第十章 概率 章末复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学概率章末复习卷，涵盖事件关系、古典概型、独立事件等核心知识点，通过社团纳新、电子竞技等现实情境设计问题，注重数学思维（推理、运算）与数学语言（数据意识）的考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|事件关系（第1题）、古典概型（第2题）、独立事件（第8题）|单选基础概念与多选辨析结合，适配分层检测| |填空题|3题/15分|互斥事件概率（第13题）、数字排列（第14题）|聚焦知识迁移与简洁应用| |解答题|5题/77分|有放回与不放回摸球（第16题）、比赛策略分析（第19题）|现实情境驱动，分问设计体现梯度，考查综合应用能力|

第十章 概率章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 2．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 8．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 10．下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与是对立事件 B．若，则事件与相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 11．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 13．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 14．现有按照固定顺序排列的一组数据：1，3，4，2，5，6，从这组数据中随机抽取4个数，将它们按照原来的顺序排列为，，，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 16．箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 18．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 19．某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 2．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 【答案】C 【详解】男生编号，女生编号， 则随机抽两人有 ，共种， 其中抽取的两人都为女生有， 则抽取的两人都为女生的概率是. 3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 4．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 6．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 7．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 8．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ABCD 【分析】结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 10．下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与是对立事件 B．若，则事件与相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 【答案】BD 【详解】A选项，事件与发生的概率之和为，但两个事件未必互斥，例如抛一枚骰子，得到点数为1或2或3为事件，得到点数为2或3或4为事件，显然，但两个事件不互斥，所以A选项错误； B选项，，所以，故事件与事件相互独立，所以B选项正确； C选项，互斥事件是无法同时发生的，但“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是可以同时发生的，所以C选项错误； D选项，因为是不放回，第二次取到红球，则第一次可以取到红球，也可以取到绿球， 所以第二次取到红球的概率为：，所以D选项正确. 11．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 【答案】/0.4 【分析】根据题意求出取个小球的结果总数，再找出之和为的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的个小球中取出个小球，共有种情况， 取出小球之和为的倍数情况为：，，，，共种情况， 所以取出之和为的倍数的概率：． 13．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 14．现有按照固定顺序排列的一组数据：1，3，4，2，5，6，从这组数据中随机抽取4个数，将它们按照原来的顺序排列为，，，，则的最大值为________． 【答案】9 【分析】利用列举法，列举这6个数中两个数的差的绝对值为，再根据差值确定4个数，最后计算的最大值. 【详解】设这六个数据分别为，，…，， 易知， 当存在时，抽取后按顺序排列的相邻数为1，6，此时无法按照原来的顺序排列抽取4个数，不满足题意； 当存在时，抽取后按顺序排列的相邻数为1，5或2，6，若为1，5，此时无法按照原来的顺序排列抽取4个数据，不满足题意，排除，另外一种情况满足题意； 当存在时，抽取后按顺序排列的相邻数据为3，6或2，5或1，4，若为3，6，此时无法按照原来的顺序排列抽取4个数字，不满足题意，排除，另外两种情况满足题意； 若抽取的相邻的数是2，6时，则4个数分别是1，3，2，6或1，4，2，6或3，4，2，6， 当1，3，2，6时，， 当1，4，2，6时，， 当3，4，2，6时，， 若抽取的相邻的数是2，5时，这4个数分别为1，2，5，6或3，2，5，6或4，2，5，6或1，3，2，5或1，4，2，5或3，4，2，5， 这6组中的每一组数的都比9小， 若抽取的相邻的数是1，4时，这4个数分别是1，4，2，5或1，4，2，6或1，4，5，6， 这4组中的每一组数的都小于等于9， 所以的最大值为9． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式计算求解； （2）应用互斥事件的概率加法公式计算求解. 【详解】（1）∵事件与事件是互斥事件．∴由互斥事件的概率加法公式得： （2）∵事件与事件是互斥事件，∴由互斥事件的概率加法公式得： 16．箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）恰好第4次结束意味着前3次中有一次摸到了红球，第4次必须摸到绿球； （2）前3次中恰好摸到1次红球，第4次摸到绿球，且总球数递减. 【详解】（1）每次都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球， 所以恰好第4次摸球结束的概率为. （2）每次都是不放回地摸球，分三种情况： 第1次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第2次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为. 故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为. 17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 18．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 19．某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)应在第一局选择保守策略，理由见解析 【分析】（1）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （2）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （3）比较（1）（2）问两个概率的大小即可得到答案. 【详解】（1）第一局采取保守策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率） 若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：A第一局败（概率），此时比分 若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率）， 若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选激进策略，胜率为， 综上，第一局保守策略的总胜率. （2）第一局采取激进策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 第二局选保守：胜率；败率，则进入第三局选择激进策略（胜率）， 第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：第一局败（概率），此时比分， 因第一局使用激进策略失败，第二局胜率降为 若第三局选保守：胜率，若第三局选激进：胜率，所以第三局选择激进策略， 综上，第一局激进策略的总胜率： （3）因为，即第一局选择保守策略最终获胜的概率大于第一局选择激进策略最终获胜的概率，所以应在第一局选择保守策略. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $