第六章 平面向量章末复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 平面向量章末复习卷，120分钟150分，覆盖向量概念、运算、几何应用，通过基础巩固与综合探究，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|单位向量、基底、夹角、投影向量|单选考概念辨析（如第1题），多选结合悬链线情境（第10题），体现数学眼光| |填空题|3题/15分|坐标运算、模长、投影最小值|第14题考投影向量与最值，强化运算能力| |解答题|5题/77分|数量积、几何表示、动点最值|第18题含线段交点与最值探究，第19题结合三角形动点范围，培养推理与模型意识，贴合高考综合题型趋势|

第六章 平面向量章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 2．设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以与是共线向量，因此有， 所以. 3．已知向量，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量平行性质及数量积公式计算即可得. 【详解】因为，故可设， 由，所以，解得， 所以. 4．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 5．已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的模的运算和数量积运算，结合向量的投影向量的计算公式计算. 【详解】因为 ， ， ，所以 ， ， 所以 在 上的投影向量为 . 6．在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 7．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，得， 所以， 所以. 8．若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用向量共线、垂直的判定条件，向量夹角余弦公式、投影向量的计算方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：两向量平行的充要条件是，代入得 ，故与不平行，A错误； 选项B：计算得 ， 则 ，故 ，B正确； 选项C： ，， ， 则夹角的余弦值，C正确； 选项D：在方向上的投影向量为，D正确. 10．悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（    ） A．点在的内部 B．点是的重心 C． D． 【答案】AC 【分析】设分别为的中点，整理可得，可知点为线段的三等分点（靠近点），进而逐项分析判断即可. 【详解】设分别为的中点， 因为，即， 则，即，可知点为线段的三等分点（靠近点）， 所以点在的内部，点不是的重心，故A正确，B错误； 不妨设，则，， 可得，，， 则，， 所以，故C正确，D错误. 11．如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；对C，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据条件可得，即可求解；对D，利用C中结果，可得，由三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量，，，则____________. 【答案】 【分析】先根据垂直得出参数，再应用模长公式计算求解. 【详解】向量，，， 则，即， 则. 13．已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 即，即，解得. 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________. 【答案】 【分析】由结合平面向量的数量积的运算律可得，结合在上的投影向量为可得，进而得到，再根据向量夹角余弦公式求解，设，，，转化问题为点与点重合时，取得最小值，进而可得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 则，即， 因为在上的投影向量为， 所以，则，即， 因此，所以， 又，则. 设，，如图所示，其中， 则，显然当且仅当，即点与点重合时，取得最小值， 所以，则，， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）依题意，； （2）因， 则； （3）因， 由（2）得，则. 16．已知，． (1)若，且，求，的值； (2)若，且，求的坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】(1)由向量的坐标运算计算与的坐标，根据列出关于，的二元一次方程组求解即可； (2)利用向量共线定理可以将表示为，再根据模长公式计算t即可求解． 【详解】（1）因为，求解可得：； 故； 故，解得：； （2）因为，故； 因为，故，解得，即； 故或． 17．如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 设，所以， 又、、三点共线，所以，解得，所以. （2）因为， 设， 又、、三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)13 (3) 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得； （3）建立适当平面直角坐标系后，利用平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【详解】（1）若，则，即，故； （2）若，则，即， 所以 ； （3）以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，∴； 设，则，又，∴，即， ∴，∴，， ∴， ∵P为线段AB上一点，∴， ∴，即， ∴的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 2．设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（   ） A．2 B． C． D．0 3．已知向量，若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为 10．悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（    ） A．点在的内部 B．点是的重心 C． D． 11．如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量，，，则____________. 13．已知向量满足，且，则__________. 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 16．已知，． (1)若，且，求，的值； (2)若，且，求的坐标． 17．如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 19．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $