第六章 平面向量应用(解三角形) 章末复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学平面向量应用（解三角形）章末复习卷，以正弦定理、余弦定理为核心，通过基础巩固、能力提升及实际应用情境题，全面检测单元知识掌握，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|三角形解的个数、外接圆半径计算|第8题测量塔尖距离，体现几何直观与空间观念| |填空题|3题/15分|边长最值、四边形面积求解|第13题综合四边形条件，考查运算能力| |解答题|5题/77分|周长范围、面积取值、实际速度问题|第19题汽车与快艇送材料，构建模型发展应用意识与推理能力|

第六章 平面向量应用(解三角形)章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 2．在中，角A，B，C的对边分别为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】，， ， 由正弦定理得：， ． 3．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在中，已知、、，且为锐角，若有两解，则，逐项判断即可. 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 4．若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值. 【详解】由，有，得， 因为，所以，所以或， 又，所以应舍去，则. 又，解得. 5．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径. 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 6．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 8．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 10．在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理得出，中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由是直角求得，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又， 所以，即， 所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即， 又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形， 若，又，则，不是，D错误. 11．设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C的值，即可判断A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变式，得到边c的范围，即可计算周长的范围． 【详解】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径）， 则； 因为，代入可得： ， 则， 由两角和的正弦公式可得：， 因为，故，化简可得：， 故，因为，故，故B正确； 通过题给条件无法判断A,故A错误； 因为，由基本不等式可知：， 故； 故， 当且仅当时，“=”成立，故C正确； 由余弦定理可知：； 因为，故，解得； 因此周长：，因为， 因此周长可以为3，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，若，且，则边长的最小值为________. 【答案】 【详解】由，及正弦定理，得， 所以， 由，得. 由余弦定理及，得， 由均值不等式，得(当且仅当，即为正三角形时取等号)， 所以 解得，即. 13．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得， 可得, 又由， 可得 因为， 则， 所以, ， 所以四边形的面积为. 14．在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 【答案】 【分析】利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可． 【详解】 如图，由余弦定理得， 所以，因为，所以， 在中，由正弦定理得，得，则，， 在中，由余弦定理得， 因此得，所以，， 所以， 在中，， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 16．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 18．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 19．如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量应用(解三角形)章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 2．在中，角A，B，C的对边分别为，则（   ） A． B．2 C． D． 3．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 8．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 10．在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 11．设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，若，且，则边长的最小值为________. 13．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 14．在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 16．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 18．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 19．如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $