 倍角半角公式 耐克函数 综合 13 4 直线与圆 基本不等式 理解 14 4 复数 作差法比大小 理解 15 5 指数函数 二次函数 三角函数 函数的周期性 应用 16 5 双曲线的离心率 等差数列 等比数列 幂函数 综合 17（1） 7 面面垂直的证明 理解 17（2） 7 空间直角坐标系的应用 理解 18（1） 3 频率分布直方图 平均数 识记 18（2） 5 百分位数 理解 18（3） 6 超几何分布 期望 方差 理解 19（1） 5 数学归纳法 应用 19（2） 5 反证法 理解 19（3） 4 函数的奇偶性 理解 20（1） 4 抛物线 识记 20（2） 6 平面向量 直线与圆锥曲线 理解 20（3） 8 飘带函数的性质 直线与圆锥曲线 应用 21（1） 4 函数的单调性与极值点 理解 21（2） 6 根与系数关系 韦达定理 应用 21（3） 8 导数 函数的构造 综合 $ 2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习 参考答案： 填空题（1~12题） 1. 2. 1120 3． 1 4． 11.6 5． 12 （该式意为函数） 6. 7. 8. (0,1) 9. 150 10. -12 （提示：两边求导） 11. 12. 选择题（13~16题） 13. C 14. A 15. B （提示：转化为指数函数和二次函数的交点问题，再根据周期性推理） 16. A （提示：关注课本即可判断结论（2）正确） 解答题（17~21题） 17． （1） ∵四边形是正方形， ∴．（1分） ∵平面平面，（1分） ∴．（1分） 又平面，平面，（2分） ∴平面．（1分） ∵平面，（1分） ∴ 平面平面． （2） 由题意及（1）得：在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，，（1分） 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为Z轴建立空间直角坐标系如下图所示： （1分） 可得：． （1分） 所以，（1分） 设平面的法向量为， 则得 当时，则， （1分） 设点B到平面的距离为， ， 则．（2分） 18． （1） 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为： ；（3分） 答：该厂商生产口罩质量指标值的平均数为123． （2） 由题设可得该质量指标的最小值即质量指标值的第60百分位数 （1分） ∵ ，（1分） 故第百分位数落在内（1分），设其为， 则，（1分） 解得：，故第百分位数为．（1分） 答：质量指标的最小值为125． （3） 一级口罩与二级口罩的个数比为，（1分） 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则：一级口罩有个，二级口罩有个，（1分） 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为，（1分） 又，，，（1分） 故的分布列如下： （1分） 数学期望为， （1分） 方差为． （1分） 19． （1） 猜测：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） （1分） 首先，当时，猜测成立；（1分） 其次，假设（）时，即猜测成立，. （1分） 则当时，. （1分） 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，． （1分） （2） 用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； （1分） 则：恒成立，化简得：恒成立； （1分） ∴ （1分） 这与矛盾，故假设不成立。 （1分） ∴ 不具有周期性． （1分） （3） 由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数， （1分） 则 定义域为R，关于原点对称， （1分） 有：，所以为定义域为R的奇函数， （1分） ∴ ． （1分） 20． （1） 点在抛物线上，代入得； （1分） ∴，； （1分） 设两直线夹角为 ∴ （1分） ∴两直线夹角为arccos （1分） （2） 抛物线的焦点为，由， 得： （1分） 联立直线与抛物线，得，（1分） 故，.（1分） 因此，. 因在抛物线上，故.（1分） 直线与抛物线有两交点，判别式，（1分） 代入得：， 又，故.（1分） （3） 设， 设直线的方程为， 由消去并化简得，（1分） ，则， （1分） 则，，故.（1分） 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即.（1分） 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：，（1分） 令，，（1分） 则. 令，. （1分） 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. （1分） 21． （1） 若为“极值差比函数”，由题意必定不单调增； 则，则对是“极值差比函数” （4分） （2）的定义域为，， （1分） 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则（1分），解得（1分），不妨设，则， 因为 ， （1分） 所以，从而，得（*） 令（），，（1分） 所以在上是严格增函数，所以，（1分） 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3） 由（2）知极值差比系数为，即，（1分） 不妨设，令，，极值差比系数可化为，（1分） ，又，解得，（1分） 令（），，（1分） 设（），，（1分） 所以在上单调递减，当时，，（1分） 从而，所以在上单调递增，所以，（1分） 即， 所以的极值差比系数的取值范围为.（1分） 【填空压轴解析】： 12： .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习 上海 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共5页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．若集合，集合，则 ． 2．已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为 ． 3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数的值为 ． 4．已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则 ． 5．计算： ． 6．设A,B是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 7．已知数列满足，，则数列前2026项的和为 ． 8．设函数，若 ． 9．满足定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{1,2,3}的函数个数为 ． 10．已知随机变量服从正态分布，满足，若： ，则 ． 11．球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为 ． 12．已知的内角A，B，C对边分别为a、b、c、h是AB边上的高，若，则的最小值为__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．8 14．设复数，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法比较 15．函数的零点个数为（ ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 16．已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（ ） （1）成等差数列的充要条件为 （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，每小问均为7分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，PD=AD=4，Q为上一点． （1）求证：平面PBD⊥平面ACQ； （2）当Q为PB中点时，求：点B到平面ACQ的距离． 18．（本大题共14分，（1）小问3分，（2）小问5分，（3）小问6分） 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； （2）若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； （3）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布及方差； 19．（本题共14分，（1）小问5分，（2）①小问5分，（3）②小问4分） 设函数对任意实数都有，． （1）当实数x,y均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； （2）已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①：求证：不具有周期性； ②：若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 20．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； （2） 设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3） 设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在R上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 第 1 页 共 2 页 2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习——梦想成真 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $