精品解析：陕西宝鸡高新中学2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试卷 （满分120分 时长100分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的判定，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边最后不是积的形式，不符合题意； C、运用是平方差公式分解因式，符合题意； D、等式右边最后不是积的形式，不符合题意； 故选：C． 3. 满足不等式 3x－5> －1的最小整数是（     ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式3x－5＞－1，求得解集，即可确定不等式的最小整数解． 【详解】解：3x－5＞－1， 移项得：3x＞－1+5， 则3x＞4， ∴x＞， 则最小的整数是2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质． 4. 如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式中x，y都扩大2倍后的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意； D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 6. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用一次函数图象解不等式，根据函数图象交点的横坐标及图象的位置关系即可得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象的交点， ∴根据图象可知：不等式的解集为， 故选：． 7. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A. a≤﹣3 B. a＜﹣3 C. a＞3 D. a≥3 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【详解】∵不等式组无解， ∴a﹣4≥3a+2， 解得：a≤﹣3， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 解法二：过点E作EG⊥AC于G，先在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，再根据三角形面积求得CD=，在Rt△ADC中，由勾股定理，求得AD=，然后证△AGE≌△ADE(AAS)，得出AG=AD=，EG=ED，从而得CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，设CE=x，则EG=-x，在Rt△CGE中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：解法一：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴， ∵FC=FG， ∴， 解得：FC=，即CE的长为． 故选：A． 解法二：过点E作EG⊥AC于G，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴CD=， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 ， ∵AF平分∠BAC， ∴∠GAF=∠DAF， ∵EG⊥AC，CD⊥AB， ∴∠AGE=∠ADE=90°， ∵AE=AE， ∴△AGE≌△ADE(AAS)， ∴AG=AD=，EG=ED， ∴CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG， 设CE=x，则EG=-x， 在Rt△CGE中，由勾股定理，得 ，即， 解得：x=，即CE的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）． 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为零，列不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为零，即， 解得． 10. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠CAE＝_____． 【答案】72°． 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式求得∠B的度数，在等腰三角形ABC中可求得∠BAC的度数，进而求得∠CAE的度数． 【详解】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠B＝∠BAE＝×540°＝108°， 又∵BA＝BC， ∴∠BAC＝×（180°﹣108°）＝36°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了多边形内角，等腰三角形的性质，解此题的重点是掌握多边形内角和公式是关键． 11. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 12. 如图，在 中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边上．若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴ ， ∵， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 故答案为：5． 13. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 【答案】60°或30°． 【解析】 【详解】试题解析：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴∠A=60°， ∴∠ABC=∠C=60°． 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠DAB=60°， ∴∠C=∠ABC=30°． 考点：等腰三角形的性质． 14. 如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点与点关于对称， ， 过点作，使得，连接交于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）解不等式组：，并在同一数轴上表示它的解集． （2）把下列各式因式分解： ①； ②． （3）化简： ①； ②． 【答案】（1），数轴见解析 （2）①； ② （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据不等式组的解法求解并在数轴上表示即可． （2）①先提取公因式，再使用完全平方公式进行因式分解即可； ②先提取公因式，再化简即可． （3）①先对分子分母进行因式分解，再约分化简计算即可； ②先由幂的运算化简，再约分化简计算即可． 【小问1详解】 解：不等式组为， 由不等式①可得，解得， 由不等式②可得，解得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 【小问2详解】 解：①；  ②； 【小问3详解】 解：① ；              ② ． 16. 如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 17. 如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 18. 已知关于的不等式组， （1）若该不等式组的解集为，求的值； （2）若该不等式组恰有一个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先用m表示出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，即可得出关于m的等式，据此进行计算即可． （2）根据题意，得出关于m的不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， ， 解得：， 的值为9． 【小问2详解】 若该不等式组恰有一个整数解， ， 解得：， 的取值范围为． 19. 已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2一定能被20整除． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用平方差公式找出（n+7）2-（n-3）2=20（n+5），由此即可得出（n+7）2-（n-3）2一定能被20整除． 【详解】∵（n+7）2﹣（n﹣3）2=[（n+7）+（n-3）][（n+7）﹣（n﹣3）]=20（n+2）， ∴（n+7）2﹣（n﹣3）2一定能被20整除． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式将原式变形为20（n+5）是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）把先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2）见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图，然后写出点的坐标； （2）根据旋转的性质画图，然后写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为． 21. 阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：__________； （2）利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【解析】 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 可得：原式． 22. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 【答案】（1）型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； （2）购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【解析】 【分析】（1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，结合题意建立一元一次方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先利用不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数表达式，结合一次函数的性质得出的最小值． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 根据题意得， 解得， ， 根据题意得， ， 随着的增大而增大， 时，最小，， 答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是从题目中提取关键信息建立方程． 23. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问1详解】 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 24. 如图，已知正方形，点分别是边上，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若正方形的边长为5，时，求的长？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，从而证明三点共线，然后利用正方形中的半角模型证明； (2)设，从而可得，，然后在Rt中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， 由旋转得：， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∴， 由旋转得：， ， ∵， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形法性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的半角模型是解题的关键． 25. 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段．连接，则为等边三角形． （1）依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图，为等边三角形，点在边上，将绕着点逆时针旋转后得到，连接，则__________． 【解决问题】 （2）如图，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长； 【学以致用】 （3）如图，设村庄、、的连线构成一个三角形，已知，，，现欲建设中转站沿直线向、、三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄、、的铺设成本均为万元，选取合适的的位置，求总的铺设成本最低为多少万元？ 【答案】（1）； （2）的长为； （3）总的铺设成本最低为万元． 【解析】 【分析】（）由题意可得，，又是等边三角形，所以，，则，再证明，最后通过全等三角形的性质即可求解； （）同理证明，所以，，再证明三点共线，则有，，最后通过勾股定理即可求解； （）取点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，，，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，，，同上理可得，所以，则，故当四点共线时，最小，过作于，然后通过直角三角形的性质求得，则，从而可得，即最小值为，再乘以铺设成本万元即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕着点逆时针旋转后得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴，， 在中，， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图，取点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，，，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，，， ∴是等边三角形， ∴，， 同上理可得，， ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，过作于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴总的铺设成本最低为（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试卷 （满分120分 时长100分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 满足不等式 3x－5> －1的最小整数是（     ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 6. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A. a≤﹣3 B. a＜﹣3 C. a＞3 D. a≥3 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）． 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 10. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠CAE＝_____． 11. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 12. 如图，在 中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边上．若，则______． 13. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 14. 如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）解不等式组：，并在同一数轴上表示它的解集． （2）把下列各式因式分解： ①； ②． （3）化简： ①； ②． 16. 如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 17. 如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 18. 已知关于的不等式组， （1）若该不等式组的解集为，求的值； （2）若该不等式组恰有一个整数解，求的取值范围． 19. 已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2一定能被20整除． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）把先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标． 21. 阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：__________； （2）利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 22. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 23. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 24. 如图，已知正方形，点分别是边上，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若正方形的边长为5，时，求的长？ 25. 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段．连接，则为等边三角形． （1）依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图，为等边三角形，点在边上，将绕着点逆时针旋转后得到，连接，则__________． 【解决问题】 （2）如图，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长； 【学以致用】 （3）如图，设村庄、、的连线构成一个三角形，已知，，，现欲建设中转站沿直线向、、三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄、、的铺设成本均为万元，选取合适的的位置，求总的铺设成本最低为多少万元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $