专题05 立体几何初步（高效培优期末专项训练7大考点94题）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 以立体几何认知规律为主线，从图形辨析到空间关系再到度量计算，系统覆盖7大核心考点，题型多样，注重空间观念与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本立体图形辨析|13题|多面体棱面数量判断、几何体截交识别|从几何体构成要素入手，建立空间图形认知基础| |斜二测画法与直观图|11题|直观图与原图转化、边长面积计算|衔接平面图形与空间直观，培养几何直观能力| |空间点线面位置关系|7题|平面判定、线线位置关系判断|构建空间基本关系框架，发展逻辑推理能力| |平行与垂直关系|13题|线面平行垂直证明、空间命题判断|深化空间位置关系应用，强化推理论证能力| |异面直线所成角|13题|正方体/正棱柱/锥体中角度计算|引入空间角度量，衔接位置关系与数量关系| |面积与体积|20题|柱锥台表面积体积计算、旋转体问题|综合空间几何性质，培养运算求解能力| |球体问题|12题|外接内切球表面积体积、球与多面体综合|整合空间几何知识，提升综合应用能力|

专题05 立体几何初步 目录 考点01 基本立体图形辨析 1 考点02 斜二测画法与直观图 5 考点03 空间点线面的位置关系 10 考点04 平行与垂直关系的判定与证明 13 考点05 异面直线所成角 23 考点06 空间几何体的面积与体积问题 32 考点07 球体及其内切外接问题 42 考点01 基本立体图形辨析 1．(24-25高一下·河南郑州实验中学·期末)若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 2．(24-25高一下·天津河西区·期末)如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）   A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．(24-25高一下·陕西西安临潼区华清中学等校·期末)（多选）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 4．(24-25高一下·河南创新发展联盟·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 5．(24-25高一下·河北雄安新区·月考)下列几何体中，有且仅有8个面的是（    ） A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱 6．（多选）下列结论正确的是（   ） A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 7．(23-24高一下·浙江宁波九校·期末)四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 9．(21-22高一下·吉林长春实验中学·期末)（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 10．(20-21高一下·8.1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征（练习）-·)如图所示的几何体中棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．(24-25高一下·陕西西安西北大学附属中学·期末)（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 12．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 13．(24-25高一下·甘肃武威凉州区·期末)（多选）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 考点02 斜二测画法与直观图 14．(24-25高一下·江西·期末)如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 15．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 16．(23-24高一下·广西河池·期末)矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 17．(23-24高一下·重庆第十八中学·期中)如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）   A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 18．(24-25高一下·辽宁铁岭昌图县第一高级中学·月考)如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 19．(24-25高一下·青海海南州·期末)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 20．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 21．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 22．(24-25高一下·江西南昌第二中学·期末)如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 23．(24-25高一下·河北宁晋县第二中学·月考)（多选）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）   A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 24．(24-25高一下·江西吉安·期末)（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 考点03 空间点线面的位置关系 25．（多选）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 26．(24-25高一下·陕西汉中·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．空间中不同的三点可以确定唯一平面 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 27．(24-25高一下·山东烟台·期末)（多选）下列命题正确的有（   ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 28．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)（多选）a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（    ） A．A、B、C、D四点共面 B． C．与相交 D． 29．(20-21高一下·福建宁德部分达标中学·期中)（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 30．（多选）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ）   A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线不是异面直线 D．直线上存在点使，，三点共线 31．(20-21高一·8.6.1直线与直线垂直（分层练习）-·)（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 考点04 平行与垂直关系的判定与证明 32．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 33．(24-25高一下·青海海南州·期末)（多选）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)（多选）已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．，，， D．，，， 35．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)（多选）在正方体中，下列位置关系一定正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面平面 36．(24-25高一下·江西南昌第二中学·期末)（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．  D．   37．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A． B． C． D． 38．（多选）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ） A．B． C． D． 39．(24-25高一下·云南昆明·期末)（多选）如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 40．（多选）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 41．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A． B．平面 C． D．平面 42．(24-25高一下·广东潮州·期末)（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 43．(24-25高一下·甘肃武威第六中学·期末)（多选）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 44．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，. 求证：(1)平面；(2). 45．(24-25高一下·辽宁大连·期末)如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 46．(24-25高一下·辽宁·期末)在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 考点05 异面直线所成角 47．(24-25高一下·北京首都师范大学附属中学·期末)如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 48．(24-25高一下·北京通州区·期末)如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 49．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 50．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 51．(24-25高一下·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 52．(24-25高一下·山东济宁实验中学·期末)如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）   A． B． C． D． 53．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．   54．(24-25高一下·福建南平·期末)已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高一下·河北唐山·期末)已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 56．(24-25高一下·河北秦皇岛第三中学·期末)（多选）如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．三棱台的体积为 D．三棱台的体积为 57．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 58．(24-25高一下·甘肃天水部分学校·期末)某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 59．(24-25高一下·贵州黔西南布依族苗族·期末)如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 60．(24-25高一下·甘肃天水秦安县第一中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 61．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 考点06 空间几何体的面积与体积问题 62．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 63．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 64．(24-25高一下·北京房山区·调研)在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 65．(24-25高一下·湖南衡阳·期末)底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 66．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 67．(24-25高一下·四川泸州三校联盟·期末)已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 68．(23-24高二上·辽宁六校协作体·)在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 69．(24-25高三下·河南周口项城·)（多选）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 70．(23-24高一下·海南海口海南中学·月考)（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 71．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 72．(24-25高一下·云南楚雄州中小学·期末)（多选）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 73．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 74．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 75．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为____． 76．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为__________. 77．(24-25高一下·湖南岳阳·期末)已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 78．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 79．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 80．(24-25高一下·北京房山区·调研)如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.   (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 81．(24-25高一下·北京顺义区·期末)如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 82．(24-25高一下·辽宁大连·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 考点07 球体及其内切外接问题 83．(24-25高一下·北京房山区·调研)已知球的半径为，则它的表面积为______，体积为_____. 84．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 85．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 86．(24-25高三下·江西新余实验中学·模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为______，圆台的外接球的体积为______. 87．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 88．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 89．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 90．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 91．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 92．(24-25高一下·福建福州·期末)（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三角形面积的最大值为2 C．若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D．圆锥的外接球体积为 93．(24-25高一下·福建福州马尾一中·期末)如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上. 94．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)如图，四棱锥中，平面平面． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步 目录 考点01 基本立体图形辨析 1 考点02 斜二测画法与直观图 5 考点03 空间点线面的位置关系 10 考点04 平行与垂直关系的判定与证明 13 考点05 异面直线所成角 23 考点06 空间几何体的面积与体积问题 32 考点07 球体及其内切外接问题 42 考点01 基本立体图形辨析 1．(24-25高一下·河南郑州实验中学·期末)若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 【答案】C 【详解】对于A，六棱柱有18条棱，A不是；对于B，五棱锥的10条棱，B不是； 对于C，四棱柱有12条棱，C是；对于D，三棱台有9条棱，D不是.故选：C 2．(24-25高一下·天津河西区·期末)如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）   A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【详解】易知三棱台截去三棱锥，剩余部分为以为顶点，以四边形为底面的四棱锥.故选：B 3．(24-25高一下·陕西西安临潼区华清中学等校·期末)（多选）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】BCD 【详解】对于A， 四棱锥是一个底面，四个侧面共五个面构成的几何体，故错误；     对于B， 五棱锥是一个底面，五个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于C， 四棱柱是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于D， 四棱台是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确； 故选：BCD. 4．(24-25高一下·河南创新发展联盟·期末)关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形．故选：C 5．(24-25高一下·河北雄安新区·月考)下列几何体中，有且仅有8个面的是（    ） A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱 【答案】A 【详解】对于A，六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，A是；对于B，六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，B不是；对于C，八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，B不是；对于D，五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，D不是.故选：A 6．（多选）下列结论正确的是（   ） A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 【答案】BCD 【详解】由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，判断A错误；根据棱台的定义判断出B正确； 根据圆柱的母线定义判断C正确；根据正方体的定义判断D正确．故选：BCD. 7．(23-24高一下·浙江宁波九校·期末)四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】在正方体中，取四棱锥， 其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形. 故选：C. 8．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥.故选：B 9．(21-22高一下·吉林长春实验中学·期末)（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】BCD 【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，故选：BCD 10．(20-21高一下·8.1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征（练习）-·)如图所示的几何体中棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个．故选C． 11．(24-25高一下·陕西西安西北大学附属中学·期末)（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【详解】对于A中，如图所示：满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确；对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确.故选：ABC. 12．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 【答案】D 【详解】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误； 对于B：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误； 对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形不一定三角形，还可能是圆等其它图形，故C错误； 对于D：因为棱台是用平行与底面的平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确. 故选：D. 13．(24-25高一下·甘肃武威凉州区·期末)（多选）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABC 【详解】由题意， 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱，可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故D错误； 故选：ABC. 考点02 斜二测画法与直观图 14．(24-25高一下·江西·期末)如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确；对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确；对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方，又，因此，D错误．故选：D 15．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 16．(23-24高一下·广西河池·期末)矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度，直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度，故矩形的直观图是平行四边形．故选：D. 17．(23-24高一下·重庆第十八中学·期中)如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）   A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】  将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到，所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形，由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意，故选：C. 18．(24-25高一下·辽宁铁岭昌图县第一高级中学·月考)如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【详解】在直观图中，在轴上且，所以在原图形中，在轴上，且，在直观图中，在轴上且，所以在原图形中，在轴上，且，并且在原图形中，，所以.故选：A 19．(24-25高一下·青海海南州·期末)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得，因为，所以为等腰直角三角形，所以，根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 20．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【详解】由题可作出图形，如下图所示：由，可知，，，所以，故的周长为. 21．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示，则，， 所以在中由勾股定理得：，因为且， 所以四边形为平行四边形，所以原四边形的周长为. 22．(24-25高一下·江西南昌第二中学·期末)如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 【答案】 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则，所以平面图形的周长为. 23．(24-25高一下·河北宁晋县第二中学·月考)（多选）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）   A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】由题意可画直观图如下，  其中 ，故A错误，B正确；过点分别作，垂足分别为点，故，，故，则四边形为等腰梯形，故C正确；故四边形的周长为，即D错误.故选：BC 24．(24-25高一下·江西吉安·期末)（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于AB：还原平面图如下图，  则，，，故A错误，B正确；对于C：过作交于点，则，由勾股定理得，，故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确.故选：BCD． 考点03 空间点线面的位置关系 25．（多选）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】BD 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；故选：BD. 26．(24-25高一下·陕西汉中·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．空间中不同的三点可以确定唯一平面 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】AD 【详解】对于A, 棱柱的侧面一定是平行四边形,A正确，对于B，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，故B错误，对于C, 空间中不在同一直线上的不同的三点可以确定唯一平面，C错误，对于D, 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行,D正确，故选：AD 27．(24-25高一下·山东烟台·期末)（多选）下列命题正确的有（   ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 【答案】BCD 【详解】A选项：当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，A选项错误；B选项：由正棱锥的性质可知正棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，B选项正确； C选项：由棱台的性质可知三棱台的各侧棱所在直线相交于一点，C选项正确；D选项：由平行六面体的定义可知，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，D选项正确；故选：BCD. 28．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)（多选）a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（    ） A．A、B、C、D四点共面 B． C．与相交 D． 【答案】ABC 【详解】当或与相交时，A、B、C、D四点共面，此时a，b共面，不符合题意，故ABC错误，对于D，如图，在正方体中，若异面直线a，b为图中两条直线时，且为所在棱的中点，为正方体的顶点，此时.故选：ABC. 29．(20-21高一下·福建宁德部分达标中学·期中)（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上，A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；对于B，三点在平面内，不在直线上，M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点，则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接，因为M，N分别为棱的中点，所以， 由正方体的性质可知：，所以，则有四点共面，所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 30．（多选）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ）   A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线不是异面直线 D．直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【详解】作图，如图：  对于选项A：连接，因为，可知为平行四边形，则，又因为，分别为，的中点，则，可得，所以四点，，，在同一平面内，故A正确；对于选项B：延长，则相交于点，即，又因为平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，所以，即三条直线，，有公共点，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，，所以直线与直线是异面直线，故C错误；对于选项D：因为均在平面内，连接，则与相交，所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确；故选：ABD. 31．(20-21高一·8.6.1直线与直线垂直（分层练习）-·)（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 【答案】ABD 【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.故选：ABD. 考点04 平行与垂直关系的判定与证明 32．(24-25高一下·重庆南开中学校·期末)（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【详解】对于A，由，，得或，A错误；对于B，由，，得，而，则，B正确；对于C，由，得存在过直线的平面，则，由，得，因此，C正确；对于D，在正方体中，令平面、平面分别为，直线为，直线为，满足，而，D错误.故选：BC 33．(24-25高一下·青海海南州·期末)（多选）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 34．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)（多选）已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】ABD 【详解】对于A，两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另一个直线也垂直于该平面， 即，，故A正确；对于B，面面垂直的判定，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直，即，，故B正确；对于C，根据线面垂直的判定，直线与平面内的相交直线都垂直，则直线与平面垂直。而C项中的直线并不一定相交，故C错误；对于D，根据面面垂直的性质，如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面，即，，，，故D正确；故选：ABD. 35．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)（多选）在正方体中，下列位置关系一定正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABD 【详解】如图：对于A，因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，故A选项正确；对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B选项正确；对于C，因为，所以为与所成角，因为四边形为正方形，所以，即与所成角为，故C选项错误； 对于D，由题意可知平面，平面，且平面，， 所以平面平面，故D选项正确.故选：ABD 36．(24-25高一下·江西南昌第二中学·期末)（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．  D．   【答案】AD 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点， 又因为是中点，所以，，因为平面，平面，所以平面，A满足题意；选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意；选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，  所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意；，选项D，取的中点为，连接，  因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意；故选：AD 37．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面，平面，则，如下图示，又为中点，根据中位线及正方形的性质有，由都在平面内，则平面，平面，则，C满足； B：如下图示，平面，平面，则，若，都在平面内，则平面，平面，则，显然不成立，B不满足； C：如下图示，由中位线及正方形性质易知，由平面，平面，则， 都在平面内，则平面，平面，则，C满足； D：若为中点，又都为中点，如下图示，根据中位线、正方形的性质易知，， 由平面，平面，则，由都在平面内，则平面， 平面，则，同理可证，由都在平面内，则平面， 平面，则，D满足. 故选：ACD 38．（多选）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ） A．B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：对于A，平面DEF，平面DEF，直线AB与平面DEF平行，故A正确； 对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，，平面DEF，平面DEF， 直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选：AC. 39．(24-25高一下·云南昆明·期末)（多选）如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【详解】连接交于点O，选项A，分别为的中点， ，A选项，∵底面为菱形，，，又，且，平面，平面，平面，A正确；选项B，平面，且平面，，∵底面为菱形，，又，平面，平面 平面，平面，B正确，选项C，，∵底面为菱形，， 条件不足以证明平面，C错误，选项D，，且为中点， ∵底面为菱形，，又，平面，平面，平面 平面，D正确.故选：ABD 40．（多选）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABD 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确；同理平面，平面，所以，B选项正确；由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确；又与平面相交于点，故C错误；故选：ABD. 41．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【详解】对于A，为正四棱柱，在底面的射影为，平面，与不重直，与不垂直，故A错误；对于B，连接，取的中点，连接，易知，四边形为平行里边形，， 同理可知也为平行四边形，，又，， 四边形为平行四边形，，，平面平而， 平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，易知，四边形平行四边形，，同理可证平行四边形， ，又，，，四边动为平行四边形， ，，，四边形为平行四边行，，故C正确； 对于D，连接则，平面平面，， ，平面，平面，，， 与不垂直，故与平面不可能垂直，故D错误， 故选：BC 42．(24-25高一下·广东潮州·期末)（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【详解】对于选项A：假设，因为平面，所以平面，又平面，所以，而平面平面，所以，在中，，不能同时成立，所以A错误；对于选项B：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，选项B正确；对于选项C：因为平面平面，所以平面平面，所以C正确；对于选项D：由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.故选：BCD. 43．(24-25高一下·甘肃武威第六中学·期末)（多选）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】AB 【详解】对于选项A，连接，因为四边形是正方形，所以，又由正方体的性质可知平面，因为平面，所以，因为，平面，且，所以平面，又平面，所以，故选项A正确；对于选项B，连接，因为四边形是正方形，所以，又由正方体的性质可知平面，因为平面，所以，因为，平面，且，所以平面，又平面，所以，结合选项A有，因为，平面，且，所以平面，故选项B正确；分别取棱，的中点，，连接，，，，，对于选项C，由正方体的性质可知，则不成立，故选项C错误；对于选项D，因为，分别是棱，的中点，所以，所以， 又平面，则平面，假设平面，又，平面，且，则平面平面，因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，且，所以平面平面，则平面平面，与平面平面矛盾，故假设不成立，即平面不成立，故选项D错误． 故选：AB． 44．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，. 求证：(1)平面；(2). 【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 45．(24-25高一下·辽宁大连·期末)如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面，平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，，平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面，平面. 46．(24-25高一下·辽宁·期末)在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下：取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 考点05 异面直线所成角 47．(24-25高一下·北京首都师范大学附属中学·期末)如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 【答案】 【详解】连接，设正方体的棱长为,∵与是正方形，M，N分别为的中点，所以M，N分别为的中点，∴∴是等边三角形，∴在由正方体中,∥，，∴四边形是平行四边形，∴∥，所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）.异面直线MN与所成的角为.故答案为：. 48．(24-25高一下·北京通州区·期末)如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，取的中点，连接.因点，，分别为，，的中点，则，即得，则，易证，即得，则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角.设正方体棱长为2，则，，在中，由余弦定理，，即异面直线与所成的角的余弦值为.故选：C. 49．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：  利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形，即，所以异面直线与所成的角的平面角即为，不妨设正方体棱长为，易知；取的中点为，连接，易知，所以，由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形，所以，则异面直线与所成角的余弦值为.故选B. 50．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求，不妨，在中，，所以由余弦定理得.即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D 51．(24-25高一下·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 【答案】2 【详解】在正三棱柱中，取中点G，连接FG，EG，BG，如图所示．由点E为正方形的中心，得，，而，，于是，，由F为棱的中点，得，，则四边形CFGE是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线BF与CE所成的角，正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，，，等腰底边FG上的高，，所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2．故答案为：2. 52．(24-25高一下·山东济宁实验中学·期末)如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）   A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，  所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则，所以，，. 在中，即.故选：A 53．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．   【答案】/ 【详解】连接，因为分别为的中点，所以，因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为，设正四面体的棱长为，则，，根据余弦定理，，则异面直线所成角的余弦值为.故答案为：.   54．(24-25高一下·福建南平·期末)已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC中点为G，连接EG，FG，则，又，则，则为异面直线与所成的角或其补角，又，则，则异面直线与所成的角是.故选：A 55．(24-25高一下·河北唐山·期末)已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线，该四棱柱的所有棱长都为2，，则，， 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，， 所以选项ABD均有可能，C不可能.故选：C 56．(24-25高一下·河北秦皇岛第三中学·期末)（多选）如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．三棱台的体积为 D．三棱台的体积为 【答案】BD 【详解】对于A，因侧棱相等且底面为等边三角形，则三棱台为正三棱台，如图，过点作，交于点，因，则得，则，，故即直线与直线所成的角，因，由可得，故A错误；对于B，因，且与的夹角为60°，故与的夹角为60°，故B正确；对于C，D，如图，分别取上下底面三角形的中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则即三棱台的高，则  ，在直角梯形中，， 因，则三棱台的体积为，故D正确.故选：BD. 57．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 【答案】 【详解】取的中点，连接， 则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为.故答案为：. 58．(24-25高一下·甘肃天水部分学校·期末)某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 【答案】D 【详解】还原的正方体如图所示，连接，显然直线与异面，在正方体中，， 则为直线与所成角，又，则为等边三角形，即. 故选：D.   59．(24-25高一下·贵州黔西南布依族苗族·期末)如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【详解】（1）因为点，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为，所以直线与直线所成的角的大小为. 60．(24-25高一下·甘肃天水秦安县第一中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. （2）取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以.又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 61．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，，满足，则是直角三角形， 所以．即异面直线与所成角的余弦值为． 考点06 空间几何体的面积与体积问题 62．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以圆锥的侧面积.故选：C. 63．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 【答案】 【详解】由题意，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴上下圆面积分别为：，，作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示，由几何知识得，，，，， 在Rt中，，由勾股定理得，，∴圆台的侧面积为：，∴圆台的表面积为：，故答案为：. 64．(24-25高一下·北京房山区·调研)在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，则四棱柱为正四棱柱，其表面积为.故选：A 65．(24-25高一下·湖南衡阳·期末)底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【详解】设该圆柱的高为，则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得，即该圆柱的高为，故答案为： 66．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为，因为圆锥的表面积为，母线长为，所以， 即 ，解得 或 （舍去）故选：A 67．(24-25高一下·四川泸州三校联盟·期末)已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径.侧面积是，得，得，在直角三角形中，，高，所以.故选：A. 68．(23-24高二上·辽宁六校协作体·)在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 【答案】28 【详解】记该棱台的高为，易得，，由勾股定理可得11，得， 于是棱台的体积． 69．(24-25高三下·河南周口项城·)（多选）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【详解】设圆锥底面半径为，则底面面积，底面周长，∴侧面面积， 由题意得，即，即，设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确；则该圆锥的体积，B选项正确；侧面面积，C选项错误；侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 70．(23-24高一下·海南海口海南中学·月考)（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【详解】对于A：球半径为，所以圆柱侧面积为.故A正确； 对于B：圆锥侧面积为，表面积为，故B错误； 对于C：球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确； 对于D：，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2，故D正确.故选：ACD. 71．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直角中，斜边，直角边，得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，则该几何体的体积为：，故选：A 72．(24-25高一下·云南楚雄州中小学·期末)（多选）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为．故选：ABD. 73．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为，由题意可得：圆锥底面圆周长等于侧面展开图的圆弧长，即，解得，如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上下底面圆的圆心， 其中，则，由，可得， 则所得圆台的体积为．故选：A． 74．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【详解】如下图：因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长，则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确；圆锥的侧面积，故②错误；设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点，因为为的三等分点，所以，则圆柱的体积为，故③正确；圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 75．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为____． 【答案】 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和，所以所求表面积为.故答案为： 76．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县·)已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为__________. 【答案】 【详解】如图，设正四棱台的上底面中心为点，则点在上，连接 ，则点在上，点在上，因，由，可得，因，，在直角梯形中，，又由可得.故圆锥的体积为.故答案为：. 77．(24-25高一下·湖南岳阳·期末)已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1）在长方体中，可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以，且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中，，，且平面 ∵，∴. 78．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面，平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，，， ，，，， 点到平面的距离为． 79．如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 【详解】（1）存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下：取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2）∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且，∴， 则三棱锥的体积为. 80．(24-25高一下·北京房山区·调研)如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.   (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；   （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 81．(24-25高一下·北京顺义区·期末)如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【详解】（1）由侧面是正方形有，又, 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）有平面，又，所以平面， 所以为与平面所成角，即， 又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （3）由侧面是正方形，得，平面，平面， 所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面， 连接，平面平面，平面平面，则， 由，所以， 又，，所以，， 由，，所以， 过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，所以，，所以， 所以等腰梯形的面积为：. 82．(24-25高一下·辽宁大连·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点，所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面.则. 考点07 球体及其内切外接问题 83．(24-25高一下·北京房山区·调研)已知球的半径为，则它的表面积为______，体积为_____. 【答案】 【详解】①球的半径为，则它的表面积为，故答案为：； ②球的半径为，则它的体积为，故答案为：， 84．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，设球的半径为，，， ，，，即球体建筑物的表面积为.故答案为： 85．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：设的外接圆直径为，，又，由正弦定理可得，该三棱锥的外接球直径为，则.因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：. 86．(24-25高三下·江西新余实验中学·模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为______，圆台的外接球的体积为______. 【答案】 1 / 【详解】设此圆台上底面圆心为，下底面圆心为，其外接球的球心为，半径为，作圆台轴截面如图所示：则，设圆台的高为，根据轴截面及母线与高的夹角为，可知，所以，所以.设（若球心在圆台内，则求得）， 则，解得，所以圆台的外接球的体积为.故答案为：1； 87．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，设棱台高为，则，解得，根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径，又，，所以，则，所以为直角三角形，故为四边形外接圆直径，正四棱台的外接球半径，体积.故选：B. 88．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【答案】 【详解】设，由于，故；结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为，则外接球的表面积为，当且仅当时取等号，即的最小值为，故答案为： 89．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得，又平面，则易得平面.设为外接圆圆心，过做平面垂线，则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面，过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形.取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心.易得，由正弦定理可得，则外接球半径满足.则外接球的表面积为.故答案为：. 90．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故；内切球半径为，故， 因此.故答案为： 91．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为，由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，，所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为，因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 92．(24-25高一下·福建福州·期末)（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三角形面积的最大值为2 C．若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D．圆锥的外接球体积为 【答案】ACD 【详解】圆锥底面周长为，即圆锥侧面展开图的半圆的弧长为.则该半圆所在圆的周长为，故其半径为，即该圆锥的母线长为，.圆锥的侧面积为，底面积为，故表面积为.A选项正确.设，，，故的面积，当且仅当时等号成立，即时等号成立.但 ,故无法取得最大值.B选项错误. 中点为，连接，.易知.所以为二面角的平面角，.又因为为直角，所以，求得.由勾股定理得.所以的面积为.C选项正确.圆锥的外接球球心在点上方，设.因为，所以，解得.故外接球的半径为，所以体积为.D选项正确.故选：ACD. 93．(24-25高一下·福建福州马尾一中·期末)如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上 【详解】（1）证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点，， ，点在上，， ，且， 四边形AEFM为平行四边形，， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. （2）证明：，，， 平面，， ，平面PAB，平面PAB，平面PAB， 平面PAB，， ，M为PB的中点，， ，平面PBC，平面PBC，平面PBC， ，平面PBC. （3）证明：平面，，， ，， ，，，， ，， 在同一个球面上，且，为球心， 球心在平面ABCD上. 94．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)如图，四棱锥中，平面平面． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【详解】（1）（i）证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． （2）由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $