专题03不等式与不等式组专项训练（24大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以25类题型为框架，构建从概念辨析到综合应用的递进式训练体系，融合数形结合与模型思想，突出解题方法的系统性提炼。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题型（定义/解集辨析等）|定义判断法、解集几何表示|从不等式定义到解集概念，建立数与形的联系| |性质与解法|8题型（性质应用/求解等）|性质递推、数轴标根法|性质推导解法，解法关联参数问题，形成逻辑链| |综合应用|12题型（实际/几何/函数结合等）|建模分析、分类讨论|应用问题转化为不等式模型，体现数学与现实联系| |分层精练|15题（选择/填空/解答）|梯度训练法|覆盖基础到拔高，强化知识综合运用|

专题03不等式与不等式组专项训练 题型梳理归纳 题型1.不等式定义辨析题 题型2.不等式的解集 题型3.不等式性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.在数轴上表示不等式解集 题型7.求一元一次不等式的整数解 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.求解|x|≥a型绝对值不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.用一元一次不等式解决实际问题 题型12.用一元一次不等式解决几何问题 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型15.一元一次不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求一元一次不等式组的整数解 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的经济问题 题型24.不等式组阶梯收费应用题 题型25.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.不等式定义辨析题 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 3．用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 题型2.不等式的解集 1．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 3．求证：当时，一定比小． 题型3.不等式性质 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小：______． 3．已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 题型4.一元一次不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．若是关于的一元一次不等式，则_______． 3．已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 题型5.求一元一次不等式的解集 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 3．解不等式：． 题型6.在数轴上表示不等式解集 1．已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   2．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 题型7.求一元一次不等式的整数解 1．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的负整数解有______个． 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 3．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 题型9.求解|x|≥a型绝对值不等式 1．已知x满足（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（   ） A．0 B．6 C．12 D．14 2．若，则x的取值范围_______． 3．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 题型10.列一元一次不等式 1．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 2．小东身高，小北身高，请你用含、的不等式表示“小东比小北至少高5cm”为________． 3．分别取什么值时，代数式的值满足下列要求？ (1)不大于； (2)不小于的值． 题型11.用一元一次不等式解决实际问题 1．某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于且不高于”，则温度要求在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 3．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 题型12.用一元一次不等式解决几何问题 1．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 3．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 3．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 题型15.一元一次不等式组的定义 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 3．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 题型16.求不等式组的解集 1．不等式组的整数解有（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 2．不等式组的解集为______． 3．若关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围． 题型17.解特殊不等式组 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 2．已知，则的取值范围是________． 3．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 题型18.求一元一次不等式组的整数解 1．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 3．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：，并写出其整数解． 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 1．已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 2．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 3．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型20.由不等式组解集的情况求参数 1．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 2．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 题型21.不等式组和方程组结合的问题 1．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 3．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 题型22.列一元一次不等式组 1．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A．B．C． D． 2．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 3．学校为美化校园，计划用72米长的防腐栅栏围出一个等腰三角形花圃（栅栏刚好用完），设花圃的腰长为米，底边长为米． (1)请直接写出与的函数表达式； (2)当底边长是8米时，求腰长； (3)若要求花圃的底边长不超过腰长的，求自变量的取值范围． 题型23.不等式组的经济问题 1．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 3．随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 题型24.不等式组阶梯收费应用题 1．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 2．丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 3．为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 分层精练 一、单选题 1．若，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．不等式的解为_____． 7．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 8．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为_________． 9． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 10．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 三、解答题 11．按要求解答问题 (1)解方程组： (2)解不等式，并把解集在数轴上表示出来： 12．某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 13．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 14．为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝，已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． (1)每副护肘和护膝的价格分别是多少元； (2)若学校决定用不超过8000 元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案． 15．某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03不等式与不等式组专项训练 题型梳理归纳 题型1.不等式定义辨析题 题型2.不等式的解集 题型3.不等式性质 题型4.一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.在数轴上表示不等式解集 题型7.求一元一次不等式的整数解 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.求解|x|≥a型绝对值不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.用一元一次不等式解决实际问题 题型12.用一元一次不等式解决几何问题 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型15.一元一次不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求一元一次不等式组的整数解 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的经济问题 题型24.不等式组阶梯收费应用题 题型25.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.不等式定义辨析题 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 2．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 3．用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 题型2.不等式的解集 1．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 2．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 3．求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 题型3.不等式性质 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可解答． 【详解】解：已知， 对A选项，不等式两边同时加1，不等号方向不变，得，A不成立； 对B选项，不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，B不成立； 对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，C不成立； 对D选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，即 ，D成立． 2．比较大小：______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的范围，即可比较大小． 【详解】， ，即， 不等式两边同时加，得 ， ． 3．已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【答案】(1) (2) 恒成立 【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果； （2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论． 【详解】（1）解：已知，，， 代入得：； （2）解：将代入得：， 配方得： ， ∵任意实数的平方都大于等于0，即， ∴， 又∵， ∴恒成立． 题型4.一元一次不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 2．若是关于的一元一次不等式，则_______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数等于，未知数的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且． 由得或， 由得， ． 3．已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，先根据一元一次不等式的定义，得，先求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴． ∴原不等式化为：， 解得． 题型5.求一元一次不等式的解集 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】∵ 式子有意义， ∴， 解得． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再代入不等式即可解答； 【详解】 解：对于方程组 ， 将两个方程相加消去： ，得 ，解得， 把代入，得，解得 ， 把代入不等式得：，化简得， 解得：． 3．解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 题型6.在数轴上表示不等式解集 1．已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”的原则． 【详解】解：把，在数轴上表示如图所示．    2．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 【答案】(答案不唯一） 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集；解题的关键是根据数轴上的空心圆圈和箭头方向确定解集形式，再构造符合条件的一元一次不等式． 先根据数轴确定解集为，再构造一个解为的一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，该不等式的解集为， 可构造一元一次不等式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下： 题型7.求一元一次不等式的整数解 1．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 2．不等式的负整数解有______个． 【答案】2 【分析】根据已知的不等式解集，找出所有符合条件的负整数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：已知不等式的解集为，大于的负整数为，共个． 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 2．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 题型9.求解|x|≥a型绝对值不等式 1．已知x满足（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（   ） A．0 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据绝对值的性质求出满足条件的所有整数x，再计算所有x的绝对值之和，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是整数， ∴的所有可能取值为 ， ∴所有满足题意的的值的绝对值之和为． 2．若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 3．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 题型10.列一元一次不等式 1．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 2．小东身高，小北身高，请你用含、的不等式表示“小东比小北至少高5cm”为________． 【答案】 【分析】根据不等关系列不等式即可，注意“至少”表示不小于，对应不等号为大于等于． 【详解】由题意得，小东身高比小北至少高，即小东身高减去小北身高不小于，因此可得不等式． 3．分别取什么值时，代数式的值满足下列要求？ (1)不大于； (2)不小于的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意列出不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得， ∴当时，代数式不大于； （2）解：， 解不等式得， ∴当时，代数式不小于． 题型11.用一元一次不等式解决实际问题 1．某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于且不高于”，则温度要求在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定温度的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，包含用实心，不包含用空心”的原则在数轴上表示即可； 【详解】解：冷藏室温度要求为“高于且不高于” ， 温度的取值范围是， 在数轴上表示如图， 观察选项可知，C选项符合题意． 2．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 【答案】64 【分析】因为要保证操作人员安全，所以需先计算人跑到400米安全区域所需的时间，可利用公式（其中为时间，为路程，为速度）．因为导火线燃烧时间要大于人跑到安全区域的时间，所以可根据导火线燃烧速度，利用公式计算导火线的最小长度． 【详解】解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间． 导火线燃烧速度为，燃烧时间为； 人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为． ∴ ， 解得， 因此导火线必须超过． 3．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=30x+17000 (20≤x≤80) (2)分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元 【分析】（1）设分配给甲电商专卖店A型产品x件，再表示出分配给甲电商专卖店B型产品数量，以及分配给乙电商专卖店A、B型产品的数量，结合利润售价成本，即可求出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设分配给甲电商专卖店A型产品x件，则分配给甲电商专卖店B型产品件，分配给乙电商专卖店A型产品件，B型产品件， 由题意得： ， 又， ， y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时（件），（件），（件）， 即分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元． 题型12.用一元一次不等式解决几何问题 1．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，找出图中含角的直角三角形，并设出未知数表示线段长度是解题的关键．结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果． 【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°， 当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°， 当∠AED是钝角时， ∴∠AED＞90°， ∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE， ∴135°﹣∠ADE＞90°， ∴0°＜∠ADE＜45°， 综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论． 3．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解：， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握由函数图象求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：求不等式的解集就是找直线在轴及其下方部分对应的自变量的取值范围， ， 当时，直线在轴及其下方， 即不等式的解集是． 2．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 【答案】(1)这个一次函数的解析式是 (2)， (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出关系式即可； （2）先画出图象，再根据函数的增减性解答； （3）设点C的坐标，再根据面积公式得出方程，求出解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 所以一次函数关系式为； （2）解：如图所示， 当时，，解得； 当时，，解得， ∵一次函数，其中， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． 当时，， 即当时，； （3）解：设点，则，且， ∴， 解得或， ∴点或． 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出m的值，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， 根据函数图象可知，不等式的解集是． 2．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 3．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据第一问的结果得到对应函数解析式，根据题意列出不等式，结合的条件，推导得到的取值范围． 【详解】（1）解：把和分别代入可得： ， 解得：； （2）由(1)可知，， ∴，， 根据题意，当时，恒成立， 拆分不等式得 整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此，即， 整理②得：， 综上可得的取值范围是． 题型15.一元一次不等式组的定义 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 2．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 3．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 题型16.求不等式组的解集 1．不等式组的整数解有（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【分析】先分别求解每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法得到公共解集，最后找出范围内的整数解即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴解集内的整数解为：，共个． 2．不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则找出公共解集，即可得到答案． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 因此原不等式组的解集为． 3．若关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题将方程组的两个方程相减，整理得到关于的表达式，再结合已知的的取值范围，列出关于的不等式求解即可． 【详解】解： 用方程减去方程，得 ， 整理得 ， ， ， 解得． 题型17.解特殊不等式组 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 2．已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 3．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 题型18.求一元一次不等式组的整数解 1．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 2．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 3．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：，并写出其整数解． 【答案】(1) (2)，0，1，2，3 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：解不等式得，， 解不等式 得，， 所以不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1，2，3． 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 1．已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 所以． 2．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 3．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【详解】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 题型20.由不等式组解集的情况求参数 1．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故所有整数解的和是9或10． 2．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立问题，熟练运用待定系数法和分类讨论思想分析函数与不等式的关系是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，列方程组求解、的值； （2）先将（1）中求得的、值代入函数解析式，再根据题意列出不等式组，通过对的取值进行分类讨论，结合一次函数的增减性分析不等式恒成立的条件，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 由题意得，当时，可得不等式组， 解①：整理得， 当，即时，，随着逐渐增大，无法恒小于一个数，不成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，； 解②：整理得，， 当时，逐渐减小，不成立， 当时，不成立， 当时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，． 题型21.不等式组和方程组结合的问题 1．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 3．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 题型22.列一元一次不等式组 1．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 2．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 3．学校为美化校园，计划用72米长的防腐栅栏围出一个等腰三角形花圃（栅栏刚好用完），设花圃的腰长为米，底边长为米． (1)请直接写出与的函数表达式； (2)当底边长是8米时，求腰长； (3)若要求花圃的底边长不超过腰长的，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)腰长为32米 (3) 【分析】（1）根据三角形的周长得底边等于周长减去两腰列得函数表达式； （2）将代入函数表达式求出x即可； （3）根据每条边都为正数，底边长不超过腰长的，及三边关系列不等式组解答 【详解】（1）y与x的函数表达式为； （2）当时，解得：， ∴腰长为32米； （3）由题知， 解得自变量x的取值范围是 题型23.不等式组的经济问题 1．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 3．随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1) (2)共有种进货方案，理由见解析 (3)该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元 【分析】（1）根据“购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双，然后根据“总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双”，列不等式求解，再根据鞋的数量是正整数解答即可； （3）设专卖店获得的利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：共有种进货方案．理由如下： 由（1）得，， 设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双， 根据题意，得， 解得， 为正整数， 共有种进货方案． （3）解：设专卖店获得的利润为， 根据题意，得， ，， 随的增大而减小，当时，取得最大值为元，此时（双）． 答：在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元． 题型24.不等式组阶梯收费应用题 1．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】D 【分析】根据“颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出”即可求解． 【详解】解：∵颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴颗相同的玻璃球的体积最多是：， ∴1颗玻璃球的体积最多是：， ∵颗相同的玻璃球的体积最少是， ∴1颗玻璃球的体积最少是：， ∴根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在以上，以下． 2．丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 【答案】6 【分析】设今年丽丽的年龄为岁，用含的代数式表示爷爷今年的年龄，根据2年前和2年后的年龄不等关系列出不等式组，求解后取正整数解即可得到结果． 【详解】解：设今年丽丽年龄为岁，则爷爷年龄为岁． 由题意得， 解得 解得 因此不等式组的解集为 为正整数， ． 3．为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 (2)购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时总费用最少，最少总费用为1100万元 【分析】（1）设购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元，根据“A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元；A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元”可列出二元一次方程组解决问题； （2）设购买A型公交车辆，则B型公交车辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过万元”和“辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次”可列出不等式组，求出，，，分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断． 【详解】（1）解：设购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得． 答：购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元． （2）解：设购买A型公交车辆，则B型公交车辆， 由题意得，， 解得：， 所以，，； 则，，； ∴购买A型公交车辆，B型公交车辆：（万元）； 购买A型公交车辆，则B型公交车辆：（万元）； 购买A型公交车辆，则B型公交车辆：（万元）． ∴购买A型公交车辆，则B型公交车辆总费用最少，最少总费用为万元． 分层精练 一、单选题 1．若，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的符号不变；2、不等式两边同时乘上或者除以相同的正数，不等式的符号不变；3、不等式两边同时乘上或者除以相同的负数，不等式的符号改变；据此进行逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴ ，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵ ，∴，原结论不成立，故该选项符合题意； D、∵，∴，则，故该选项不符合题意； 2．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式得：， 在数轴上表示为 3．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于的不等式的解集即为直线在轴下方时对应的取值范围． 【详解】解：由函数图象可得，关于的不等式的解集是． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式②，得， ， 不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为 5．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【详解】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 二、填空题 6．不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 7．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可． 【详解】解： ①②得：， ∴， ∵ ∴ 解得： 8．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 9． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 10．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 三、解答题 11．按要求解答问题 (1)解方程组： (2)解不等式，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】(1) (2)；数轴见解析 【详解】（1）解： 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：； 去括号得，， 移项得，， 合并同类项，得， 系数化为1得，， 解集在数轴上表示为： 12．某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 【答案】(1) 甲型号体育器材单价为160元，乙型号体育器材单价为200元． (2) 购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 【分析】（1）设甲型器材单价为未知数，因为甲型单价比乙型少40元，所以可以用含该未知数的式子表示乙型单价，如果用4800元买甲型的数量和6000元买乙型的数量相同，可根据数量相同的等量关系列分式方程求解； （2）设购买甲型器材的数量为未知数，因为总采购量为30台，所以可以用含该未知数的式子表示乙型器材的购买数量，根据“甲型数量不超过乙型数量的2倍”的条件，列不等式求出未知数的取值范围，设总采购费用为函数，结合甲、乙的单价，列出总费用关于甲型购买数量的一次函数，根据一次函数的单调性，在取值范围内求出费用最小值． 【详解】（1）解：设甲型器材单价为元，则乙型器材单价为元， ， 解得， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴乙型单价为元， 答：甲型号体育器材单价为元，乙型号体育器材单价为元． （2）设购买甲型器材台，总采购费用为元，则乙型器材购买台， ， 解得（为非负整数）， ， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小， ， 答：购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 13．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 14．为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝，已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． (1)每副护肘和护膝的价格分别是多少元； (2)若学校决定用不超过8000 元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案． 【答案】(1)每副护肘20元，每副护膝30元 (2)共有三种方案，方案一：买护肘100副，护膝200副；方案二：买护肘101副，护膝199副；方案三：买护肘102副，护膝198副 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设每副护肘x元，则每副护膝元，根据题意可列出关于x的分式方程，求解并检验即可； （2）设买护肘y副，则买护膝副，根据题意可列出关于y的一元一次不等式组，求解，结合y为整数，解答即可． 【详解】（1）解：设每副护肘x元，则每副护膝元， 根据题意有：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每副护肘20元，每副护膝30元； （2）解：设买护肘y副，则买护膝副， 根据题意有：， 解得：． ∵y为整数， ∴共有三种方案，如下， 方案一：买护肘100副，护膝200副； 方案二：买护肘101副，护膝199副； 方案三：买护肘102副，护膝198副． 15．某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $