精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度下学期2025级 期中考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：裴艳、郭松 考试时间：2026年4月23日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 2. 若复数满足，其中为虚数单位.则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求. 【详解】由，可得， 所以， 则. 故选：C. 3. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 4. 若函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数周期为4，由求解即可. 【详解】因为可得的周期为4，则. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理即可求解. 【详解】由题意得，代入得， 由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 代入，得，故D正确. 7. 在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，故，利用正弦定理和三角恒等变换得到，由基本不等式可求解. 【详解】因为，故， 所以， 所以， 故 （*）， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故，解得， 所以，所以（*）式可取等号， 所以的最小值为. 故选：A 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，求得，设，令，得出，利用数量积的运算得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意得，又， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，故， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，，故， 因为，，所以， 所以在中，， 所以为等边三角形， 所以，所以， 设，由题意令，即， 解得，所以， 所以， 设，可得其对称轴为，且开口向上， 所以时，取得最小值，即的最小值为. 故选：B. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若为纯虚数，其中，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则 D. 若，则的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的概念计算可判断A；根据复数的几何意义判断BD；设，，根据及复数的运算得到，求出即可判断C. 【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，故A错误. 对于B：复数的模，若，则，所以，故B正确. 对于C，设，，则. 因为，所以，即，则，故C正确. 对于D，若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故D正确. 10. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 曲线的对称轴为， D. 将图象向左平移个单位后得到的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得到A正确，根据周期得到，根据得到，根据得到，B正确，计算对称轴得到C正确，根据平移法则得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，故，， 且 在的单调递减区间上，， 则，，故， 又，故，，正确； 对选项C：，由，解得，，正确； 对选项D：图象向左平移个单位得到： ，错误. 故选：ABC 11. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 角可能是锐角 B. C. 若，则面积的最大值为2 D. 若在上的投影向量模长为，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用降幂公式与三角形内角关系判断为钝角，即可排除A；对于B，利用余弦定理即可判断；对于C，根据A项结论求出，利用三角形面积公式，结合二次函数性质即可求其最大值；对于D，利用投影向量定义推出，进而求得，再由正弦定理与和角公式，同角基本关系式求得，最后由弦切互化即可判断. 【详解】对于A，由可得， 因为，代入可得，则， 因为，则为钝角，故A错误； 对于B，由和余弦定理，可得，整理，故B正确； 对于C，由上分析，，则， 于是，的面积， 因为，则，即代入上式， 可得：， 故当时，取得最大值为2，即C正确； 对于D，因在上的投影向量为，依题意，， 化简得，即，由A项知，为钝角，则为锐角， 故由可得，再由B项和正弦定理，可得， 则，展开得，即， 因为，则得，故，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，且，则点的坐标为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，应用平面向量坐标表示求解. 【详解】设点，那么， 由可得，，故 13. 为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米. 【答案】 【解析】 【分析】设铁塔OT的高度为米,分别表示，利用余弦定理计算即得答案. 【详解】设铁塔OT的高度为米. 在中，，在中, , 在中，由余弦定理，， 即，解得. 14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且满足，，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变换和正弦定理得到，结合费马点的定义，三角形面积公式可得的值，进而由向量数量积公式可得答案. 【详解】，即， 由正弦定理得， 即，， ， 因为，所以，，， 因为，所以， 故的三个内角均小于，又点为的费马点， 则， 由可得， 由余弦定理得， 故，解得， 故， 又， 故， 解得， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模； （2）由已知可得，计算可求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 【小问2详解】 若，则，即，所以， 即，所以． 16. 已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式与向量数量积的定义化简计算即得角的大小； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论，利用和角公式与辅助角公式将待求式化成正弦型函数，根据题设条件与正弦函数的性质即可求得. 【小问1详解】 因，且， 由，可得，所以， 又，则； 【小问2详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理， ， 则 . 由为锐角三角形及，则，则，， 则，则，故， 即的取值范围是 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18. 已知，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【小问1详解】 ，所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 19. 如图，已知为等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，且，． （1）若，求； （2）若点是的重心，设的周长为，的周长为． （i）求的值； （ii）设，记，求的值域． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）（i）利用平面向量定理即可求解； （ii）利用余弦定理求出周长的表达式，得到，最后通过定义域以及函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接并延长，交于点，设，则， 又三点共线，所以，即， 则，， 又，所以，所以. 【小问2详解】 （i） 如图所示，连接并延长，交于点，因为为重心，所以为中点， 所以，所以， 又三点共线，所以，则． （ii）设的边长为，则，，（） 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，，又，则有， 因为，所以， 因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增， 则， 所以，即的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期2025级 期中考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：裴艳、郭松 考试时间：2026年4月23日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位.则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 3. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 若函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若为纯虚数，其中，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则 D. 若，则的最大值为2 10. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 曲线的对称轴为， D. 将图象向左平移个单位后得到的图象 11. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 角可能是锐角 B. C. 若，则面积的最大值为2 D. 若在上的投影向量模长为，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，且，则点的坐标为___________________． 13. 为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米. 14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且满足，，则的值为____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 16. 已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 已知，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 19. 如图，已知为等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，且，． （1）若，求； （2）若点是的重心，设的周长为，的周长为． （i）求的值； （ii）设，记，求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $