精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2024−2025学年度第二学期期中质量检测试题（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 习总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图像经过点和点，一次函数的图像过点A，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于两点，若，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 8. 如图，等腰直角三角形，斜边，是中点，点为边上一动点，直线绕点逆时针旋转交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分．） 9. 在中，，，，则______． 10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 11. 如图，的周长为，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为________． 12. 小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买__________瓶甲饮料． 13. 如图，在中，，O为边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，则线段的最小值为_________． 三、解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．） 14. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 15. 解不等式组： 16. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法） 17. 如下图，，于点，于点，．求证：． 18. 有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，某学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲车多少辆？ 19. 如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 20. 如图，在中，，，点D是边上一点，E是边上一点，，．求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点C移到点，画出平移后的； （2）将绕点旋转，得到，画出旋转后的． 22. 如图，都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．求的度数． 23. 已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 24. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 25. 跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根一共花费885元． （1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 26. （1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度第二学期期中质量检测试题（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故B错误； C、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，不等式的两边都加1，不等号的方向不变 故C正确； D、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2. 习总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的性质可得，根据勾股定理可得的长，进而得到的长．解题的关键是掌握中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形全等；②成中心对称的两个图形，其对称点所连线段都经过对称中心且被对称中心平分；③成中心对称的两个图形，其对应线段平行（或在同一条直线上）且相等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵如图是一个中心对称图形，为对称中心， ∴与关于点对称， ∴， ∴， 即长为． 故选：D． 4. 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 5. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，则，由可得，则，所以，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 根据旋转的性质可得，，则， ∵， ∴， ∴， 由可得， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程． 6. 如图，一次函数的图像经过点和点，一次函数的图像过点A，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像知正比例函数和一次函数的图像的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵由图像可知：正比例函数和一次函数的图像的交点是， ∴不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键． 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于两点，若，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ， 垂直平分， ， 设， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，等腰直角三角形，斜边，是中点，点为边上一动点，直线绕点逆时针旋转交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据已知条件，做辅助线构建全等三角形，由全等三角形的性质将问题转化为求线段的长度，由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，斜边，是中点， ∴，，，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分．） 9. 在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ． 故答案为：． 10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 11. 如图，的周长为，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的想性质得出，，，，从可求阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：∵平移， ∴，，，， ∴阴影部分的周长为 ， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12． 12. 小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买__________瓶甲饮料． 【答案】3 【解析】 【详解】设小宏能买瓶甲饮料，则买乙饮料瓶．根据题意，得 解得 所以小宏最多能买3瓶甲饮料． 13. 如图，在中，，O为边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，则线段的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得是等腰三角形，则，可知垂直时，最小，利用含角的直角三角形的性质求出的最小值，进而得出答案． 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转至， ，， 是等腰三角形， ， 当垂直时，最小， 作于， ，， ， ， 的最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．） 14. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得， 将解集表示在数轴上如下 15. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据解一元一次不等式组的方法求解即何，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为：． 16. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意先用尺规作图作∠B的角平分线与AD交于P点，利用三线合一可得AD⊥BC，由此可知点P符合题意． 【详解】解：如图， 作∠ABC的平分线与AD交于点P， 则点P即为所求． 【点睛】考查三角形角平分线的尺规作图的方法，掌握角平分线的尺规作图方法是本题解题的关键，学生还要熟悉了解等腰三角形的三线合一性质才能解题． 17. 如下图，，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 18. 有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，某学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲车多少辆？ 【答案】至少需要甲车4辆 【解析】 【分析】设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆，根据8辆客车的总载客量不少于300人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设需要甲车辆，则乙车辆，由题意可得 ， 解得：， 答：至少需要甲车4辆． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19. 如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 20. 如图，在中，，，点D是边上一点，E是边上一点，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角得到，再由三角形外角的性质证明，进而证明得到，求出，则由平角的定义可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点C移到点，画出平移后的； （2）将绕点旋转，得到，画出旋转后的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图据平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，根据点C平移前后坐标可知三角形向上平移1个单位，向右平移4个单位， 即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 22. 如图，都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据等边三角形的性质进一步得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ． 23. 已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【解析】 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线性质，运用直角三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据角的平分线性质，证明，得到，结合得到计算即可． 【小问1详解】 ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴； ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分，，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，直角三角形全等的判断和性质，直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 25. 跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根一共花费885元． （1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 【答案】（1）甲、乙两种跳绳的单价分别是元和元 （2）当购进甲种跳绳根，购进乙种跳绳根，利润最大 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是元和元，根据题意列出方程即可解决问题； （2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳（60-a）根，列出函数关系式和不等式即可解决问题． 【小问1详解】 解∶设甲、乙两种跳绳的单价分别是元和元，根据题意得， 解得∶， 答∶甲、乙两种跳绳的单价分别是元和元； 【小问2详解】 解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∵费用不超过元， ∴， 解得∶， ∴（根）， ∴当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大； 【点睛】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数列出方程或不等式或函数解决问题，属于中考常考题型． 26. （1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为km 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质，三角形全等的判定解答即可； ②根据前面的证明，证明，利用勾股定理解答即可． （2）仿照（1）的思路，利用旋转思想，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解方程解答即可． 【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质，得 ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 在和中， ∴. ②由（1）可知，， ∴. ∵，， ∴. 由旋转的性质，得， ∴. 在中，由勾股定理，得， ∴. （2）如图3，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，. ∵，， ∴， 过点A作于点M， 则， ∴ ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 设. 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为km. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $