精品解析：湖北荆州市沙市第七中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

沙市第七中学2026春季学期高一期中考试 数学试卷 满分150分．考试用时120分钟． 命题人：王飞 审题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A和B，由，得的模相等，而它们的方向不确定，则向量不一定共线，所以A和B均错误； 对于C，取，满足，而可为任意方向，则不一定共线，C错误； 对于D，，由相等向量的意义，得，D正确. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 3. 已知点，，向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 4. 已知两个单位向量，的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意可得． 5. 已知函数，则角所在象限是（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第三象限或第四象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的性质可列不等式，即可根据三角函数的性质求解范围. 【详解】由题意可知：，解得或， 故或， 因此角所在象限是第一象限或者第二象限， 故选：A 6. 已知，且，则（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解. 【详解】由题意得，则， 又因为，所以，同号， 又因为， 则，同正， 所以，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 8. 三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，将代入， 可得 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意得，，则， 故AC正确，B错误； ，故D错误. 10. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，计算可判断；对B，根据平面向量基底的定义判断；对C，利用向量数量积运算判断；对D，根据投影向量的定义运算判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线，所以与可以作为平面的一组基底，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数进行化简得，根据三角函数图象平移规律可得平移后的函数解析式，进而可判断A；由求得，进而可求，，然后利用两角和的正弦公式求，即可判断B；由得和关于对称，求得，代入求解可判断C；根据条件及三角函数的性质列出的不等式，求解可判断D. 【详解】 . 将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数为：， 因为是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 若，则，. ， ， 所以 ，故B正确； 由得，即， 时，，又，则， 方程在内恰有两个根和， 则和关于对称，故，即， 由题意，，， 则， 所以 ，故C错误； 因为， 由，解得， 故函数的单调递减区间为， 因为函数在上单调递减， 所以， 则且， 因为，则时符合，即且，解得， 令，得，解得， 若函数在上有且只有一个零点， 所以有且只有一个整数解. 即有且只有一个整数解，则，解得， 综上可得，即的取值范围是，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量的模为2，向量与方向相同，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】向量的模为2，向量与方向相同，且，所以 13. 已知函数，且 ，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】构造新函数，根据函数奇偶性求解即可. 【详解】令， 因为， 所以函数是定义域内的奇函数， 因为， 所以. 14. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标．若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当_______时，． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据向量的数量积可得，求解即可. 【详解】解：由已知，，， ， 解得：． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 16. 已知． （1）求的值，并证明； （2）若，求的值． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1） 先由题意求出，再联立题设条件求出即可计算分析求解； （2）利用和两角和正切公式计算即可分析计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 又因为，所以． 所以． 17. 已知向量，，设． （1），求当取最小值时实数的值； （2）若 ①求； ②当向量与向量的夹角为，求出实数的值． 【答案】（1） （2）①； ②或 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模； （2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 当时，， 所以 所以，所以当时. 【小问2详解】 ①因为，则， 又，，所以，， 所以； ②依题意， 因为，所以， 又， 则有，且，整理得，解得或， 所以存在或满足条件． 18. 已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，. （1）求当时，的单调递增区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标也变为原来的倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的最值求得，再通过特殊点得，最后利用周期求得，则有，代入结论法求得所有的增区间，结合已知区间即可求解； （2）先根据三角函数变换法则求得的解析式，再根据函数有最大值没有最小值列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 依题意可得得， 又当时，，所以， 又，即，所以， 令得， 则在的单调递增区间为， 又，所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当且，求的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可得特征向量； （2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果 （3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点 坐标即可. 【小问1详解】 因为， 所以的相伴特征向量 【小问2详解】 由题可得向量的相伴函数为， 因为，即， 则， 因为，所以，则， 所以 【小问3详解】 由为的相伴特征向量， 得到， 所以， 设，则， 又因为， 所以 即 即 ① 因为，所以， 所以， 又因为， 所以当且仅当时，和同时等于，这时①式成立， 所以在的图象上是否存在一点，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙市第七中学2026春季学期高一期中考试 数学试卷 满分150分．考试用时120分钟． 命题人：王飞 审题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点，，向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个单位向量，的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知函数，则角所在象限是（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第三象限或第四象限 D. 第二象限或第四象限 6. 已知，且，则（ ） A. -1 B. C. D. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量的模为2，向量与方向相同，且，则___________． 13. 已知函数，且 ，则____________. 14. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标．若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当_______时，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 16. 已知． （1）求的值，并证明； （2）若，求的值． 17. 已知向量，，设． （1），求当取最小值时实数的值； （2）若 ①求； ②当向量与向量的夹角为，求出实数的值． 18. 已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，. （1）求当时，的单调递增区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标也变为原来的倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当且，求的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $