2025-2026学年人教版八年级数学下册期末模拟卷

**基本信息** 以人教版八下数学全章为范围，通过“红莲出水”“赵爽弦图”等文化情境与智能手表销售、河上建桥等现实问题，考查二次根式、勾股定理、一次函数等核心知识，体现数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次根式意义、勾股定理逆定理、平行四边形性质|基础概念辨析，如第6题正方形与平行四边形性质比较| |填空|8/24|统计方差、正多边形镶嵌、一次函数应用|文化与生活结合，如第16题赵爽弦图面积计算| |解答题|8/66|一次函数图像、平行四边形证明、统计分析、几何综合|分层设计，从基础计算（19题）到创新探究（25题数形结合求最值），关联中考命题趋势|

2025-2026学年八下数学期末模拟卷 考试范围：人教版2024新教材全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】验证各选项中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：选项A：最长边为2，∵，∴能组成直角三角形； 选项B：最长边为5，∵，∴能组成直角三角形； 选项C：最长边为4，∵，∴不能组成直角三角形； 选项D：最长边为，∵，即，∴能组成直角三角形． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，B错误； 对选项C，，C正确； 对选项D，，D错误. 4．某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．8，8 B．9，8 C．9，8.5 D．9，9 【答案】D 【分析】按照定义先求众数，再将数据排序后计算中位数即可． 【详解】解：∵已知数据为8，9，7，9，10，其中数字9出现次数最多，为2次，其余数字均只出现1次， ∴众数为9； 将数据从小到大排列得：7，8，9，9，10，数据共5个，为奇数个，中位数为排序后最中间的第3个数， ∴中位数为9． 5．下列关于直线的说法正确的是（     ） A．一定经过点 B．与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐项计算验证即可得到答案． 【详解】解：对于直线， 选项A：当时， ，直线不经过点，A错误． 选项B：与轴交点的纵坐标为，令，得，解得，与轴交于点，B错误． 选项C：一次项系数，随的增大而减小，C错误． 选项D：，，图象经过二、三、四象限，D正确． 故选：D． 6．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这些性质正方形都具备， 选项A，B，D都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意； 正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直， 选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 7．如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形是轴对称图形， 且B、D在y轴上， ∴ A、C关于y轴对称， ∵， ∴． 8．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水深尺，则，利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】解：设水深尺， 则， ∵在中，， ∴， 解得：． 9．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 10．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：． 12．如图所示的数轴，点表示的数是________． 【答案】 【分析】求出长度，进而可知点表示的数． 【详解】解：如图， 可知， 由作图可知， ∴点表示的数是． 13．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义：方差越小，数据越稳定．观察折线统计图，比较甲、乙两名同学成绩的波动情况即可得出结论． 【详解】观察折线统计图可知，甲同学10次垫球成绩的折线起伏较小，乙同学10次垫球成绩的折线起伏较大， 根据方差的意义，数据的波动越小，方差越小，成绩越稳定， 因为甲同学成绩的波动小于乙同学成绩的波动， 所以该项目成绩比较稳定的是甲． 14．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 【答案】10 【详解】解：由题意，得， 设这个正多边形地砖的边数为n， 则有， 解得， ∴这块正多边形地砖的边数是10． 15．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形和全等三角形的性质可证，设，根据勾股定理求出x，再根据面积求解即可． 【详解】解：大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成， ，，， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， 解得， ， ∴阴影部分的面积． 17．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 18．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（8分）一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为；（2分） （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为；（5分） （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是．（8分） 21．（8分）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴．（8分） 22．（8分）为落实（“健康中国”规划纲要）要求，某校开展了青少年体育锻炼与体质健康的调查，在全校范围内随机抽样调查，了解该校学生每周体育锻炼时长情况，将调查结果（每周锻炼时长）按照锻炼时长t（单位：小时）分成A，B，C，D四个组并绘制了不完整的统计图（表）（分组标准：A：；B：；C：；D：） 【整理数据】调查结果整理如下表： 锻炼时长（小时） 人数（人） 10 14 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)补全条形统计图； (3)这组数据的中位数所在的组别为 组（填“A”或“B”或“C”或“D”）； (4)若该校共有学生1500人，估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数． 【答案】(1)10，16 (2)补全条形统计图见解析 (3)C (4)估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人 【分析】（1）由统计图中的数据信息求解即可； （2）由（1）中即可补全条形统计图； （3）由中位数的求法确定即可； （4）由样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：由统计图中的数据信息可得总人数为（人）， ∴C组人数（人）， ∴B组人数（人）；（2分） （2）解：由（1）知，则补全条形统计图如图所示： ；（4分） （3）解：由（1）可知，总共有50个数据，中位数是第25、26个数据的平均数， ∵A组10人，B组10人，C组16人， ∴第25、26个数据都在C组，即中位数所在的组别是C组；（6分） （4）解：由题意知，50名学生中锻炼时间不少于6小时的人数为（人）， ∴（人）， 答：估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人．（8分） 23．（8分）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元；（4分） （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元．（8分） 24．（8分）如图，点为正方形的边的中点，连接．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)如图①，找到边的中点； (2)如图②，以为边作平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，连接并延长与的交点即为点，根据正方形可得，而点为正方形的边的中点，则，那么，再由即可得到点为的中点； （2）在（1）图的基础上，连接交于点，再连接并延长与的延长线相交，交点即为点，则平行四边形即为所求，可得四边形是矩形，则，然后证明即可得到，再由即可证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （4分） （2）解：如图，平行四边形即为所求； （8分） 25．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （3分） （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为．（6分） （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2．（10分） 26．（10分）如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）先由，坐标轴夹角为直角，推导角的等量关系，结合的条件，证明和全等，得到；再结合的面积公式代入数值求解长度； （2）作于点，交于点，连接，由可推出是的垂直平分线，从而得出，进一步推导出，均为等腰直角三角形，然后用的代数式表示出，的长度，再根据即可求解； （3）延长至点，使，延长交轴于点，由和三角形外角的性质可得，从而得出，所以和的函数解析式中一次项系数相等，通过坐标可求出用的代数式表示出的解析式中的一次项系数，用的代数式表示的坐标，再用待定系数法，可以求出的函数表达式，从而求出点的纵坐标，然后表示出的长度，最后，在Rt中用勾股定理列方程，即可求出，这样的坐标即可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， (AAS)， ， 的面积为18， ， ， ；（3分） （2）解：作于点，交于点，连接，如下图所示： ， ，即是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， 的坐标为， ， ， ， ；（6分） （3）解：延长至点，使，连接，延长交轴于点，如下图： ， ， ， 又， ， ， 由(2)知， 设直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 在中，， ， ， 把代入， 得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得： ， ， ， ， 或， 在线段上， ， 舍去， ， ．（10分） 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八下数学期末模拟卷 考试范围：人教版2024新教材全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．8，8 B．9，8 C．9，8.5 D．9，9 5．下列关于直线的说法正确的是（     ） A．一定经过点 B．与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 6．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 7．如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 9．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算的结果是___________． 12．如图所示的数轴，点表示的数是________． 13．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 15．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 18．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 21．（8分）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，，求的度数． 22．（8分）为落实（“健康中国”规划纲要）要求，某校开展了青少年体育锻炼与体质健康的调查，在全校范围内随机抽样调查，了解该校学生每周体育锻炼时长情况，将调查结果（每周锻炼时长）按照锻炼时长t（单位：小时）分成A，B，C，D四个组并绘制了不完整的统计图（表）（分组标准：A：；B：；C：；D：） 【整理数据】调查结果整理如下表： 锻炼时长（小时） 人数（人） 10 14 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)补全条形统计图； (3)这组数据的中位数所在的组别为 组（填“A”或“B”或“C”或“D”）； (4)若该校共有学生1500人，估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数． 23．（8分）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 24．（8分）如图，点为正方形的边的中点，连接．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)如图①，找到边的中点； (2)如图②，以为边作平行四边形 25．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 26．（10分）如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八下数学期末模拟卷 考试范围：人教版2024新教材全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．8，8 B．9，8 C．9，8.5 D．9，9 5．下列关于直线的说法正确的是（     ） A．一定经过点 B．与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 6．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 7．如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 9．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算的结果是___________． 12．如图所示的数轴，点表示的数是________． 13．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 15．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 18．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 21．（8分）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，，求的度数． 22．（8分）为落实（“健康中国”规划纲要）要求，某校开展了青少年体育锻炼与体质健康的调查，在全校范围内随机抽样调查，了解该校学生每周体育锻炼时长情况，将调查结果（每周锻炼时长）按照锻炼时长t（单位：小时）分成A，B，C，D四个组并绘制了不完整的统计图（表）（分组标准：A：；B：；C：；D：） 【整理数据】调查结果整理如下表： 锻炼时长（小时） 人数（人） 10 14 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)补全条形统计图； (3)这组数据的中位数所在的组别为 组（填“A”或“B”或“C”或“D”）； (4)若该校共有学生1500人，估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数． 23．（8分）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 24．（8分）如图，点为正方形的边的中点，连接．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)如图①，找到边的中点； (2)如图②，以为边作平行四边形 25．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 26．（10分）如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八下数学期末模拟卷 考试范围：人教版2024新教材全章 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C D D C B B A D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. 甲 14.10 15. 16./ 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为；（2分） （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为；（5分） （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)10，16 (2)补全条形统计图见解析 (3)C (4)估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人 【分析】（1）由统计图中的数据信息求解即可； （2）由（1）中即可补全条形统计图； （3）由中位数的求法确定即可； （4）由样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：由统计图中的数据信息可得总人数为（人）， ∴C组人数（人）， ∴B组人数（人）；（2分） （2）解：由（1）知，则补全条形统计图如图所示： ；（4分） （3）解：由（1）可知，总共有50个数据，中位数是第25、26个数据的平均数， ∵A组10人，B组10人，C组16人， ∴第25、26个数据都在C组，即中位数所在的组别是C组；（6分） （4）解：由题意知，50名学生中锻炼时间不少于6小时的人数为（人）， ∴（人）， 答：估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人．（8分） 23．（8分） 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元；（4分） （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元．（8分） 24．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，连接并延长与的交点即为点，根据正方形可得，而点为正方形的边的中点，则，那么，再由即可得到点为的中点； （2）在（1）图的基础上，连接交于点，再连接并延长与的延长线相交，交点即为点，则平行四边形即为所求，可得四边形是矩形，则，然后证明即可得到，再由即可证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （4分） （2）解：如图，平行四边形即为所求； （8分） 25．（10分） 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （3分） （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为．（6分） （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2．（10分） 26．（10分） 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）先由，坐标轴夹角为直角，推导角的等量关系，结合的条件，证明和全等，得到；再结合的面积公式代入数值求解长度； （2）作于点，交于点，连接，由可推出是的垂直平分线，从而得出，进一步推导出，均为等腰直角三角形，然后用的代数式表示出，的长度，再根据即可求解； （3）延长至点，使，延长交轴于点，由和三角形外角的性质可得，从而得出，所以和的函数解析式中一次项系数相等，通过坐标可求出用的代数式表示出的解析式中的一次项系数，用的代数式表示的坐标，再用待定系数法，可以求出的函数表达式，从而求出点的纵坐标，然后表示出的长度，最后，在Rt中用勾股定理列方程，即可求出，这样的坐标即可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， (AAS)， ， 的面积为18， ， ， ；（3分） （2）解：作于点，交于点，连接，如下图所示： ， ，即是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， 的坐标为， ， ， ， ；（6分） （3）解：延长至点，使，连接，延长交轴于点，如下图： ， ， ， 又， ， ， 由(2)知， 设直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 在中，， ， ， 把代入， 得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得： ， ， ， ， 或， 在线段上， ， 舍去， ， ．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $