解直角三角形的实际应用问题、解直角三角形与圆的计算专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦解直角三角形两大核心应用，通过实际场景与圆的综合题型，系统覆盖中考高频考点，强化数学建模与几何推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形的实际应用问题|3例+3变式|结合仰角俯角、方向角等实际场景，需构造直角三角形转化问题|实际问题抽象为数学模型，运用三角函数建立等量关系| |解直角三角形与圆的计算|3例+3变式|切线性质、直径圆周角等圆性质与直角三角形结合的综合计算|圆的切线垂直半径等性质构建直角三角形，结合勾股定理与三角函数推理计算|

解直角三角形的实际应用问题、解直角三角形与圆的计算专项训练 解直角三角形的实际应用问题、解直角三角形与圆的计算专项训练 考点目录 解直角三角形的实际应用问题 解直角三角形与圆的计算 考点一 解直角三角形的实际应用问题 例1．（2026·河南三门峡·一模）如图1，是郑州某海洋公园摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点A，座舱距离地面的最低高度为，地面l上的观察点D到点C的距离为，平面示意图如图2 所示．当视线DA与相切时，求点A处的座舱到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】点A处的座舱到地面的距离约为． 【分析】要计算A处到地面的距离，思路是连接半径，作垂线构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求出相关线段长度与角度，进而计算A到地面的垂直距离． 【详解】解：如图①，连接，，过点作，垂足为． 根据题意可知，． 在中，，，即， ， 在中，， ． 与相切， ， ． 在中，， ， ， ， ， 在中，． 故点A处的座舱到地面的距离约为． 例2．（2026·贵州·模拟预测）赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，他进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角α是度，米． 【数据应用】晷针、晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖A到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题： (1)求该晷针北极端的长度（结果保留根号或精确到）； (2)求晷针的针尖A到地面的垂直高度（结果保留根号或精确到）． （参考数据，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴（米）． 例3．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点E，解直角三角形表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点E ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 变式1．（2026·重庆·一模）2026年春节，重庆园博园举办大型水上灯会，现场布置了多处特色灯组供游客参观游玩．如图，在同一平面内，是园博园正门，是巴渝灯组，位于的正东方向公里处，是光影灯组，位于的南偏东方向上，且位于的南偏东方向上，是水幕灯组，位于的正南方向上．（参考数据：，，） (1)求点与点之间的距离（结果保留小数点后两位）； (2)甲、乙两人同时从水幕灯组出发前往正门，甲的路线为：，乙的路线为：，甲、乙两人的速度之比为，若甲到时，乙离还有公里，求点与点之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)1.04公里 (2)公里 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得，利用参考数据求近似值即可； （2）根据（1）解直角三角形得，，进而得，设公里，由题意推导得甲、乙两人的路程之比为，进而得，过点作于点，在中，解直角三角形得，，得，在中，根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得点与点之间的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 在中，，， 公里， 在中，， （公里）， 答：与点之间的距离约为1.04公里； （2）解：由（1）得， 在中，公里， 在中，，公里， （公里）， 设公里， 甲、乙两人的速度之比为， 甲、乙两人的路程之比为， 由题意得，甲的路程为：，乙的实际路程为：， ，解得， 如图，过点作于点， 由题意得，， 在中，， （公里），（公里）， ， 在中，，即， 解得（舍）， 答：点与点之间的距离为公里． 变式2．（2026·山西朔州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 (1)任务1：确定影子长度某一时刻测得米，请求出此时影子的长度 (2)任务2：判断是否照射到这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会受到太阳光照射到？ 【答案】(1)米； (2)小明会被照射到． 【分析】（1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，再作比较即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ，， ， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）； （2）解：如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 变式3．（2026·广东汕头·一模）综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点O、A、C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：求此时液压杆的长度； (2)任务二：若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即米），求伸长到的最大长度． 【答案】(1)米； (2)伸长到的最大长度为6米． 【分析】（1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）由题意得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用米，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作， 在中，米，， ∴米， 在中，， ∴米； （2）解：由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， 故伸长到的最大长度为6米． 考点二 解直角三角形与圆的计算 例1．（2026·四川成都·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，为切线，为切点，于点交于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质和直径所对圆周角为直角，推出，再结合等腰三角形性质和，推出，进而证明； （2）先利用和相似三角形求出，再用中位线定理得到，最后通过 求出半径． 【详解】（1）解：如图，连接， 为直径， ，即， 为切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：设的半径为， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 为中点， ， ， ，， ， ， ， ， 故半径的长为． 例2．（2026·北京·二模）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）解：延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ∴， ∴，， ， ， 又， ∴， ， ，， ，， ， ， ． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，过点A作的切线交延长线于点D，是的直径． (1)求证． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先连接，因为是的切线，所以根据切线性质可得；因为是直径，，所以根据圆周角定理可得的度数，判断和的位置关系，进而推导与平行． （2）由可得等于对应同位角，将转化为圆内直角三角形的三角函数值；因为是直径，所以连接后可得直角三角形，结合已知的长度，利用三角函数求出的半径的长度；过作于，结合的数值求出的长度，最后则可计算的长度． 【详解】（1）如图，连接， 是的切线， ． ∵， ∴， ， 、都垂直于同一条直线， ． （2）如图，连接，过作于， ∵是的直径， ． ∵， ∴， ∴． 在中，， 设，， 由勾股定理得： ， ∵， ∴，解得， ∴，的半径． ∵，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴． 在中，， ∴， 由勾股定理得． ∴． 变式1．（2026·山东聊城·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）设半径为R，，，则有，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 连接， 切于E， ， ∴． ， ． ， ， ， ， ∴为等腰三角形． （2）解：设半径为R，，． 在中，， ∴． 连接，如图所示： 为直径， ． ∴， ∵切于E， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）． 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图，为的直径，过延长线上的一点作的切线，切点为，为劣弧上一点，且，的延长线与的延长线相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，通过求证或，得到，即可证得； （2）连接，，证明，，结合条件即可得到，的值，从而可计算的长． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 方法一、与相切于点， ， ， ， ， 又， ， ， ； 方法二、与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法三、与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，， 是的直径， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ，即， ． 变式3．（2026·山东济南·二模）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． (1)求证： (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，由题可知是的直径，得出，进而根据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）先证明得出，求得，设，，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 为的切线， ， ， 由题可知是的直径 ， ， ， ， ， ， ． （2）连接 是的直径， ， ， ， ， ． 在中， 设， ，即 解得 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解直角三角形的实际应用问题、解直角三角形与圆的计算专项训练 解直角三角形的实际应用问题、解直角三角形与圆的计算专项训练 考点目录 解直角三角形的实际应用问题 解直角三角形与圆的计算 考点一 解直角三角形的实际应用问题 例1．（2026·河南三门峡·一模）如图1，是郑州某海洋公园摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点A，座舱距离地面的最低高度为，地面l上的观察点D到点C的距离为，平面示意图如图2 所示．当视线DA与相切时，求点A处的座舱到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据： ） 例2．（2026·贵州·模拟预测）赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，他进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角α是度，米． 【数据应用】晷针、晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖A到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题： (1)求该晷针北极端的长度（结果保留根号或精确到）； (2)求晷针的针尖A到地面的垂直高度（结果保留根号或精确到）． （参考数据，，） 例3．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 变式1．（2026·重庆·一模）2026年春节，重庆园博园举办大型水上灯会，现场布置了多处特色灯组供游客参观游玩．如图，在同一平面内，是园博园正门，是巴渝灯组，位于的正东方向公里处，是光影灯组，位于的南偏东方向上，且位于的南偏东方向上，是水幕灯组，位于的正南方向上．（参考数据：，，） (1)求点与点之间的距离（结果保留小数点后两位）； (2)甲、乙两人同时从水幕灯组出发前往正门，甲的路线为：，乙的路线为：，甲、乙两人的速度之比为，若甲到时，乙离还有公里，求点与点之间的距离（结果保留根号）． 变式2．（2026·山西朔州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 (1)任务1：确定影子长度某一时刻测得米，请求出此时影子的长度 (2)任务2：判断是否照射到这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会受到太阳光照射到？ 变式3．（2026·广东汕头·一模）综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点O、A、C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：求此时液压杆的长度； (2)任务二：若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即米），求伸长到的最大长度． 考点二 解直角三角形与圆的计算 例1．（2026·四川成都·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，为切线，为切点，于点交于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 例2．（2026·北京·二模）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点．若，，求的长． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，过点A作的切线交延长线于点D，是的直径． (1)求证． (2)若，，求的长． 变式1．（2026·山东聊城·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，，求的长度． 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图，为的直径，过延长线上的一点作的切线，切点为，为劣弧上一点，且，的延长线与的延长线相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式3．（2026·山东济南·二模）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． (1)求证： (2)若，，求直径的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $