精品解析：上海市黄浦区上海外国语大学附属大境中学2026届高三年级第二学期5月调研数学试题

上外附属大境中学二〇二五学年度第二学期5月调研 高三年级数学试卷 （120分钟内完成，总分150分） 一、填空题（前六题各4分，后六题各5分） 1. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式带入即可. 【详解】扇形面积， 解得. 再通过弧长公式. 故答案为： 2. 在等比数列中，，，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 3. 已知，则________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 5. 求函数的定义域________. 【答案】， 【解析】 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 6. 已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 7. 已知，则________. 【答案】80 【解析】 【详解】由， 当时，，当时，， 所以 8. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率的计算公式求解即可. 【详解】甲分得2张电影券连号的情况有4种，甲分得2张电影券的情况有种， 在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为. 故答案为：. 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为不等式意味着函数的图象要在函数的图象的“下方”，如图，要使的图象在的“下方”，必须且只须. 10. 若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得、是函数的零点，也是的两个根，即可得函数解析式，进而有，应用换元法及二次函数性质求其最大值. 【详解】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据对称性可得是的两个根，即可得参数值，再应用换元法将函数化为二次函数求最值. 11. 如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 12. 已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性、二项分布及组合数的性质得与 同分布，与 同分布，进而有与同分布，得，利用对称性求概率和. 【详解】由，则与 同分布， 由，则， 显然，即与 同分布， 随机变量X，Y相互独立，所以与同分布， 则，即的概率分布关于对称， 其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故 ， 所以. 二、选择题（前两题各4分，后两题各5分） 13. 已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 14. 已知命题，命题，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【详解】若，，则，此时成立，但不成立，故不是的充分条件； 判断必要性：若成立，则，可得，即成立，故是的必要条件. 15. 中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 则△ABC为等腰直角三角形. 设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系， 则，，，设，， 则， ，， 因为，即， 所以， 所以， 所以当，即时； 故选：A 16. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（ ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，劣弧，的弧长分别记为， 记为球面，设，，， 若平面是面积为的等边三角形， 则，则，，故①不正确； 若，则，则，故②正确； 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积，故③正确； 由余弦定理可知 因为，所以，则， 取，，则，， 则，故④不正确. 三、解答题 17. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示. 分组区间 人数 30 75 105 60 30 支持态度人数 24 66 90 42 18 （1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关； 年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计 支持态度人数 不支持态度人数 总计 （2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望. 参考数据： 参考公式： 【答案】（1）列联表、答案见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断； （2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望. 【小问1详解】 完成列联表如下， 年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计 支持态度人数 60 180 240 不支持态度人数 30 30 60 总计 90 210 300 提出原假设年龄与所持态度无关， 确定显著性水平， ，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性. 【小问2详解】 依题意，服从二项分布， 故，, ,, , 所以分布列如下表， 1 2 3 4 所以. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合且，记的元素个数为，求； 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合条件及待定系数法，化简整理，即可得证. （2）根据所给定义，整理可得，根据的范围，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设. （1）当时，求异面直线与所成角的大小； （2）当平面平面时，求的值. 【答案】（1）60°（2） 【解析】 【分析】（1）推导出平面ABC，AC，建立分别以AB，AC，为轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE与所成角． （2）推导出平面的法向量和平面的一个法向量，由平面平面，能求出的值． 【详解】解：因为直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以，， 又因为， 所以建立分别以，，为轴的空间直角坐标系. （1）设，则，， 各点的坐标为，，，. ，. 因为，， 所以. 所以向量和所成的角为120°， 所以异面直线与所成角为60°； （2）因为，， ， 设平面的法向量为， 则，且. 即，且. 令，则，. 所以是平面的一个法向量. 同理，是平面的一个法向量. 因为平面平面， 所以， ， 解得. 所以当平面平面时，. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20. 已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程结合椭圆定义可得周长； （2）要使以为直径的圆经过，则，为此设，将直线方程与椭圆方程联立，再设，则，然后由韦达定理可得答案； （3）设，，，由（2）中分析可得，然后由椭圆对称性可得，由此可将化为，据此可判断C的存在性. 【小问1详解】 由题可得. 当不在轴上，由椭圆定义可得：， 则； 【小问2详解】 由题可得直线斜率不为0，因，设， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 消去得：，判别式为：. 设，由韦达定理，. 因以为直径的圆经过，则. 又，则. 则， 即 . 则或； 【小问3详解】 设，，由题可得直线斜率不为0，且也经过. 设，由（2）中分析，可得. 又由椭圆对称性，可得与关于轴对称，则. 从而，， 因，则 . 又，则， 结合，， 则， 则，. 即存在满足题意. 21. 对于定义域为R的函数与实数，定义集合 （1）若，求； （2）若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； （3）是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】（1） （2） （3）见解析，不存在 【解析】 【分析】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解； （2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围； （3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在. 【小问1详解】 由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； 【小问3详解】 当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学二〇二五学年度第二学期5月调研 高三年级数学试卷 （120分钟内完成，总分150分） 一、填空题（前六题各4分，后六题各5分） 1. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 2. 在等比数列中，，，则_____． 3. 已知，则________. 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 5. 求函数的定义域________. 6. 已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 7. 已知，则________. 8. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______. 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 10. 若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 11. 如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 12. 已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 二、选择题（前两题各4分，后两题各5分） 13. 已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 已知命题，命题，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 15. 中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 16. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（ ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题 17. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示. 分组区间 人数 30 75 105 60 30 支持态度人数 24 66 90 42 18 （1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关； 年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计 支持态度人数 不支持态度人数 总计 （2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望. 参考数据： 参考公式： 18. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合且，记的元素个数为，求； 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设. （1）当时，求异面直线与所成角的大小； （2）当平面平面时，求的值. 20. 已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 对于定义域为R的函数与实数，定义集合 （1）若，求； （2）若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； （3）是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $