专题01 向量共线定理及其应用9种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

专题01 向量共线定理及其应用9种常考考法归类 题型一由坐标判断向量是否共线 题型六由向量共线求点的位置或坐标 题型二判断或证明三点共线 题型七平面向量共线定理的推论 题型三由三点共线求参 题型八等和线原理及应用 题型四利用向量共线求参数 题型九向量共线与解三角形的综合 题型五平面向量共线定理证明线平行问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由坐标判断向量是否共线 1．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026高一·重庆·阶段检测）下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．【多选】（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026高一·广东茂名·期中）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．【多选】（2026高一·福建福州·期中）在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 7．【多选】（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，则（   ） A． B． C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为 8．【多选】（2026高一·广西玉林·阶段检测）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·全国·期中）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 题型2 判断或证明三点共线 10．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 11．（2026高一·山东济南·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 13．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 14．（2026高一·山西阳泉·期中）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 15．（2026高一·广西来宾·阶段检测）已知，，，． (1)证明：A，C，D三点共线． (2)若，求． 16．（2026高一·全国·寒假作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 17．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 题型3 由三点共线求参 18．（2026高一·湖北·期中）已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2026高三·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，若点，，共线，则________. 20．（2026高一·江苏泰州·期中）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 21．（2026高一·湖南·阶段检测）若点，，，且，，三点共线，则______. 22．（2026高一·江苏·阶段检测）设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 23．（2026高一·天津·阶段检测）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 24．（2026高一·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线，如果与共线．则实数k的值为______． 26．（2026高一·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 27．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，若，，则“，，三点共线”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 题型4 利用向量共线求参数 30．（2026高一·上海·期中）已知向量，若，则__________. 31．（2026高一·湖南长沙·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 32．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________． 33．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 34．（2026高一·安徽·阶段检测）已知向量，，，若，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 35．（2026·吉林·模拟预测）设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 38．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若向量，共线，则（   ） A．6 B．4 C． D． 39．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 40．（2026高一·重庆渝北·期中）已知向量，满足：，，与的夹角． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 题型5 平面向量共线定理证明线平行问题 41．（浙江北斗星盟2026届高三学期二模数学试题）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 42．（2026高一·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 43．（2026高一·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 44．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    45．（2026高一·全国·暑假作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 46．【多选】（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 题型6 由向量共线求点的位置或坐标 47．（2026高一·山东淄博·阶段检测）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________. 48．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 49．（2026高一·北京·期中）已知，，，且，与相交于点P. (1)求点C和点P的坐标； (2)求. 50．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 题型7 平面向量共线定理的推论 51．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 52．（2026高一·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 53．（2026高一·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 54．（2026高一·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 55．（2026高一·福建宁德·期中）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 56．（2026高一·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 57．（2026高一·吉林长春·期中）如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 58．（2026高一·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 59．（2026高一·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 60．（2026高一·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 61．（2026高一·福建福州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________ 题型8 等和线原理及应用 62．（2026高二·河北沧州·开学考试）平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论. 63．（2026高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 题型9 向量共线与解三角形的综合 65．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 66．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 67．（2026高一·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 68．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. (1)求角C； (2)若，的面积为，D为边的中点，求的长. $专题01 向量共线定理及其应用9种常考考法归类 题型一由坐标判断向量是否共线 题型六由向量共线求点的位置或坐标 题型二判断或证明三点共线 题型七平面向量共线定理的推论 题型三由三点共线求参 题型八等和线原理及应用 题型四利用向量共线求参数 题型九向量共线与解三角形的综合 题型五平面向量共线定理证明线平行问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由坐标判断向量是否共线 1．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 2．（2026高一·重庆·阶段检测）下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 3．【多选】（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，设，即，故，无解， 故不共线，所以可以作为基底，A正确； B选项，，故共线，不能作为基底，B错误； C选项，设，则，故，无解， 不共线，能作为基底，C正确； D选项，，故共线，不能作为基底，D错误. 4．【多选】（2026高一·广东茂名·期中）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量. 对选项A，∵ 为零向量，零向量与任意向量共线，∴ 不能作为基底. 对选项B，∵ ，计算得 ，∴ 与不共线，可作为基底. 对选项C，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底. 对选项D，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底. 综上，不可以作为基底的是ACD. 5．【多选】（2026高一·福建福州·期中）在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】不存在使或成立，所以A，C正确； 可知，，所以B，D错误. 6．（2026高一·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由坐标运算得，再根据向量平行的定理逐一判断即可． 【详解】已知，，则， 对于①，，故向量与平行； 对于②，，故向量与平行； 对于③，，故向量与平行； 对于④，由于，故向量与不平行； 所以与平行的向量是①②③中的向量． 故选：C． 7．【多选】（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，则（   ） A． B． C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】因为，所以不垂直，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以不共线，所以可以用线性表示，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确． 8．【多选】（2026高一·广西玉林·阶段检测）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，设向量，由向量，，得， 则，解得，，因此，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，则，D错误. 9．【多选】（2026高一·全国·期中）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【答案】AD 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 题型2 判断或证明三点共线 10．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 11．（2026高一·山东济南·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 13．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 14．（2026高一·山西阳泉·期中）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】(1) ， (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）先求出的坐标，再根据模的坐标表示求解即可，根据向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （2）根据列方程组求解即可； （3）先求出，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，，得， 则， 而与夹角的余弦值为. （2）由，， 得， 因为，， 所以，解得，则. （3）证明：由，，， 则，所以， 而有公共点，则A，，三点共线. 15．（2026高一·广西来宾·阶段检测）已知，，，． (1)证明：A，C，D三点共线． (2)若，求． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示可知，即可得结果； （2）根据题意结合向量的坐标运算求，即可得模长. 【详解】（1）因为，，，， 则， 可知，即共线， 所以A，C，D三点共线. （2）由（1）可知：， 则， 所以. 16．（2026高一·全国·寒假作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 17．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2）由平面向量的共线定理进行证明． 【详解】（1）在中，因为，，所以， ， ； （2）因为， ， 所以，所以与共线，且有公共点， 所以，，三点共线． 题型3 由三点共线求参 18．（2026高一·湖北·期中）已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由A、B、C三点共线可得，求出、后，利用向量共线性质计算即可得. 【详解】，，由A、B、C三点共线， 则，故，解得. 19．（2026高三·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，若点，，共线，则________. 【答案】0 【详解】因为点，，共线，所以，共线， 又，，所以，所以. 20．（2026高一·江苏泰州·期中）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 【答案】5 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】，， 因为三点共线，所以向量，共线， 所以，解得， 当时，，此时，则向量，共线， 又为公共点，所以三点共线， 综上，实数的值为5. 21．（2026高一·湖南·阶段检测）若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 22．（2026高一·江苏·阶段检测）设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线, 即得，解得. 23．（2026高一·天津·阶段检测）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 【答案】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， 24．（2026高一·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点不能构成三角形，故共线， 故，解得. 25．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线，如果与共线．则实数k的值为______． 【答案】 【详解】∵与共线，∴存在实数，使， 即，∴，解得． 26．（2026高一·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 27．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，若，，则“，，三点共线”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知不共线，，. 充分性证明：若三点共线，则存在非零实数，使得. 代入得，即. 由不共线，得，消去得，即. 必要性证明：若，则，即， 此时， 故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 综上，“三点共线”是“”的充分必要条件. 28．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 【答案】2 【分析】根据已知得，利用向量共线的基本定理有，列方程组求参数值即可得. 【详解】∵，， ∴， ∵A，C，F三点共线， ∴，从而存在实数，使得， ∴，又，是不共线的非零向量， ∴，因此． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 题型4 利用向量共线求参数 30．（2026高一·上海·期中）已知向量，若，则__________. 【答案】2 【详解】因为，所以 ，解得. 31．（2026高一·湖南长沙·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】 ， 又， ，解得． 32．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以由向量与平行，得：， 解得. 33．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因，故，故，所以，故． 34．（2026高一·安徽·阶段检测）已知向量，，，若，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件列式计算求解 【详解】因为，， 又，所以，解得. 35．（2026·吉林·模拟预测）设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 36．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且， ，即，得，，. . 37．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】C 【分析】先根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由，得，即， 又均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 38．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若向量，共线，则（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由向量，共线，设， 而向量不共线，因此，解得，. 39．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x. 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 40．（2026高一·重庆渝北·期中）已知向量，满足：，，与的夹角． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积可得，根据数量积的运算律求模长； （2）根据向量垂直可得，根据数量积的运算律运算求解； （3）根据向量平行可知存在实数满足，结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】（1）因为，，与的夹角，则， 可得，所以. （2）因为，则， 即，解得. （3）因为，则存在实数满足， 可得，解得， 所以. 题型5 平面向量共线定理证明线平行问题 41．（浙江北斗星盟2026届高三学期二模数学试题）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 42．（2026高一·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 43．（2026高一·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 【答案】证明见解析 【分析】利用向量相等证明四边形是平行四边形. 【详解】连接．因为E，F分别是，的中点， 所以，同理， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形． 44．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据已知有，，结合，得，再由，即得，即得证. 【详解】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 45．（2026高一·全国·暑假作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, 46．【多选】（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 题型6 由向量共线求点的位置或坐标 47．（2026高一·山东淄博·阶段检测）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________. 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 48．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 49．（2026高一·北京·期中）已知，，，且，与相交于点P. (1)求点C和点P的坐标； (2)求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设，根据平面向量的坐标表示建立方程组，求出C的坐标，确定四边形为平行四边形，结合向量线性运算的坐标表示即可求解； （2）由（1）可得，结合平面向量的几何意义计算即可求解. 【详解】（1）设，因为，，， 所以，解得； 因为，而交于点，故A、B、C、D不共线， 所以四边形为平行四边形，且为的中点， 结合已知点坐标有. （2）由（1）得，所以. 50．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 题型7 平面向量共线定理的推论 51．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 52．（2026高一·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 53．（2026高一·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 54．（2026高一·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 55．（2026高一·福建宁德·期中）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 56．（2026高一·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先利用三点共线的向量性质，将用与线性表示，再结合已知的的分解式，通过平面向量基本定理得到与的关系式，最后将目标式与该关系式结合，用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，三点共线，所以存在实数使得. 又，，所以. 已知， 由平面向量基本定理，得，. 消去，得，因为，. 所以 . 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 57．（2026高一·吉林长春·期中）如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 【答案】 【分析】由向量加法、数乘的几何意义得，令且得，再由向量共线的推论得，从而有，结合，应用向量数量积的运算律化简，得与的数量关系，即可得. 【详解】由，则，故， 令且，故， 由三点共线，则， 由，则， 所以， 由，则， 即，而，则. 58．（2026高一·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为三点共线， 所以，所以． 59．（2026高一·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 60．（2026高一·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 61．（2026高一·福建福州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________ 【答案】 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可． 【详解】因为，， 所以． 因为三点共线，所以，解得． 题型8 等和线原理及应用 62．（2026高二·河北沧州·开学考试）平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论. 【答案】见解析 【分析】如图，为直线上的点，若，过点作直线，再根据平面向量共线定理及推理即可得出结论. 【详解】解：如图，为直线上的点，若， 那么， 从而有，即， 另一方面，过点作直线，在上任作一点， 连接，则， 以为基底时， ， 所以，即， 综上，为定值. 63．（2026高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点 落在 的内部，所以 ， 两点在直线 的同一侧，所以由推广知， ，所以 .故选D. 64．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解. 【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 题型9 向量共线与解三角形的综合 65．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件结合辅助角公式求解角； (2)通过面积公式求出的值，再结合余弦定理和完全平方公式求出，进而得到周长. 【详解】（1）由，根据向量平行的坐标条件，得， 化简得. 利用辅助角公式，将左边整理为， 因此：， 因为锐角三角形，故，则. 所以，解得. （2）由(1)知，结合面积公式，代入， 得， 再由余弦定理，代入、， 得， 由完全平方公式，，故(边长为正，取正值). 因此，的周长为. 66．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 67．（2026高一·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论及正弦定理表示出，再利用和差角的正弦及余弦函数性质求解. 【详解】（1）由，，且，得， 由正弦定理得，而，则， ，又，所以. （2）在中，，，由正弦定理得， 由，设，又为锐角三角形，则， 而， 因此 所以周长的取值范围是. 68．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. (1)求角C； (2)若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【详解】（1）因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. （2）因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. $