精品解析：山东省济宁市邹城市2026年初中学业水平模拟检测（二）数学试题

2026年初中学业水平模拟检测（二）数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写。务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简每个选项中的式子，再比较有理数的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：，，， ∵， ∴最大的数是． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的概念进行分析即可． 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形， 符合题意的主视图为A． 3. 2026年五一假期，全国国内旅游出游约亿人次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：∵亿， ∴． 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，中心对称图形指的是一个图形绕某个点旋转180度后能够和自身重合的图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．∵字母M是轴对称图形，不是中心对称图形，∴该选项不符合题意； B．∵字母A是轴对称图形，不是中心对称图形，∴该选项不符合题意； C．∵字母T是轴对称图形，不是中心对称图形，∴该选项不符合题意； D．∵字母H既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴该选项符合题意． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式的法则，逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B错误； 对于选项C，，运算正确， C正确； 对于选项D，， D错误． 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可解答． 【详解】解：已知， 对A选项，不等式两边同时加1，不等号方向不变，得，A不成立； 对B选项，不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，B不成立； 对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，C不成立； 对D选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，即 ，D成立． 7. 从1，，3，四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在第二、四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的图象在第二、四象限，则，画出树状图得到所有等可能性的结果数，再得出的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 画树状图如下所示： 由树状图可知， 一共有12种等可能性的结果数，其中的结果数有8种， ∴这些反比例函数中，其图象在第二、四象限的概率为． 8. 如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，根据题意得到，，得到弓形的面积弓形的面积，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接 ∵是边长为2的正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以点F为圆心，长为半径画弧， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分的面积． 9. 如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等．利用可以求出和点坐标，进而求出面积． 【详解】①，因为经过点，把点代入函数解得，所以①正确； ②，，无法得出 和两角之和是，也无法得出，所以②错误； ③点的坐标为，由①，点的纵坐标为2，横坐标为，所以③正确； ④的面积为，，所以④正确． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时， ， 即 ，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，在利用完全平方公式即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 12. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得： ， 解得：． 13. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则找出公共解集，即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 因此原不等式组的解集为． 14. 如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形 是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点，由轴对称的性质可知，，，再利用矩形的性质，证明、，得到、，得出四边形的周长为，说明当最小时，四边形的周长最小，根据，两点之间线段最短，得出当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长，即可得到四边形周长的最小值． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点， 由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证，， ， ∴四边形的周长为：， ∴当最小时，四边形的周长最小， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、先化简，再求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，然后进行乘除运算，最后进行加减运算； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 17. 如图，某款篮球架的底座米，底座与支架的夹角，支架长为2.50米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，篮板和支架均垂直于底座，支架平行于底座，求篮筐到地面的距离（最终结果保留小数点后两位，参考数据：，，，，）． 【答案】篮筐到地面的距离约为米 【解析】 【分析】先在中，根据求解，延长交射线于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在中，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得：在中，， ∴（米） 延长交射线于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， （米），， ， ∴， . 在中，（米）， （米）， 篮筐到地面的距离约为米． 18. 某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? （2）该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 【答案】（1） 甲型号体育器材单价为160元，乙型号体育器材单价为200元． （2） 购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 【解析】 【分析】（1）设甲型器材单价为未知数，因为甲型单价比乙型少40元，所以可以用含该未知数的式子表示乙型单价，如果用4800元买甲型的数量和6000元买乙型的数量相同，可根据数量相同的等量关系列分式方程求解； （2）设购买甲型器材的数量为未知数，因为总采购量为30台，所以可以用含该未知数的式子表示乙型器材的购买数量，根据“甲型数量不超过乙型数量的2倍”的条件，列不等式求出未知数的取值范围，设总采购费用为函数，结合甲、乙的单价，列出总费用关于甲型购买数量的一次函数，根据一次函数的单调性，在取值范围内求出费用最小值． 【小问1详解】 解：设甲型器材单价为元，则乙型器材单价为元， ， 解得， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴乙型单价为元， 答：甲型号体育器材单价为元，乙型号体育器材单价为元． 【小问2详解】 设购买甲型器材台，总采购费用为元，则乙型器材购买台， ， 解得（为非负整数）， ， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小， ， 答：购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 19. 为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，按照下面的一分钟跳绳百分制赋分表评分： 一分钟跳绳次数（次） 百分制分数 60 70 80 90 100 规定跳绳分数不少于80分为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳分数：60，60，60，60，70，70，70，70，80，80，80，80，80，80，90，90，90，90，90，100； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（分） 甲班 77.5 80 12 乙班 82 80 14 丙班 80.5 80 14 （1）填空：______，______，______； （2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（分）的学生总人数； （3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好?请结合统计量说明理由． 【答案】（1）80，90，80 （2）人 （3）乙班，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）用样本估计总体的方法求解即可； （3）可以从平均数、众数和优秀人数三方面分析即可． 【小问1详解】 解：20个数据，则中位数是第10，11个数据的平均数，由甲班的数据可得，第10，11个数据为80，80，则甲班的中位数； 根据扇形统计图可得，乙班90分占比最高，则众数为； 由条形统计图可得，前两组共人，第三组8人，那么第10，11个数据在第三组是80，80， ∴丙班的中位数； 【小问2详解】 解： （人） 答：本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（分）的学生总人数为人； 【小问3详解】 解：乙班的跳绳训练成效更好，理由如下： ①乙班平均数82，高于甲班77.5和丙班80.5，说明乙班整体平均水平最高； ②乙班众数90，高于甲班和丙班的80，说明乙班高分段人数更多； ③乙班和丙班优秀人数均为14人，多于甲班12人，且乙班在高分段(90分、100分)的占比更高， 综上，乙班在整体水平和高分表现上均更突出，训练成效更好． 20. 如图，点是矩形边的中点，以点为圆心，为半径，在矩形内部作半圆，点是该半圆上的一点（不与点重合），且，连接． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见详解（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，构造出半径和两个三角形和，再用证明，得出，最后结合切线的判定定理，完成证明． （2）过点E作，构造出两个直角三角形和，设（），用勾股定理列方程，最后求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， 点E在半圆上， (均为圆的半径)， 在和中， ， ， 四边形是矩形， ， (全等三角形对应角相等)， ， 是半径， 与相切于点（根据切线的判定定理） 【小问2详解】 解：过点E作,交于点F，于点G， 设（）， ，， ， 在中， ， 又， 在中， ， 即， 把代入 得，即， 把代入， 得，， 在中， ， ． 21. 如图，在足球比赛中，某运动员带球奔向对方球门，当他带球冲刺到点时，他的射门角为（射门角为从球员对应的点出发，分别经过球门立柱，的两条射线形成的夹角），已知，，球门宽约米． （1）若对方守门员在球门立柱，之间（即在线段上）选择防守位置，其防守覆盖区域是以为圆心，半径为米的圆，试判断线段上是否存在合适的位置，使对方守门员能够完全防守住该运动员的射门角，若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）该运动员决定放弃直接射门，选择传球给射门角度更大的球员，请利用尺规作图画出比他的射门角度更大的球员所处的最大范围． 【答案】（1）没有合适位置 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设与相切于点且经过点，这样可以找到能刚好覆盖球门的“最小圆”，当这个最小圆的半径大于守门员的防守半径时，即说明不存在合适位置； （2）过，，三点作一个圆，根据圆周角定理，该圆在球场一侧的弓形区域内的任意点所对的夹角（射门角），都大于圆外（如球员当前位置）所对的夹角． 【小问1详解】 解：能完全防守住的最小圆如图所示，设与相切于点且经过点， 则于点 ，设， ， 没有合适位置 【小问2详解】 解：①连接线段和。 ②用尺规作图法作出线段的垂直平分线。 ③用尺规作图法作出线段的垂直平分线。 ④两条垂直平分线的交点即为过，，三点的圆的圆心，记为， ⑤以为圆心，以为半径画圆， ⑥该圆在直线下方（即球员所在的一侧）的弓形区域（不包括边界圆弧），即为比该运动员射门角度更大的球员所处的最大范围，如下图所示： 22. 如图，小明和小亮练习乒乓球，已知球桌长约2.8米，球桌中间竖直架设高约0.15米的球网，某时刻小明在水平方向距离球网1.4米，竖直方向高于球桌0.2米的处将球发出，乒乓球（将乒乓球视作一个点）在球网前0.8米的球桌上的处反弹后越过球网，落在球网后0.4米处的球桌上的点处后再次反弹．若每次反弹前后乒乓球的轨迹均视为抛物线，且反弹后的抛物线可看作由反弹前的抛物线平移得到，以乒乓球桌所在的直线为轴，球网所在的直线为轴建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米长，请解决下列问题． （1）试判断小亮在球桌另一端，水平方向距离球网1.3米，竖直方向高于球桌0.15米处能否击中乒乓球，并说明理由； （2）如图2，小亮在水平方向距离球网1米的点处将上面小明发的球击回，回球时乒乓球飞行轨迹为二次函数的图象的一部分，若要保证小亮回球时乒乓球必须越过球网且落在球网另一侧的桌面上（不考虑乒乓球落在球网和球桌边缘的情况），求的取值范围． 【答案】（1）能击中乒乓球，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出段解析式为，再根据平移的性质求出第二次反弹后抛物线的解析式，将代入即可解答； （2）把代入，可得，然后分别把，代入解析式求出b的临界值即可． 【小问1详解】 解：如图，设段抛物线与x轴的另一个交点为G， 由题意，得，，， ∴ ， ∵反弹后的抛物线可看作由反弹前的抛物线平移得到， ∴ ∴， 设段抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得 ∴， ∵第二次反弹后，抛物线是原抛物线向右平移1.2米两次， ∴得到落点所在抛物线解析式：， 将代入，得 ，正好等于小亮位置的纵坐标， ∴能击中乒乓球； 【小问2详解】 解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴． ∵把代入，得； 解得． 把代入，得 ， 解得， ∴的取值范围是． 23. 在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； （3）如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，由旋转知，， ∴ ， ∴三点共线．当时， ∴， ∵， ． ∴ ， ∴在上． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵． （2）证明：∵， ∴ ，由旋转得 ， ∴， ∴A、C、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ 是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质和旋转的性质，确定和的对应边长度关系；再通过三角形内角和公式计算对应角的度数，找到两组对应边相等且夹角相等的条件，最后用全等判定定理完成证明． （2）证明，A、C、三点共线，证明，得，得，由，得，由，得，得，得，得，可得四边形是菱形． （3）过、B作，垂足为G，H，首先根据和的面积相等，推导出，可证明，得，过点作，交直线于点，连接，可得，由四边形为菱形，得，证明，得，可得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分别过、B作，垂足为G，H， 则 ， ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 过点作，交直线于点，连接， 则， ∵ ， ∴， 由（2）知四边形为菱形， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟检测（二）数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写。务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年五一假期，全国国内旅游出游约亿人次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 从1，，3，四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在第二、四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 13. 不等式组的解集为______． 14. 如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、先化简，再求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，某款篮球架的底座米，底座与支架的夹角，支架长为2.50米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，篮板和支架均垂直于底座，支架平行于底座，求篮筐到地面的距离（最终结果保留小数点后两位，参考数据：，，，，）． 18. 某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? （2）该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 19. 为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，按照下面的一分钟跳绳百分制赋分表评分： 一分钟跳绳次数（次） 百分制分数 60 70 80 90 100 规定跳绳分数不少于80分为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳分数：60，60，60，60，70，70，70，70，80，80，80，80，80，80，90，90，90，90，90，100； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（分） 甲班 77.5 80 12 乙班 82 80 14 丙班 80.5 80 14 （1）填空：______，______，______； （2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（分）的学生总人数； （3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好?请结合统计量说明理由． 20. 如图，点是矩形边的中点，以点为圆心，为半径，在矩形内部作半圆，点是该半圆上的一点（不与点重合），且，连接． （1）求证：与相切于点； （2）若，，求线段的长． 21. 如图，在足球比赛中，某运动员带球奔向对方球门，当他带球冲刺到点时，他的射门角为（射门角为从球员对应的点出发，分别经过球门立柱，的两条射线形成的夹角），已知，，球门宽约米． （1）若对方守门员在球门立柱，之间（即在线段上）选择防守位置，其防守覆盖区域是以为圆心，半径为米的圆，试判断线段上是否存在合适的位置，使对方守门员能够完全防守住该运动员的射门角，若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）该运动员决定放弃直接射门，选择传球给射门角度更大的球员，请利用尺规作图画出比他的射门角度更大的球员所处的最大范围． 22. 如图，小明和小亮练习乒乓球，已知球桌长约2.8米，球桌中间竖直架设高约0.15米的球网，某时刻小明在水平方向距离球网1.4米，竖直方向高于球桌0.2米的处将球发出，乒乓球（将乒乓球视作一个点）在球网前0.8米的球桌上的处反弹后越过球网，落在球网后0.4米处的球桌上的点处后再次反弹．若每次反弹前后乒乓球的轨迹均视为抛物线，且反弹后的抛物线可看作由反弹前的抛物线平移得到，以乒乓球桌所在的直线为轴，球网所在的直线为轴建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米长，请解决下列问题． （1）试判断小亮在球桌另一端，水平方向距离球网1.3米，竖直方向高于球桌0.15米处能否击中乒乓球，并说明理由； （2）如图2，小亮在水平方向距离球网1米的点处将上面小明发的球击回，回球时乒乓球飞行轨迹为二次函数的图象的一部分，若要保证小亮回球时乒乓球必须越过球网且落在球网另一侧的桌面上（不考虑乒乓球落在球网和球桌边缘的情况），求的取值范围． 23. 在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； （3）如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $