2025-2026学年人教版八年级数学下册期末模拟卷

**基本信息** 覆盖八年级下册全册核心知识，以选择、填空、解答题梯度设计，突出几何证明、函数应用及统计分析，融入端午节销售、火车噪声等现实情境，培养数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次根式、勾股定理、一次函数平移等|第8题台阶最短路径问题，考查空间观念与转化思想| |填空题|6|多边形内角和、函数图像规律等|第16题函数图像循环规律，培养抽象能力与创新意识| |解答题|9|统计分析、动态几何、实际应用等|21题结合分式方程与不等式解决粽子销售利润问题，23题通过铁路噪声情境考查距离计算，体现应用意识与数学思维|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册全册。 第Ⅰ卷 1、 单选题 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 3．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 6．若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．估计的值应在（    ） A．9和10之间 B．10和11之间 C．11和12之间 D．12和13之间 8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 10．已知整式，其中n为自然数，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式共有44个． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷 2、 填空题 11．化简：________ 12．比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 13．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是________． 15．已知，，则式子的值为_________． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2) 18．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 19．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3) 根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 20．如图，在四边形中，．对角线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 21．端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． (1)求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 22．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 24．正方形中，点在上，且与交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 25．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册全册。 第Ⅰ卷 1、 单选题 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证即可得到结果． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式.； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、的被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断，若三角形三边中，较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，， 不能构成三角形，更不能构成直角三角形，不符合题意； B选项，最长边为，，，即， 能构成直角三角形，符合题意； C选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断选项即可得到答案. 【详解】解：对于A选项：∵二次根式乘法满足 ∴，计算正确； 对于B选项：∵和不是同类二次根式，无法合并， ∴计算错误； 对于C选项：∵二次根式除法满足 ∴，计算正确； 对于D选项：∵ ∴，计算正确 4．将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一次函数图象的平移规律为“上加下减，左加右减”，向下平移只需要对原解析式的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为． 5．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 6．若代数式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，分别列式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， 解得，， ∴实数的取值范围是且． 7．估计的值应在（    ） A．9和10之间 B．10和11之间 C．11和12之间 D．12和13之间 【答案】B 【分析】先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在10和11之间． 8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 10．已知整式，其中n为自然数，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式共有44个． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的性质与组合计数．根据条件，逐项分析说法：①单项式情况有4个；②时和应为，说法错误；③总整式个数为44． 【详解】解：∵整式满足，且为正整数． 对于①：当为单项式时，，则． ∵为自然数，为正整数， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时无解． ∴有4个单项式，①正确． 对于②：当时，． 时，，有6个整式：、、； 时，，有． 求和得，但②说和为，错误． 对于③：总整式个数： ：，1个； ：，到，对应取值，共11个； ：，到，对应组合，共25个； ：7个； 无解． ∴总数为，③正确． 综上，①和③正确， 故选：C． 第II卷 2、 填空题 11．化简：________ 【答案】/ 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 12．比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 13．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是________． 【答案】8 【分析】设这个多边形的边数为，根据题目给出的内角和与外角和的倍数关系列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 由题意得：， 解得． 15．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 【答案】作图见解析， 【分析】以点A为圆心，以为半径画弧，再分别以J，H为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，交于点F，连接； 先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再根据证明，可得，然后说明 垂直平分线段，可得，进而得出答案. 【详解】解：如图所示， 证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， . ， ， 在和中 ， (）， . ，， 垂直平分线段， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 19．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 20．如图，在四边形中，．对角线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ∴四边形的周长为． 21．端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． (1)求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【答案】(1)甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元 (2)应该购进甜口粽子24袋 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【详解】（1）解：设咸口粽子每袋进价为元，则甜口粽子每袋进价为元， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元． （2）解：设购进甜口粽子袋，则购进咸口粽子袋， 由题意得， 解得 ， 设售完60袋粽子的总利润为元， 由题意得 ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 22．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图像见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图像即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图像如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 24．正方形中，点在上，且与交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①等腰直角三角形，理由见解析； ②见解析 【分析】（1）根据四边形 是正方形得到，结合，即可得到答案； （2）①根据即可得到，结合，可得，结合平分即可得到，即可证明是等腰直角三角形；②过点作交的延长线于点，易得是等腰直角三角形，从而得到，易证  ，进而，等量代换后即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）①是等腰直角三角形； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴即：， ∵， ∴即：， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②如图所示， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴是等腰直角三角形 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 25．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)①；②点M的坐标为；的周长的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和平行线的性质可证明，则可证明，得到，故，据此可证明是等腰直角三角形，得到，则，可推出，再利用待定系数法求解即可；②可证明是等腰直角三角形，则，可求出；作点E关于直线的对称点T，连接，则，可证明当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；证明点P为的中点，求出点T的坐标为，据此可得答案； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，则可求出，，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得，，则， ∴， ∴直线的解析式为； ②由（1）①可知是等腰直角三角形，则， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于直线的对称点T，连接，则， ∴的周长， ∴当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 由（1）①得， 由轴对称的性质可得， ∴E、P、T三点共线，即点P为的中点， ∴点T的坐标为，即， ∴， ∴的周长的最小值为； ∵轴， ∴点M的横坐标为4， 在中，当时，， ∴此时点M的坐标为 （2）解：如图，作于点H， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $