第十章 概率全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

**基本信息** 第十章概率提高篇单元卷，19题150分，覆盖概率定义、互斥对立事件、独立事件等核心知识，通过彩票中奖、比赛胜负等情境设计，适配单元复习，培养数学眼光与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|概率定义（题1）、互斥事件（题3）|结合彩票中奖情境（题1）| |多选|3题18分|频率与概率关系（题9）、独立事件判定（题10）|辨析易错概念（题9）| |填空|3题15分|随机模拟（题12）、比赛得分概率（题13）|生活场景应用（题14商场抽奖）| |解答|5题77分|事件运算（题15）、统计与概率综合（题16）、赛制概率分析（题19）|主客场赛制建模（题19），体现数学思维与应用意识|

第十章 概率全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解题思路】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【解答过程】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 3．（5分）（2025高一·全国·专题练习）一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【解题思路】根据互斥事件的定义对四组事件一一判断，得到答案. 【解答过程】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”， 与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件． 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 6．（5分）（2025高三·全国·专题练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【解答过程】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B错； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【解答过程】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得： . 故选：D. 8．（5分）（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【解题思路】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【解答过程】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东济宁·月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【解题思路】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【解答过程】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近， 但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确. 对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误； 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高一下·安徽六安·期末）已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 【答案】AB 【解题思路】根据互斥事件和独立事件的性质，逐项判断即可. 【解答过程】对于选项A，若事件两两互斥，则根据互斥事件的性质，可得，故A正确； 对于选项B，因为事件相互独立，根据独立事件的性质，可得与也相互独立，故B正确； 对于选项C，若事件相互独立，则；若事件为互斥事件，则，所以若，，则事件相互独立与互斥不能同时成立，故C错误； 对于选项D，假设从、、、中随机选出一个数字，记事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，则，，所以，，，所以事件两两独立，但，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（25-26高一上·湖南衡阳·月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（    ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【解题思路】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【解答过程】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为___________. 【答案】 【解题思路】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【解答过程】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为___________. 【答案】 【解题思路】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【解答过程】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【解题思路】根据古典概型，分情况计算求解. 【解答过程】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一·全国·课后作业）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求： (1)， ； (2)，； (3)记是事件的对立事件，求，，，． 【答案】(1)，. (2)，． (3)，，，． 【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【解答过程】（1），，， ，. （2），，， ，． （3），，，，. ，，， ，，，． 16．（15分）（24-25高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【答案】(1) (2)B车间,理由见解析 【解题思路】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【解答过程】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 17．（15分）（24-25高一下·贵州毕节·期末）某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试.每位学生均需要参加两轮选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格.在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，；在第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响. (1)甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由； (2)求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率. 【答案】(1)乙获得特长生资格的概率更大，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）根据独立事件乘法公式分别假设甲、乙获得特长生资格的概率，再比较即可； （2）利用对立事件求概率，甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的对立为两个都获得，再根据独立事件乘法公式计算即可. 【解答过程】（1）设事件分别表示甲、乙两名学生在第轮选拔中通过， 事件“甲获得特长生资格”，事件“乙获得特长生资格”， 由题意得，，，， ∴， ， ∵， ∴乙获得特长生资格的概率更大. （2）设事件“甲、乙两名学生至少有一人获得特长生资格”， 由（1）知，， ∴甲、乙两名学生都没获得特长生资格的概率为： ， ∴. 18．（17分）（24-25高一下·北京通州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数； （ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 19．（17分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解题思路】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【解答过程】（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 2．（5分）（24-25高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025高一·全国·专题练习）一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025高三·全国·专题练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 7．（5分）（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东济宁·月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 10．（6分）（24-25高一下·安徽六安·期末）已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 11．（6分）（25-26高一上·湖南衡阳·月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（    ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为___________. 13．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为___________. 14．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一·全国·课后作业）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求： (1)， ； (2)，； (3)记是事件的对立事件，求，，，． 16．（15分）（24-25高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 17．（15分）（24-25高一下·贵州毕节·期末）某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试.每位学生均需要参加两轮选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格.在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，；在第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响. (1)甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由； (2)求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率. 18．（17分）（24-25高一下·北京通州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 19．（17分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $