2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数

**基本信息** 以题载法构建锐角三角函数“概念-性质-应用”逻辑链，通过分层题型培养几何直观与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义辨析（边长变化不影响函数值）、网格构造直角三角形|从三角函数定义出发，结合相似性质理解函数值本质| |几何综合|7题|辅助线构造（作高、斜边中线）、勾股定理与三角比结合|通过圆、正方形网格等载体，建立形与数的转化关系| |实际应用|5题|方向角/仰俯角建模、方程思想解动态问题|以生活场景（闸机、测量、运动轨迹）为背景，培养数学建模与运算能力|

2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 2．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线OP过点A，射线OQ过点B或点C中的一点，设∠POQ＝α，则sinα或tanα的值不可能为（　　） A． B． C．1 D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为（6，8），且OP与x轴正半轴的夹角为α，则∠α的余弦值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 7．如图1是某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．30cm B．60cm C．70cm D．80cm 8．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为168cm．人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（　　）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） A．168cm B．184cm C．192cm D．195cm 9．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边，在右上方作Rt△ABC，设点C坐标为（x，y），则x+3y的最大值为（　　） A．16 B． C． D． 10．在4×6的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D都在⊙O上，CD⊥AB．若⊙O的半径为1，，则CD的长为　 　 ． 12．如图，A，B，C均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则cosB的值为　 　 ． 13．如图，点A，B，C，D，E均在正方形网格的格点上，DE，AB交于点F，则tan∠EFB＝　 　 ． 14．我们给出定义：如果两个锐角的和为30°，那么称这两个角互为三分余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为三分余角，且，则sinA＝　 　 ． 15．如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则sin∠BAC＝　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．为确保电线杆AB拉线的稳定性，并满足跨越道路BD，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线AC连接拉线桩CD与电线杆AB，拉线棒CE将拉线桩CD与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角∠CDE＝78.9°，拉线棒CE与水平地面夹角∠CED＝60°，DE＝4米． （1）求CE的长； （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路BD上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线AC与电线杆AB的夹角∠CAB＝37°，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（tan78.9°≈5.1，tan60°≈1.7，tan37°≈0.75） 17．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时匀速飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（参考数据：，，，） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）当甲无人机飞离B处4千米时，两无人机可以开始相互接收到信号，此时两无人机相距16千米，若乙无人机速度为甲无人机速度的n倍，直接写出n的值． 18．郑州瞻园作为市级非物质文化遗产研学示范基地，其古建筑群融合南北特色与中原文化，如图是园内一徽派亭阁的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走10m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为60°，亭子的横梁EF＝14m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C、D、B在同一水平线上）． （1）求AG的长度； （2）求亭子的高AB（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， 19．为了加强学生的身体素质，落实五育并举，某校设计了两条锻炼路线．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，E分别在点A，D的正东方向．线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于B的西南方向且点C到AB的距离为400m，E位于B北偏西30°方向，且在F的正北方向，BF＝150m，DE＝600m，点D在点A的北偏东60°方向．（参考数据：，结果保留整数） （1）求AD的长度； （2）由于时间原因，学校决定选一条较短路线进行锻炼，请计算说明学校应该选择线路①还是线路②？ 20．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知AB⊥CD于点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若AB＝20分米，∠BAE＝109°．（参考数据：sin19°≈0.33，cos19≈0.95，tan19°≈0.34） （1）求BC的长． （2）碓工作时举起到最高处如图3所示，此时∠BAE＝128°，求点C上升的高度． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【考点】锐角三角函数的增减性． 【专题】三角形． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义是直角三角形中边之间的比值，它只与角度的大小有关．根据一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的BC边上的高也扩大为原来的2倍，然后根据锐角A的正弦的定义，可以判断是否变化． 【解答】解：∵一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，这样与原来三角形相似，∴扩大后的BC边上的高也扩大为原来的2倍，∴锐角A的正弦值没有变化，故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似． 2．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【答案】C 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．由△ABD和△AEC的面积之比为3：1，推出BD＝3CE，设CE＝k，则BD＝3k，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出AH，BH可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵△ABD和△AEC的面积之比为3：1， ∴BD＝3CE， 设CE＝k，则BD＝3k， ∵AD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴AD＝DB＝DC＝3k， ∴DE＝DC﹣CE＝2k， ∵AD＝AE，AH⊥DE， ∴DH＝HE＝k， ∴BH＝4k，AH2k， ∴tanB． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出AC，再根据余弦函数的定义求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵CH＝3，AH＝4， ∴AC5， cos∠ACB． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是记住余弦函数的定义． 4．如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线OP过点A，射线OQ过点B或点C中的一点，设∠POQ＝α，则sinα或tanα的值不可能为（　　） A． B． C．1 D．2 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据正弦及正切的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当射线OQ过点B时，过点B作OP的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为1， 在Rt△BOM中， OM＝BM＝2， 所以OB， 则sinα，tanα； 当射线OQ过点C时，过点B作OP的垂线，垂足为N， 在Rt△CON中， ON＝2，CN＝4， 所以OC， 则sinα，tan， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦及正切的定义是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为（6，8），且OP与x轴正半轴的夹角为α，则∠α的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】过点P作x轴的垂线，再结合余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点P作x轴的垂线，垂足为M， ∵点P坐标为（6，8）， ∴OM＝6，PM＝8． 在Rt△POM中， OP， ∴cosα． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及坐标与图形性质，熟知余弦的定义是解题的关键． 6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】首先连接格点BE，根据△ACP∽△BDP得到，即可在Rt△BFP中求得即为∠APD的正切值． 【解答】解：如图，连接格点BE， 由条件可知BE⊥CD，BF＝CF， ∵AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴， ∴， 在Rt△BFP中，， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝tan∠BPF＝2， 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 7．如图1是某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．30cm B．60cm C．70cm D．80cm 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】过点A作AE⊥PC，过点B作BF⊥QD，先利用含特殊角的直角三角形的边角间关系求出AE、BF，再利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：过点A作AE⊥PC，垂足为E，过点B作BF⊥QD，垂足为F． 在Rt△EAC中， ∵∠ECA＝30°，AC＝60cm， ∴AEAC＝30cm． 同理，BF＝30cm． ∴通过闸机的物体的最大宽度为：30+30+10＝70（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握“直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半”是解决本题的关键． 8．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为168cm．人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（　　）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） A．168cm B．184cm C．192cm D．195cm 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，延长BD交AE于点F，根据题意可得：AO＝BD＝168cm，AD＝OB＝100cm，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，即可解答． 【解答】解：如图：过点B作BD⊥AC，垂足为D，延长BD交AE于点F， 由题意得：AO＝BD＝168cm，AD＝OB＝100cm， 在Rt△ADF中，∠FAD＝15°， ∴DF＝AD•tan15°≈100×0.27＝27（cm）， ∴BF＝BD+DF＝168+27＝195（cm）， ∴若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过195cm， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边，在右上方作Rt△ABC，设点C坐标为（x，y），则x+3y的最大值为（　　） A．16 B． C． D． 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；一次函数的性质；勾股定理；切线的判定与性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意先求出直线AB的解析式，分析发现点C的轨迹是以AB为直径且在AB上方的半圆上运动，设直线x+3y＝t，整理得：，直线与y轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，t取到最大值，画出相切时的示意图，利用cos∠MBN＝cos∠OAB列方程求解即可． 【解答】解：由条件可知，， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 则有， 解得， ∴直线AB的解析式为； ∵以AB为斜边在右上方作Rt△ABC， ∴∠C＝90°， ∴点C的轨迹是以AB为直径且在AB上方的半圆上运动，直径， ∵C（x，y），x＞0，y＞0， 设x+3y＝t，t＞0， 整理得：， 求x+3y的最大值，就是求t的最大值， ∴直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为E（t，0）， ∴， ∴∠MEO＝∠BAO， ∴ME∥AB； 当直线与圆相切时，DC⊥ME，且点M的纵坐标最大，即此时t取到最大值； 过点B作BN⊥MA， 则∠MNB＝∠NBA＝∠BOA＝90°， ∠MBN+∠ABO＝∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠MBN＝∠OAB， ∵， ∴，MB， ∴， 解得t＝16， ∴x+3y的最大值是16． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数、圆的切线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．在4×6的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造Rt△ADC，则，解答即可． 【解答】解：在4×6的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格点上， 设小正方形的边长为1， 根据题意，构造Rt△ADC， 则， 故选：B． 【点评】本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D都在⊙O上，CD⊥AB．若⊙O的半径为1，，则CD的长为　　 ． 【考点】解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】连接OC，OB，根据题意得出∠BCD＝∠BAC，据此设BM＝x，进一步得出BC＝2x，CMx，再根据勾股定理求出x的值，最后求出CD的长即可． 【解答】解：连接OC，OB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠BAC＝∠BCD， ∴sin∠BCD＝sin∠BAC， 则令BM＝x，BC＝2x， ∴CM． ∵⊙O的半径为1， ∴OC＝OB＝1， ∴OM＝1﹣x． 在Rt△OCM中， （）2+（1﹣x）2＝12， 解得x或x＝0（舍去）， ∴CM， ∴CD＝2CM． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，熟知勾股定理、圆周角定理及垂径定理是解题的关键． 12．如图，A，B，C均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则cosB的值为　　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出AB，再根据余弦函数的定义求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AH＝3，BH＝4， ∴AB5， ∴cosB． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握三角函数的定义． 13．如图，点A，B，C，D，E均在正方形网格的格点上，DE，AB交于点F，则tan∠EFB＝　3　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】取格点G，使BG∥DE，可得∠BFE＝∠ABG，AB＝AG，从而得到∠AGB＝∠ABG，进而得到∠BFE＝∠AGB，即可求解． 【解答】解：如图，取格点G，使BG∥DE， ∴∠BFE＝∠ABG， 根据题意得：，BC＝3，CG＝1， ∴AB＝AG， ∴∠BFE＝∠AGB， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 14．我们给出定义：如果两个锐角的和为30°，那么称这两个角互为三分余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为三分余角，且，则sinA＝　　 ． 【考点】解直角三角形． 【答案】． 【分析】过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，从而可得∠CDB＝90°，然后根据互为三分余角的定义以及三角形的外角性质可得∠DCB＝∠A+∠ABC＝30°，根据已知可设BC＝2a，AC＝3a，从而在Rt△CBD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BDa，CD＝3a，可得AD＝6a，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，即可解答． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∴∠CDB＝90°， ∵， ∴设BC＝2a，AC＝3a， ∵∠A，∠ABC互为三分余角， ∴∠A+∠ABC＝30°， ∵∠BCD是△ABC的一个外角， ∴∠DCB＝∠A+∠ABC＝30°， ∴BDBCa， ∵tan30°， ∴， ∴CD＝3a， ∴AD＝AC+CD＝3a+3a＝6a， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则sin∠BAC＝　　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】利用格点，过点C坐AB的垂线，再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，如图所示， 因为正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， CM， AC． 在Rt△ACM中， sin∠BAC． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．为确保电线杆AB拉线的稳定性，并满足跨越道路BD，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线AC连接拉线桩CD与电线杆AB，拉线棒CE将拉线桩CD与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角∠CDE＝78.9°，拉线棒CE与水平地面夹角∠CED＝60°，DE＝4米． （1）求CE的长； （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路BD上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线AC与电线杆AB的夹角∠CAB＝37°，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（tan78.9°≈5.1，tan60°≈1.7，tan37°≈0.75） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）CE的长为6米； （2）过点C作CH⊥DG交于点H， 由题意，得四边形CHDF为矩形， ∴CH＝DF＝1（米），CF＝DH＝5.1（米）， ∵在Rt△CGH中，∠CGH＝∠CAB＝37°，tan∠CGH， ∴HG（米）， ∴DG＝DH+GH＝5.16.43（米）， ∵6.43＞6， ∴该设计满足要求． 【分析】（1）根据题意，在Rt△CDF中求出CF，在Rt△CEF中求出EF，即可得到CE长； （2）根据题意，在Rt△CGH中求出GH长，即可得到DG长，判断结果． 【解答】解：（1）如图，过点C作 CF⊥DE， 设DF＝x（米）， ∵在Rt△CDF中，∠CDE＝78.9°，tan∠CDE， ∴CF＝DF•tan78.9°≈5.1x（米）， ∵在Rt△CEF中，∠CED＝60°，tan∠CEF， ∴EF3x（米）， ∵DE＝4米， ∴DE＝DF+EF＝x+3x＝4（米）， ∴x＝1（米）， ∴在Rt△CEF中，CE＝2EF＝6（米）， 答：CE的长为6米； （2）该设计满足要求，理由如下： 过点C作CH⊥DG交于点H， 由题意，得四边形CHDF为矩形， ∴CH＝DF＝1（米），CF＝DH＝5.1（米）， ∵在Rt△CGH中，∠CGH＝∠CAB＝37°，tan∠CGH， ∴HG（米）， ∴DG＝DH+GH＝5.16.43（米）， ∵6.43＞6， ∴该设计满足要求． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 17．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时匀速飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（参考数据：，，，） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）当甲无人机飞离B处4千米时，两无人机可以开始相互接收到信号，此时两无人机相距16千米，若乙无人机速度为甲无人机速度的n倍，直接写出n的值． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）BD的长度约为26.5千米； （2）n＝3.5． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足BM＝4千米，MN＝16千米，过点M作MT⊥CD于T，求出DN的长可得结论． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，BF＝AE＝10千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴BD1026.5（千米）． 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足BM＝4千米，MN＝16千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，BC20（千米）， ∴CFBC＝10（千米）， ∴CM＝BC﹣BM＝20﹣4＝16（千米）， ∴MN＝MC， ∵MT⊥CN， ∴NT＝CT16＝8（千米）， ∴DC＝DF+CF＝30（千米）， ∴DN＝CD﹣CN＝30﹣16＝14（千米）， ∵乙无人机速度为甲无人机速度的n倍， ∴n3.5． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18．郑州瞻园作为市级非物质文化遗产研学示范基地，其古建筑群融合南北特色与中原文化，如图是园内一徽派亭阁的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走10m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为60°，亭子的横梁EF＝14m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C、D、B在同一水平线上）． （1）求AG的长度； （2）求亭子的高AB（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【答案】（1）AG的长度为4.9米； （2）亭子AB高为16.8米． 【分析】（1）首先根据题意可得EGEF，∠AEG＝35°，则在Rt△AGE中，利用三角函数解得AG的值即可； （2）过E作EH⊥BC，设EH＝x，首先证明四边形BGEH为矩形，由矩形的性质可得BG＝EH；在Rt△EDH和Rt△ECH中，分别求得，，结合题意可得，解得x的值，然后由AB＝AG+BG求解即可． 【解答】解：（1）依题意得AG⊥EF，AE＝AF， ∴EGEF＝7，∠AEG＝∠ACB＝35°， ∴在Rt△AGE中，tan∠AEG＝tan35°， ∴AG≈7×0.7＝4.9（m）． 答：AG的长度为4.9米； （2）如图，过E作EH⊥BC，设EH＝x， 由题意知CD＝10米， ∵根据题意，∠BGE＝∠GBH＝∠EHB＝90°， ∴四边形BGEH为矩形， ∴BG＝EH， 在Rt△EDH中，tan∠EDH，即tan60°， ∴DH 在Rt△ECH中，tan∠ECH，即tan35°， ∴ ∵CD＝CH﹣DH， ∴10， 解得x＝11.9， ∴BG＝EH≈11.9m， ∴AB＝AG+BG＝4.9+11.9＝16.8（m）． 答：亭子AB高为16.8米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 19．为了加强学生的身体素质，落实五育并举，某校设计了两条锻炼路线．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，E分别在点A，D的正东方向．线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于B的西南方向且点C到AB的距离为400m，E位于B北偏西30°方向，且在F的正北方向，BF＝150m，DE＝600m，点D在点A的北偏东60°方向．（参考数据：，结果保留整数） （1）求AD的长度； （2）由于时间原因，学校决定选一条较短路线进行锻炼，请计算说明学校应该选择线路①还是线路②？ 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）AD的长度约为510米； （2）学校应该选择线路②． 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△BEF中求出EF长，即可知DG长，则在Rt△ADG中，求出AD长即可； （2）分别求出线路①和线路②的长度，即可得到结果． 【解答】解：（1）如图，过D点作DG⊥AB于点G，过C作CH⊥AB于H点， ∵在Rt△BEF中，∠FEB＝30°，BF＝150m，tan∠FEB， ∴EF150（m）， ∴DG＝EF＝150（m）， ∵在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，cos∠ADG， ∴AD300510（m）， 答：AD的长度约为510米； （2）∵在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝150tan60°＝450（m）， ∴AB＝AG+GF+BF＝AG+DE+BF＝450+600+150＝1200（m）， ∵在Rt△BHC中，CH＝400m，C位于B的西南方向，即∠HBC＝45°， ∴BH＝HC＝400（m），BC400÷sin45°＝400560（m）， ∴AH＝AB﹣HB＝1200﹣400＝800（m）， ∴在Rt△AHC中，AC2＝AH2+HC2＝8002+4002＝8×105， ∴AC＝400880（m）， ∴AC+CB＝880+560＝1440（m）， ∴线路①长度为1440米， ∵在Rt△BEF中，∠FEB＝30°，BF＝150m， ∴EB＝2FB＝300（m）， ∵DE＝600m， ∴AD+DE+EB＝510+600+300＝1410（m）， ∴线路②长度为1410米， ∵1410＜1440， ∴学校应该选择线路②． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 20．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知AB⊥CD于点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若AB＝20分米，∠BAE＝109°．（参考数据：sin19°≈0.33，cos19≈0.95，tan19°≈0.34） （1）求BC的长． （2）碓工作时举起到最高处如图3所示，此时∠BAE＝128°，求点C上升的高度． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）BC的长约为6.8分米； （2）点C上升的高度为6.8分米． 【分析】（1）根据题意，在Rt△ABC中，求出BC长即可； （2）根据题意，可得点C上升的高度为CH的长，利用三角形全等，得到CH＝CB，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵AC∥EF，AE⊥EF， ∴AC⊥AE， ∵∠BAE＝109°， ∴∠BAC＝19°， ∵AB⊥BC，AB＝20分米， ∴在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠BAC≈20×0.34＝6.8（分米）， 答：BC的长约为6.8分米； （2）作 AH⊥CF，由题意得，点C上升的高度为CH的长， ∵此时∠BAE＝128°，∠BAC＝19°，∠HAE＝90°， ∴∠CAH＝∠BAC＝19°， ∵AB⊥CB， ∴∠ABC＝∠AHC＝90°， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△AHC（AAS）， ∴CH＝CB＝6.8（分米）， 答：点C上升的高度为6.8分米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $