精品解析：2026年四川南充市仪陇县初中学业水平模拟测试数学试题

工作秘密★启用前 2026届初中学业水平模拟测试 数学试题 注意： 1．数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 5．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、 B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（ ） A. 1.5×103 B. 1.5×106 C. 1.5×107 D. 15×106 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 承 B. 非 C. 遗 D. 文 5. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 6. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车无人乘坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘．问人数与车辆数各是多少？若设共有人，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度等于时，其体积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点P(a，b)是反比例函数y＝图象上异于点(－1，－1)的一个动点，则的值为(　　) A. 2 B. 1 C. D. 10. 已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 的相反数是_____． 12. 在描掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第10次抛掷时，正面朝上的概率是___________． 13. 五边形的外角和是________． 14. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 15. 定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 16. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将绕点顺时针旋转，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在线段上（不与点、重合），点落在上，交于，交于，则下列结论：①；②；③；④，正确的有________．（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，中，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，若，，求的长． 19. 某中学随机抽取部分七年级学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽取的学生总数为________名，并补全条形图； （2）已知该中学共有500名七年级学生，请你估计七年级学生中体能测试结果为D等级的人数； （3）欲从体能为A等级的3名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为运动员培养对象．用列表法或画树状图的方法，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 22. 如图，是的直径，是上一点（与，两点不重合），过点作直线，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作于点，交于点．若的半径为4，，求图中阴影部分的面积． 23. 某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售． （1）A、B型汽车的定价分别为多少万元？ （2）在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？ 24. 【初步感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长． 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 25. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 工作秘密★启用前 2026届初中学业水平模拟测试 数学试题 注意： 1．数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 5．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、 B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义即可得到答案． 【详解】解：负数即带有负号的数，故是负数的是， 故选：C． 2. 据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（ ） A. 1.5×103 B. 1.5×106 C. 1.5×107 D. 15×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：1500万＝15000000＝1.5×107． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的表现形式. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，根据对应运算法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 承 B. 非 C. 遗 D. 文 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开，熟练掌握几何体，特别是正方体的性质是解题的关键． 根据正方体的性质进行判断即可． 【详解】解：正方体有六个面，且相对的面通常被其他面隔开．观察题目中的展开图，可以发现“传”字所在的面与“文”所在的面是相对的．这是因为“传”字所在的面与“文”所在的面之间没有直接相邻的面，而是被其他面隔开． 故选D． 5. 阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A. 极差是6 B. 中位数是5 C. 众数是6 D. 平均数是5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可． 【详解】解：A．极差，故选项不符合题意； B．中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意； C．5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意； D．平均数为，故选项不符合题意， 故选：B． 6. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车无人乘坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘．问人数与车辆数各是多少？若设共有人，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设共有人，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设共有人， 根据题意得，． 7. 现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度等于时，其体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出，再求出时，的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当时，，则，解得， ∴， ∴当时，， ∴当压缩到密度等于时，其体积是． 8. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ， ∵， ∴． 9. 已知点P(a，b)是反比例函数y＝图象上异于点(－1，－1)的一个动点，则的值为(　　) A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵点P（a，b）是反比例函数图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，∴ab=1，∴====1．故选B． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分式的化简求值． 10. 已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出关于的表达式，最后利用平方数的非负性求出长的最小值． 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 的相反数是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】解： 相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3. 【点睛】错因分析  容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆. 12. 在描掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第10次抛掷时，正面朝上的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实际可知一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是，由此可知答案． 【详解】解：∵一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是， 故第10次抛掷这枚硬币正面朝上的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单的概率计算，能够根据事件计算出概率是解决本题的关键． 13. 五边形的外角和是________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理求解，任意多边形的外角和与边数无关，为固定值. 【详解】解：多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和均为，与边数无关， 五边形的外角和为． 14. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题知四边形是矩形，然后解三角形即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，四边形是矩形，，，， 在直角三角形中，， ∴， ∴， 则乙楼的高是． 15. 定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 16. 如图，在正方形中，对角线，交于点．将绕点顺时针旋转，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在线段上（不与点、重合），点落在上，交于，交于，则下列结论：①；②；③；④，正确的有________．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先推导出，，，，得到，，则，故①正确，，再根据，得到，故②正确，推导出，，得到，则，故③正确，继而推导出，得到，推导出，得到，化简，得到，故④正确，即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， 由旋转得 ，，， ，故①正确， ， ， ，故②正确， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即 ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，中，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后结合即可证明； （2）首先证明是等边三角形，然后由得到，然后利用三线合一和含30度角直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 又∵， ； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ∵， ∴， ，， ． 19. 某中学随机抽取部分七年级学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽取的学生总数为________名，并补全条形图； （2）已知该中学共有500名七年级学生，请你估计七年级学生中体能测试结果为D等级的人数； （3）欲从体能为A等级的3名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为运动员培养对象．用列表法或画树状图的方法，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50，见解析 （2）40人 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图信息的计算，样本估计总体，列举法求概率，熟练掌握统计的图表和相关计算方法是解题的关键． （1）根据图中A等级的人数和占比即可求解总人数，再利用总人数减去其他等级的人数即可求解C等级的人数，然后补全图象即可； （2）计算出样本中等级为D的人数占比为，即可求解； （3）按照不放回模型，通过树状图列举出所有等可能的情况求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生总数为（名）； C等级的人数为（名），补全条形图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计七年级学生中体能测试结果为D等级的人数约有40人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一男一女的结果有12种， 则恰好抽到一男一女的概率为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2）的值是1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式可得根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可得到方程解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：原方程有两个不相等的实数根， 整理得， ， ， 且； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故的值是1． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，得到反比例函数的解析式为，继而求出，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，即可解答； （2）根据图象进行求解即可； （3）先求出，设，得到，再根据的面积为3，得到 ，求出或，则将点的坐标为或，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为． 把点代入，得 ， ． 把，代入，得 ，解得． ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：在直线中，令，则， ， 设， ， ∵， ∴点A到x轴的距离为2， 的面积为3， ． ． 或． ∴点的坐标为或． 22. 如图，是的直径，是上一点（与，两点不重合），过点作直线，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作于点，交于点．若的半径为4，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 是的直径， ． ， ． ， ． ∴半径． ∴直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据，，得出，即可证明半径，从而得证； （2）根据已知，得出，证明为等边三角形．得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ． ，， ，． ． ． ． 又， 为等边三角形． ． ． ∴图中阴影部分的面积为． 23. 某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售． （1）A、B型汽车的定价分别为多少万元？ （2）在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元 （2） B型车售价定为18万元时月利润最大，最大利润为64万元 【解析】 【分析】（1）利用销售额=销量×定价，构建二元一次方程组，解方程组即可； （2）设售价或降价为自变量，构建月利润与售价或降价的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【小问1详解】 解：设A型汽车的定价为x万元，B型汽车的定价为y万元， 由题意，得， 解得， ∴A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元； 【小问2详解】 解：设降价m万元，月利润为w万元， 则由题意，得， ∵， ∴当时，w最大，最大值为（万元）， 此时售价为（万元）． 24. 【初步感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长． 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长为或6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及分情况讨论． （1）利用矩形的性质和垂直的定义，平角的定义，通过同角（等角）的余角相等证明即可； （2）利用问题（1）的解题思路先证明，再通过相似三角形对应边成比例列方程求解即可； （3）首先考虑到为等腰三角形时的三种情况：，，，然后利用几何性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【小问2详解】 为中点， ． 由（1）知， ． 即， ． 【小问3详解】 分三种情况： ①当时，则，， 则点与点重合，点与点重合，不符合题意； ②当时，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ； ③当时，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为中点， ． 综上所述，的长为或6． 25. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）先求出点B，C的坐标，分析出当面积最大时，四边形面积最大，求出直线的解析式，设，则，表示出，即可得P点坐标；在轴上取点，使得，分别求出的长，最后根据两点之间，线段最短可得答案； （3）先求出平移以后的抛物线解析式，分2种情况，在轴上方和下方，解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，得， ． 又点，关于对称轴直线对称，且， ， ， ， 又， 当面积最大时，四边形面积最大， 如下图，过作轴交于， ，， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，面积最大，此时四边形面积最大， ， ． 设对称轴与轴交于点，在轴上取点，且在直线的左侧，使得，连接，则，， 轴， ， 在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：， ， ， 此时，的最小值为； 【小问3详解】 在新抛物线上存在一点，使与互补，理由如下： ，， 新抛物线相当于将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位， 新抛物线解析式为 ， 设， 如下图，当在轴上方时，过作轴于， 与互补，与互补， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当在轴下方时，同理可得， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $