精品解析：2026年福建省泉州第五中学九年级中考第三模数学试题

泉州五中2026届初三下学期适应练习（5.25） 数学试题 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. … 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据有理数和无理数的定义判断即可，有理数包括整数与分数，无限不循环小数是无理数． 【详解】解：A、是整数，整数属于有理数，故选项符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，故选项不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故选项不符合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，故选项不符合题意． 2. 习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解： 故选：B 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了三视图，根据主视图定义求解即可． 【详解】解：钢块零件的主视图为 ， 故选：A． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除法、合并同类项、积的乘方的初中知识点，逐一判断选项的正误． 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算正确； C、，C计算错误； D、，D计算错误． 5. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】解：原数据的2、4、4、6的平均数为， 中位数为， 众数为4，方差为， 新数据2、4、4、4、6的平均数为， 中位数为4， 众数为4， 方差为， ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选：C． 6. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ） A. 29° B. 42° C. 58° D. 32° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】是的直径， ， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 7. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 【答案】C 【解析】 【详解】原抛物线的顶点坐标为(1,3),向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为(−1,6).可设新抛物线的解析式为：y=−2(x−h) ²+k,代入得：y=−2(x+1) ²+6. 故选C. 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握利用相似三角形的判定和性质进行解题． 9. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组． 详解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为： ． 故选A． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 10. 如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和的面积都为6，得点为的中点，设，，由中点坐标公式得，代入解析式得出，过点作轴于点，利用，即可求解． 【详解】解：∵和的面积都为， ∴，即点为的中点， 设，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， 如图，过点作轴于点，则，， ∵ ， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 12. 分解因式：__． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用平方差公式进行分解即可． 【详解】原式， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 已知直线过点和，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又直线过点和，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 14. 在中，，，，那么的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 根据锐角三角函数的定义可得：． 15. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 16. 如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点D在上，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由得到，又由，根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，已知，，为射线上两点，且＜． （1）求作菱形，使得点在射线上（尺规作图；保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当平分时，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先以B点为圆心，以为半径画弧交射线于C点，再分别以C点和A点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形满足条件;； （2）设，四边形是菱形得，，在中，证明，，，，，过点作于点，求出，再证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴，即， 在中，， ∴， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 【答案】（1）图见解析，， （2）学校采用方案二奖金总额较少，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比即可得出总人数，总人数分别乘以B、C对应的百分比求出其人数，再根据各分组人数之和等于总人数可求得E组人数，从而补全图形； （2）根据题意画出树状图进行分析即可． 【小问1详解】 解： 参加竞赛的学生人数：（名）， B组人数为（名）， C组人数为（名），即， E组人数为（名），则，即， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：方案一：学生所获奖金的平均数为：（元）， 　方案二： 共有6种结果，每种结果的可能性相同，和为的结果有2种，和为的结果有2种，和为的结果有2种， ∴和为的概率为，和为的概率为，和为的概率为， ∴学生所获奖金的平均数为（元）． ∵， ∴学校采用方案二奖金总额较少． 【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，以及画出树状图等知识内容，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 如图，在中，，点为上一点，以为半径的经过斜边上点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点，且，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得 ，由，得，再证明，可得出，可得结论； （2）先求出，，设半径为，则，，由列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ∴ 又，， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ∴ ∴，即， 是半径， 是切线； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴， 设半径为，则，， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． 23. 已知抛物线与轴有交点． （1）求证：为非负数； （2）若该抛物线与轴两交点的横坐标都是正整数，且，，求整数； （3）若，，均为奇数，该抛物线与轴交点横坐标能否为整数？说明你的理由． 【答案】（1）证明：抛物线与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ， 为非负数． （2） （3）不能，理由如下 假设存在整数横坐标，满足， ，，均为奇数，7是奇数， ，，都是奇数， 分两种情况讨论： ①是偶数，则是偶数，是偶数， 偶数偶数奇数奇数，矛盾； ②是奇数，则是奇数，是奇数， 奇数奇数奇数奇数，矛盾； 假设不成立，抛物线与x轴交点横坐标不能为整数． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与x轴有交点时，对应一元二次方程的判别式大于等于0，即可证明结论； （2）代入a，b代入抛物线表达式后，根据一元二次方程根为正整数的条件，推导得到整数c； （3）利用奇数偶数的运算性质，假设存在整数根，分情况讨论推出矛盾即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将，代入抛物线表达式，得， 该抛物线与轴两交点的横坐标都是正整数 方程有两个正整数根， 设方程的两个正整数根为，可得，， 是整数， 是7的倍数，7是质数，中必有一个是7的倍数， 又，且为正整数， 只能为2或者7，则， 解得， 验证得，符合题意， 整数． 【小问3详解】 略 24. 【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 该方案不合理； （3） 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （4）．【解析】 【分析】由即可求解； 根据题意可得建筑面积，楼高为，通过乘法法则即可求解，由题意得，，则，再通过三角函数求出，从而求解； 设层数为，则楼间距，楼宽 ，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 由单层楼高为，层数为，则楼间距 ，楼宽 ，所以． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：该方案不合理，理由如下： ∵建筑面积长宽层数， ∴建筑面积， 楼高为， 楼间距为 填表如下略， 如图，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该方案不合理； 【小问3详解】 解：设层数为，则楼间距，楼宽 ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大， ∵是正整数， ∴当时， ∴楼间距，楼宽，建筑面积， 方案略； 【小问4详解】 解：∵单层楼高为，层数为， ∴楼间距，楼宽， ∴． 25. 在中，，，点在的内部，连接，，点为线段的中点，连接． （1）如图，若，，求的长； （2）如图，将绕点逆时针旋转至，连接，，求证：； （3）如图，延长交于点，点为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：延长至点，使得，连接，如下图， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴为等腰直角三角形，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数解得，在中由勾股定理解得，的长度，然后由求解即可； （2）延长至点，使得，连接，证明为等腰直角三角形，进一步证明，，结合全等三角形的性质证明为等腰直角三角形，进一步证明结论即可； （3）过点B作，过点C作于点Q，易得四边形为正方形，以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时，此时，且点D在以Q为圆心，为半径的圆的劣弧上运动；取的中点O，连接，点M的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的一段弧，当且仅当三点共线时，取得最小值；过点M作于点H，过点D作于点K，结合三角函数和勾股定理计算，的值，证明，结合相似三角形的性质可得；结合翻折的性质即正方形的性质证明，进而可得，可求得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点B作，过点C作于点Q， 则， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， 以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时， 此时， ∴点D在以Q为圆心，为半径的圆的劣弧上运动， 如上图所示，取的中点O，连接，则， ∵点M为上的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的一段弧， 当且仅当三点共线时，取得最小值， 如下图所示，过点M作于点H，过点D作于点K， 此时， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】熟练掌握相关知识，正确地作出辅助线，得到点M的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下学期适应练习（5.25） 数学试题 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. … 2. 习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 6. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ） A. 29° B. 42° C. 58° D. 32° 7. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 9. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是________． 12. 分解因式：__． 13. 已知直线过点和，则______（填“”、“”或“”）． 14. 在中，，，，那么的值是________． 15. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 16. 如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，点D在上，． 求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，，为射线上两点，且＜． （1）求作菱形，使得点在射线上（尺规作图；保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当平分时，求的值 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 22. 如图，在中，，点为上一点，以为半径的经过斜边上点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点，且，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 已知抛物线与轴有交点． （1）求证：为非负数； （2）若该抛物线与轴两交点的横坐标都是正整数，且，，求整数； （3）若，，均为奇数，该抛物线与轴交点横坐标能否为整数？说明你的理由． 24. 【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 25. 在中，，，点在的内部，连接，，点为线段的中点，连接． （1）如图，若，，求的长； （2）如图，将绕点逆时针旋转至，连接，，求证：； （3）如图，延长交于点，点为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $