精品解析：山东省济宁市邹城市第十一中学2025年 中考二模数学试题

九年级第二次中考模拟测试 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数；乘积是1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：， 的倒数是． 故选：B． 2. 科学记数法表示的数是（ ） A. B. C. D. 52000 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了还原用科学记数法表示的小数，以及用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴科学记数法表示的数是， 故选：B 3. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 4. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键．根据圆柱、圆锥的特征解答即可． 【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 5. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 故选：D． 6. 如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形互补、三角形的内角和定理等知识点，由题意得，结合即可求解； 【详解】解：∵四边形内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C 7. 在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，据此解答即可． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧与图象符合，故B选项正确； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴右侧，与图象不相符，故D选项错误． 故选：B． 8. 如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于，构造出一个P点，再画出的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意． 【详解】解：如图，在边上取点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作的外接圆交网格于， 根据圆周角定理，得， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识． 9. 如图，扇形的圆心角是直角，半径为，C为边上一点，将沿边折叠，圆心O恰好落在弧上，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到，，然后根据，即可得到和的度数，再根据扇形的圆心角是直角，半径为，可以得到的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形的面积减和的面积． 【详解】连接， ∵沿边折叠得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵扇形的圆心角是直角，半径为， ∴， ∴阴影部分的面积=． 故选：A 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，推出△OAD是等边三角形，利用数形结合的思想解答． 10. 某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后顺序四人一组，根据李明和张雪的对话 给出以下四个结论： ①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为：，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，，，然后再根据选项分析即可． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为： ，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，， 对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟，，，李明）这样排列，那么（王凯，，张雪，）为一组，故①正确； 对于②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明，，，），（，赵伟，，），则（，王凯，，张雪），故张雪和王凯可能同一组，故②错误； 对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（，王凯，，张雪），则（，赵伟，，），故李明和赵伟可能不在同一组，故③错误； 对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（，，，王凯），（，张雪，，赵伟），（，，李明，），符合题意李明和赵伟也不同一组； 或者可以排列（，，王凯，），（张雪，，赵伟，），（，李明，，），符合题意李明和赵伟也不同一组，故④正确， 故选：C． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为 ___________． 【答案】2025 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求出的值，再将所求式子变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 化简，得：， ， 故答案为：． 13. 若不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式组的解集求参数，先由得出；由得出；再结合不等式组无解，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由得出； 由得出； ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为． 由题意，在中，，， ． ． ． 又绕点顺时针旋转至的位置， ． ． 又点是的中点， ． 在中， ， ． ，． 又在上， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键． 15. 有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了规律－数字变化类．根据规律分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数都为5，从而求得第2026次操作后所有数之和，即可解答． 【详解】解：∵依次排列的3个数：5，12，10，产生一个新数串：5，7，12，，10 ∴ 即第一次操作增加， ∵数串：5，7，12，，10操作后产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10 ∴， 即第二次操作增加， 依次类推，每次操作加5， 则第2026次操作后所有数之和为． 故答案：． 三、解答题：（本大题共8题，共75分） 16. （1）； （2）先化简，再从0，1，，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）（2），取，此时原式 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式运算、分式化简求值、分式有意义的条件等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据绝对值的性质、乘方运算法则、二次根式性质、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂运算法则进行计算，在进行乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行括号内的运算并将除法转化为乘法，然后约分即可完成分式化简，结合分式有意义的条件确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 在原分式中，且， 可取， 此时原式． 17. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 15 32 23 17 14 15 27 27 16 19，对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额/万元 频数 6 10 3 3 2 数据分析表： 平均数 众数 中位数 20.3 请根据以上信息解答下列问题： （1）上表中 ， ， ， ； （2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由； （3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率． 【答案】（1）4,2,16,18 （2）18万元，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据找出在，的频数即可求解，根据众数与中位数的定义即可求得的值； （2）根据中位数的意义求解． （3）根据列表法求概率求解． 【小问1详解】 解：将30个数据，从小到大排列如下， 13，14，15，15，15，15，16，16，16，16，16，17，17，17，18，18，19，19，19，22，23，24，26，27，27，27，28，30，32，32， 在的数据为26，27，27，27，4个，故， 在的数据为28，30，共2个，故， 其中出现了5次，次数最多，故， 第15和第16个数据为18，故， 故答案为：4，2，16，18． 【小问2详解】 18万元 理由：根据中位数为18万元，想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万元合适， 【小问3详解】 设第六组两名营业员为和第七组的两名营业员，列表如下， A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内的情形有4种可能， 故两名营业员在同一组内的概率为． 【点睛】本题考查了频数分布表，中位数，众数，列表法求概率，掌握数据统计的方法以及求概率的方法是解题的关键． 18. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 19. 已知、是平面直角坐标系中的两点，连接． （1）如图，作的角平分线交于点，作与轴相切于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证与轴相切； （3）如图②，求过点的反比例函数表达式． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线交于点，作与轴相切于点； （2）作轴于点，根据与轴相切于点，得出轴，根据角平分线的性质得出，进而可得是的半径，即可得证； （3）根据与轴相切，得出轴．可证矩形是正方形．设，根据，证明，根据相似三角形的性质得出，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①-1所示： 【小问2详解】 证明：如图①-2所示，作轴于点， 与轴相切于点， 轴， 是的平分线， ， 是的半径， 是的半径． 轴于点， 与轴相切． 【小问3详解】 解：如图②所示，与轴相切， 轴． 轴， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． 设， 、， ，， ， ， ， ， ，解得， ， 设过点的函数表达式为， ， ． 【点睛】本题考查了作角平分线，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接，且平分，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 21. 根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【答案】（1）；（2）①理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． （1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度； ②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 22. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点D和点E分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． （1）若点E的坐标为，求的解析式； （2）设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； （3）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②a的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标； ②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【小问1详解】 解：∵与y轴交点的坐标为， ∴，解得． ∴的解析式为 ； 【小问2详解】 解：根据“关联抛物线”定义可得的解析式为， ∵， ∴的顶点的坐标为 易得点， 过点作轴于点，连接． ∴，，， ∵， ∴，即． 解得， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或； ②∵的解析式为， ∴当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，a的值为或． 【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次中考模拟测试 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 科学记数法表示的数是（ ） A. B. C. D. 52000 3. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 4. 把立体图形转化为平面图形主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，扇形的圆心角是直角，半径为，C为边上一点，将沿边折叠，圆心O恰好落在弧上，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话 给出以下四个结论： ①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分．） 11. 因式分解：___________． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为 ___________． 13. 若不等式组无解，则的取值范围是___________． 14. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________． 15. 有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___________． 三、解答题：（本大题共8题，共75分） 16. （1）； （2）先化简，再从0，1，，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 17. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 15 32 23 17 14 15 27 27 16 19，对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额/万元 频数 6 10 3 3 2 数据分析表： 平均数 众数 中位数 20.3 请根据以上信息解答下列问题： （1）上表中 ， ， ， ； （2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由； （3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率． 18 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 19. 已知、是平面直角坐标系中的两点，连接． （1）如图，作角平分线交于点，作与轴相切于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证与轴相切； （3）如图②，求过点的反比例函数表达式． 20. 如图，是外接圆，是的直径，点在上，连接，且平分，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 22. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 23. 新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． （1）若点E的坐标为，求的解析式； （2）设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； （3）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $