第2章不等式与不等式组综合专练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章不等式与不等式组综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】因为中，不含有未知数， 故A不符合题意； 因为是一元一次不等式， 故B符合题意； 因为中，未知数不是整式， 故C不符合题意； 因为中，含有两个未知数， 故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．一个关于的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解：这个不等式的解集是． 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案 【详解】解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，A错误； 对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误； 对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误； 对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确 5．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 6．定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的定义可得，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， 即不等式的解集是． 7．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 8．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式方程，找出能使分式方程的解为正整数的的值，注意分式方程无解的情况；解一元一次不等式组，找出不等式组有且仅有个整数解时的取值范围，综合起来找出符合所有条件的整数后即可得解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项和合并同类项，得， 当时，分式方程无解， 当时， 系数化为，得， ∵，， ∴或， 即， 关于的分式方程的解为正整数， 或或； ， 由得， ， 由得， 要使关于的不等式组有且仅有个整数解， 即范围内有个整数解， ， ， 综上，满足条件的所有整数为，，和为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握分式方程及不等式组 的解法． 9．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 10．已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（   ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查整式的性质，不等式的性质，熟练掌握整式的性质及不等式的性质是关键． ①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论； ②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一； ③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解∶①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ， 故①正确； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式的没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②正确； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，满足条件的组合有共个， 当时，满足条件的组合有共9个， 当时，满足条件的组合有共3个， 所以满足条件 和 的三次三项式共有（个）， 故③正确． 故选：D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减得到，结合可得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 得，． ， ， 解得． 12．已知且，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题的关键． 13．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 【答案】 2 【分析】本题考查立方根，解一元一次不等式，根据新定义得出式子是解题的关键： （1）由新运算的定义得出，再根据立方根得出答案； （2）由新运算的定义得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）由新运算的定义知：， 把，代入，得， 所以8的立方根是2， 故答案为：2； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：． 14． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 15．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 16．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴不等式的解集为； （2）解： 解得， ∴不等式的解集为． 18．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为 ， 所以，原不等式组的整数解为 ． 【答案】，，作图见详解，， 【分析】由不等式解法、数轴表示不等式解集、不等式组解集求法计算即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为． 19．对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】（）将给定的新运算表达式代入定义式，转化为常规的不等式，再通过去括号、合并同类项化简不等式，求解不等式后，找出大于解集的最小整数，得到不等式的最小整数解； （）先根据新定义运算，依次计算出的表达式，再将其代入给定的不等式，化简后解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义：， 将展开:代入不等式,得:, 化简计算: 即： 解得： ∵大于的最小整数为， 即不等式的最小整数解是； （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得：, 即的取值范围（或）． 20．阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法，整式的加减，掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将、展开并作差，根据差的符号判断大小； （2）令，再将，转化为整式运算，然后作差判断符号，得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 答：． （2）解：设， 则，， ，， ， ， ． 答：． 21．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 22．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 【答案】(1)； (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用直线与轴的交点即为时，对应的的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴的交点坐标，结合图象即可得出答案； （3）利用图象即可求出答案． 【详解】（1）解：与x轴交于点， 关于x的方程的解是， 的图象与x轴交于点， 结合函数图象可得，关于x的不等式的解集； （2）解：根据图象可得的解集为， 可得的解集为 的解集为； （3）解：和两直线交于点， 结合函数图象可得， 当时，； 当时，； 当时，． 23．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得，方程组的解满足， ∴， 解得． 24．随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进A，B两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中A型无人机4万元/架，B型无人机3万元/架．已知A型机比B型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且A型机与B型机一小时一共可以喷洒10公顷农田． (1)求A，B两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)A型号的无人机平均每小时喷洒农田6公顷，B型号的无人机平均每小时喷洒农田4公顷． (2)购买A型无人机8架，B型无人机2架，才能使购买总成本最低，最低成本为38万元． 【分析】（1）设A型号的无人机平均每小时喷洒农田x公顷，B型号的无人机平均每小时喷洒农田y公顷，根据题意，得，求解即可； （2）解：设购买型号的无人机m架，则购买型号的无人机架，且购买的总成本为w万元，根据题意，得，，求解即可； 【详解】（1）解：设型号的无人机平均每小时喷洒农田x公顷，型号的无人机平均每小时喷洒农田y公顷，根据题意，得， 解方程组，得， 答：型号的无人机平均每小时喷洒农田6公顷，型号的无人机平均每小时喷洒农田4公顷． （2）解：设购买型号的无人机m架，则购买型号的无人机架，且购买的总成本为w万元，根据题意，得， 解得， 由m为整数， 故m的值为8，9，10， 因为，且w随m的增大而增大， 故当时，w取得最小值，且， 故购买A型无人机8架，B型无人机2架，才能使购买总成本最低，最低成本为38万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章不等式与不等式组综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 3．一个关于的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 8．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 9．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知整式M：，其中，为正整数，，，，均为自然数，下列说法中正确的有（   ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有30个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围为________． 12．已知且，则k的取值范围为______． 13．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 14． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 15．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 16．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．解下列不等式： (1)； (2)． 18．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为 ， 所以，原不等式组的整数解为 ． 19．对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 20．阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 21．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 22．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 23．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 24．随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进A，B两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中A型无人机4万元/架，B型无人机3万元/架．已知A型机比B型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且A型机与B型机一小时一共可以喷洒10公顷农田． (1)求A，B两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $