2026年中考数学二轮复习 锐角三角函数

**基本信息** 以"概念辨析-图形计算-实际应用"为逻辑主线，通过20道梯度题构建"定义理解-技能训练-模型建构"三阶突破体系，突出数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|非负性质求角、函数值比较、互余转化|从定义到性质，构建三角函数内在关系链| |网格与图形|4题|构造直角三角形、等积法求高、坐标转化|以格点图形为载体，强化几何直观与运算能力| |实际应用|10题|双直角三角形模型、坡度坡角转化、方程思想|从单一测量到复杂场景，培养数学建模与应用意识| |综合计算|3题|公式推导、动态旋转、多解讨论|整合三角函数与几何知识，发展逻辑推理与创新思维|

2026年中考数学二轮复习 锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，（2cosA）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（　　） A． B． C． D． 3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 4．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（　　） A． B． C． D． 6．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B+∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3 9．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　） A．47m B．51m C．53m D．54m 二．填空题（共5小题） 11．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　 分米（结果用含根号的式子表示）． 12．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为　 　 13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 　 　 ． 14．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°1．类似地，可以求得sin15°的值是　 　 ． 15．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为　 　 海里（取，结果精确到0.1海里）． 三．解答题（共5小题） 16．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60． 17．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40） 18．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米． （1）求点D′到BC的距离； （2）求E、E′两点的距离． 19．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）． 20．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．） 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，（2cosA）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由（2cosA）2+|1﹣tanB|＝0，得 2cosA，1﹣tanB＝0． 解得A＝45°，B＝45°， 则△ABC一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】网格型． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可． 【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4， 由勾股定理得，AO2， ∴sinA， 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 【考点】锐角三角函数的增减性． 【答案】C 【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数； 再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析． 【解答】解：∵sin30°＝cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选：C． 【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律． 4．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用． 【答案】A 【分析】设PA＝PB＝PB′＝x，在RT△PCB′中，根据sinα，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设PA＝PB＝PB′＝x， 在RT△PCB′中，sinα， ∴sinα， ∴x﹣1＝xsinα， ∴（1﹣sinα）x＝1， ∴x． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型． 5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值． 【解答】解：如图，连接BE、AE． 则：EB，AB． ∵CD、BE、AE都是正方形的对角线， ∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°． ∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°． ∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形． ∴cos∠ABE． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 6．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】计算题；解直角三角形及其应用． 【答案】D 【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解． 【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90° ∴∠DCE＝45°， ∵DE⊥CE ∴∠CED＝90°，∠CDE＝45° ∴设DE＝CE＝1，则CD 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴tan∠CAD，则AC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45° ∴BC， ∴在Rt△BED中，tan∠CBD 故选：D． 【点评】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键． 7．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】网格型． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E， 由勾股定理，得 AB＝AC，BC． 由等腰三角形的性质，得 BEBC． 由勾股定理，得 AE， 由三角形的面积，得 AB•CDBC•AE． 即CD． sin∠CAB， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，利用三角形的面积公式得出CD的长是解题关键． 8．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B+∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3 【考点】互余两角三角函数的关系． 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，根据三角函数的定义得到AD＝AB•sinB，A′D′＝A′B′•sinB′，BC＝2BD＝2AB•cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论． 【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′， ∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形， ∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′， ∴AD＝AB•sinB，A′D′＝A′B′•sinB′，BC＝2BD＝2AB•cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′•cosB′， ∵∠B+∠B′＝90°， ∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB， ∵S△BACAD•BCAB•sinB•2AB•cosB＝25sinB•cosB， S△A′B′C′A′D′•B′C′A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′＝9sinB′•cosB′， ∴S△BAC：S△A′B′C′＝25：9． 解法二：证明△ADB∽△B′D′A′，推出△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2． 故选：A． 【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式． 9．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【答案】D 【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CHx米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝（620）米，即可得出大楼AB的高度． 【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示： 则GH＝DE＝15米，EG＝DH， ∵梯坎坡度i＝1：， ∴BH：CH＝1：， 设BH＝x米，则CHx米， 在Rt△BCH中，BC＝12米， 由勾股定理得：x2+（x）2＝122， 解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米， ∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（620）（米）， ∵∠α＝45°， ∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG＝（620）（米）， ∴AB＝AG+BG＝620+9≈39.4（米）； 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键． 10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　） A．47m B．51m C．53m D．54m 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】数形结合；应用意识． 【答案】B 【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案． 【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC， ∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°， ∴∠ADB＝∠A＝30°， ∴BD＝AB＝60m， ∴CD＝BD•sin60°＝603051（m）． 故选：B． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　　 分米（结果用含根号的式子表示）． 【考点】解直角三角形的应用；列代数式；勾股定理的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】． 【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键． 12．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为　100　 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】几何图形问题． 【答案】100 【分析】过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E， ∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°， ∴∠APB＝75°， ∵∠BAP＝∠APC＝75°， ∴∠APB＝∠BAP， ∴AB＝PB＝200m， ∵∠ABP＝30°， ∴PEPB＝100m． 故答案为：100． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 　　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】连接DE，根据题意可得：AB∥DE，从而利用平行线的性质可得∠APC＝∠EDC，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠DCE＝90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos∠CDE的值，即可解答． 【解答】解：如图：连接DE， 由题意得： AB∥DE， ∴∠APC＝∠EDC， 在△DCE中，CD2＝22+42＝20， CE2＝12+22＝5， DE2＝32+42＝25， ∴CD2+CE2＝DE2， ∴△DCE是直角三角形， ∴∠DCE＝90°， ∴cos∠CDE， ∴cos∠APC＝cos∠CDE， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°1．类似地，可以求得sin15°的值是　　 ． 【考点】特殊角的三角函数值． 【专题】新定义． 【答案】 【分析】把15°化为60°﹣45°，则可利用sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值． 【解答】解：sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°••． 故答案为． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力． 15．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为　67.5　 海里（取，结果精确到0.1海里）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】应用题；压轴题． 【答案】67.5 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE＝x海里，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB＝25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度． 【解答】解：∵∠DBA＝∠DAB＝45°， ∴△DAB是等腰直角三角形， 过点D作DE⊥AB于点E，则DEAB， 设DE＝x海里，则AB＝2x（海里）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝30°， 则CEDEx（海里）， 在Rt△BDE中，∠DAE＝45°， 则DE＝BE＝x（海里）， 由题意得，CB＝CE﹣BEx﹣x＝25（海里）， 解得：x， 故AB＝25（1）＝67.5（海里）． 故答案为：67.5． 【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般． 三．解答题（共5小题） 16．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝78（m），AB＝CE， 在Rt△ACE中，EC＝AE•tan58°≈125（m） 在Rt△AED中，DE＝AE•tan48°， ∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan58°﹣AE•tan48°＝78×1.6﹣78×1.11≈38（m）， 答：甲、乙建筑物的高度AB约为125m，DC约为38m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题． 17．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】常规题型；解直角三角形及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解之求得CH的长，再由EF＝BEsin68°＝3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F， 设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x， 由AB＝49知x+0.4x＝49， 解得：x＝35， ∵BE＝4， ∴EF＝BEsin68°＝3.72， 则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm）， 答：点E到地面的距离约为66.7cm． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． 18．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米． （1）求点D′到BC的距离； （2）求E、E′两点的距离． 【考点】解直角三角形的应用；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离； （2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离． 【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示． 由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°． 在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米． 又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米， ∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米， ∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米． 答：点D′到BC的距离为（4570）厘米． （2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示． 由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°， ∴△AEE′是等边三角形， ∴EE′＝AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADE＝90°． 在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米， ∴AE30厘米， ∴EE′＝30厘米． 答：E、E′两点的距离是30厘米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度． 19．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；等腰三角形的判定． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H， 则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°， 在Rt△AGO中，∠AOG＝70°， ∴OG21.8（m）， ∵∠HFE是△OFE的一个外角， ∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°， ∴∠FOE＝∠OEF＝30°， ∴OF＝EF＝24m， 在Rt△EFH中，∠HFE＝60°， ∴FH＝EF•cos60°＝2412（m）， ∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m）， ∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接作出平行线和垂线进而得出∠EDF的值； （2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M， 由题意可得，四边形DNMF是矩形， 则∠NDF＝90°， ∵∠A＝60°，∠AND＝90°， ∴∠ADN＝30°， ∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°， 即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°； （2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm， ∴∠ABC＝30°，则ACAB＝8cm， ∵灯杆CD长为40cm， ∴AD＝48cm， ∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm， 则FM＝41.76cm， ∵灯管DE长为15cm， ∴sin15°0.26， 解得：EF＝3.9， 故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $